2022屆高三數(shù)學一輪復習（原卷版）第2講　兩直線的位置關系

1、第 2 講兩直線的位置關系一、知識梳理1兩直線的平行、垂直與其斜率的關系條件兩直線位置關系斜率的關系兩條不重合的直線 l1， l2， 斜率分別為 k1，k2平行k1k2k1與 k2都不存在垂直k1k21k1與 k2一個為零、另一個不存在2.兩條直線的交點3三種距離點點距點 p1(x1，y1)，p2(x2，y2)之間的距離|p1p2| (x2x1)2(y2y1)2點線距點 p0(x0，y0)到直線 l：axbyc0 的距離d|ax0by0c|a2b2線線距兩條平行線 axbyc10 與 axbyc20 間的距離d|c1c2|a2b2常用結論1會用兩個充要條件(1)兩直線平行或重合的充要條件直線

2、l1：a1xb1yc10 與直線 l2：a2xb2yc20 平行或重合的充要條件是 a1b2a2b10.(2)兩直線垂直的充要條件直線 l1：a1xb1yc10 與直線 l2：a2xb2yc20 垂直的充要條件是 a1a2b1b20.2直線系方程(1)與直線 axbyc0 平行的直線系方程是 axbym0(mr 且 mc)(2)與直線 axbyc0 垂直的直線系方程是 bxayn0(nr)(3)過直線 l1：a1xb1yc10 與 l2：a2xb2yc20 的交點的直線系方程為 a1xb1yc1(a2xb2yc2)0(r)，但不包括 l2.3六種常用對稱關系(1)點(x，y)關于原點(0，0)

3、的對稱點為(x，y)(2)點(x，y)關于 x 軸的對稱點為(x，y)，關于 y 軸的對稱點為(x，y)(3)點(x，y)關于直線 yx 的對稱點為(y，x)，關于直線 yx 的對稱點為(y，x)(4)點(x，y)關于直線 xa 的對稱點為(2ax，y)，關于直線 yb 的對稱點為(x，2by)(5)點(x，y)關于點(a，b)的對稱點為(2ax，2by)(6)點(x，y)關于直線 xyk 的對稱點為(ky，kx)，關于直線 xyk 的對稱點為(ky，xk)二、教材衍化1兩直線 4x3y10 與 2xy10 的交點坐標為_答案：(4，2)2已知點(a，2)(a0)到直線 l：xy30 的距離為

4、 1，則 a 等于_答案： 213已知直線 l1：ax3y10，l2：2x(a1)y10 互相平行，則實數(shù) a 的值是_解析：由直線 l1與 l2平行，可得a(a1)23，a12，解得 a3.答案：3一、思考辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)當直線 l1和 l2的斜率都存在時，一定有 k1k2l1l2.()(2)如果兩條直線 l1與 l2垂直，則它們的斜率之積一定等于1.()(3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交()(4)已知直線 l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20(a1，b1，c1，a2，b2，c2為常數(shù))，若直線 l1l2，則 a1a2b1b2

5、0.()(5)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易錯糾偏常見誤區(qū)|(1)求平行線間距離忽視 x，y 的系數(shù)相同；(2)判斷兩條直線的位置關系忽視斜率不存在的情況1兩條平行直線 3x4y120 與 6x8y110 之間的距離為()a235b2310c7d72解析：選 d直線 3x4y120 可化為 6x8y240，所以兩平行直線之間的距離為|1124|366472.2已知直線 l1：axy40 和 l2：2xay10 若 l1l2，則 a_解析：因為 l1l2，則 2aa0，所以 a0.答案：0考點一兩直線的位置關系(基礎型)復習指

6、導|能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直核心素養(yǎng)數(shù)學運算，邏輯推理(一題多解)已知直線 l1：ax2y60 和直線 l2：x(a1)ya210.(1)當 l1l2時，求 a 的值；(2)當 l1l2時，求 a 的值【解】(1)法一：當 a1 時，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于 l2；當 a0 時，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于 l2；當 a1 且 a0 時，兩直線方程可化為 l1： ya2x3， l2： y11ax(a1)， 由 l1l2可得a211a，3(a1)，解得 a1.綜上可知，a1.法二：由 l1l2知a1b2a2b10，a1c2a2c10，即a(a1)120，a(

7、a21)160a2a20，a(a21)6a1.(2)法一：當 a1 時，l1：x2y60，l2：x0，l1與 l2不垂直，故 a1 不符合；當 a1 時，l1：ya2x3，l2：y11ax(a1)，由 l1l2，得a2 11a1a23.法二：因為 l1l2，所以 a1a2b1b20，即 a2(a1)0，得 a23.(1)兩直線平行、垂直的判斷方法若已知兩直線的斜率存在兩直線平行兩直線的斜率相等且在坐標軸上的截距不等兩直線垂直兩直線的斜率之積等于1.提醒判斷兩條直線位置關系應注意：1注意斜率不存在的特殊情況2注意 x，y 的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件(2)由兩條直線平行與垂直求參數(shù)的值的解題策

8、略在解這類問題時， 一定要“前思后想” “前思”就是在解題前考慮斜率不存在的可能性，是否需要分情況討論；“后想”就是在解題后，檢驗答案的正確性，看是否出現(xiàn)增解或漏解1(2020天津靜海區(qū)聯(lián)考)“a1”是“直線 ax2y80 與直線 x(a1)y40平行”的()a充要條件b充分不必要條件c必要不充分條件d既不充分也不必要條件解析：選 a設直線 l1：ax2y80，直線 l2：x(a1)y40.若 l1與 l2平行，則a(a1)20，即 a2a20，解得 a1 或 a2.當 a2 時，直線 l1的方程為2x2y80，即 xy40，直線 l2的方程為 xy40，此時兩直線重合，則 a2.當 a1 時

9、， 直線 l1的方程為 x2y80， 直線 l2的方程為 x2y40， 此時兩直線平行 故“a1”是“直線 ax2y80 與直線 x(a1)y40 平行”的充要條件故選 a2求滿足下列條件的直線方程(1)過點 p(1，3)且平行于直線 x2y30；(2)已知 a(1，2)，b(3，1)，線段 ab 的垂直平分線解：(1)設直線方程為 x2yc0，把 p(1，3)代入直線方程得 c7，所以直線方程為 x2y70.(2)ab 中點為132，212，即2，32 ，直線 ab 斜率 kab211312，故線段 ab 垂直平分線斜率 k2，所以其方程為 y322(x2)，即 4x2y50.考點二兩直線的

10、交點與距離問題(基礎型)復習指導|1.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標2探索并掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩平行直線間的距離核心素養(yǎng)：數(shù)學運算角度一兩直線的交點與直線過定點(1)對于任給的實數(shù) m，直線(m1)x(2m1)ym5 都通過一定點，則該定點的坐標為()a(9，4)b(9，4)c(9，4)d(9，4)(2)經(jīng)過兩直線 l1：x2y40 和 l2：xy20 的交點 p，且與直線 l3：3x4y50 垂直的直線 l 的方程為_【解析】(1)(m1)x(2m1)ym5 即為 m(x2y1)(xy5)0，故此直線過直線 x2y10 和xy50 的交點 由x2y10

11、，xy50得定點的坐標為(9， 4) 故選 a(2)由方程組x2y40，xy20，得x0，y2，即 p(0， 2) 因為 ll3， 所以直線 l 的斜率 k43，所以直線 l 的方程為 y243x，即 4x3y60.【答案】(1)a(2)4x3y60角度二三種距離問題(1)已知點 p(1，1)，a(1，0)，b(0，1)，則abp 的面積為_(2)若兩平行直線 l1：x2ym0(m0)與 l2：2xny60 之間的距離是 5，則 mn_【解析】(1)因為 a(1，0)，b(0，1)，所以|ab| 2，直線 ab 的方程為 xy10，則點 p(1，1)到直線 ab 的距離 d32，所以abp 的

12、面積為12 23232.(2)因為 l1，l2平行，所以 1n2(2)，1(6)2m，解得 n4，m3，所以直線 l2： x2y30.又 l1， l2之間的距離是 5， 所以|m3|14 5， 得 m2 或 m8(舍去)，所以 mn2.【答案】(1)32(2)2兩種距離的求解思路(1)點到直線的距離的求法可直接利用點到直線的距離公式來求，但要注意此時直線方程必須為一般式(2)兩平行直線間的距離的求法利用“轉化法”將兩條平行線間的距離轉化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離；利用兩平行線間的距離公式(利用公式前需把兩平行線方程中 x，y 的系數(shù)化為相同的形式)1與直線 l1：3x2y60 和直

13、線 l2：6x4y30 等距離的直線方程是_解析：l2：6x4y30 化為 3x2y320，所以 l1與 l2平行，設與 l1，l2等距離的直線 l 的方程為 3x2yc0，則|c6|c32|，解得 c154，所以 l 的方程為 12x8y150.答案：12x8y1502l1，l2是分別經(jīng)過 a(1，1)，b(0，1)兩點的兩條平行直線，當 l1，l2間的距離最大時，直線 l1的方程是_解析：當兩條平行直線與 a，b 兩點連線垂直時，兩條平行直線間的距離最大又 kab11012，所以兩條平行直線的斜率為 k12，所以直線 l1的方程是 y112(x1)，即 x2y30.答案：x2y30考點三對

14、稱問題(綜合型)復習指導|對稱問題的核心是點關于直線的對稱問題，要把握兩點，點 m 與點 n 關于直線 l 對稱，則線段 mn 的中點在直線 l 上，且直線 l 與直線 mn 垂直已知直線 l：2x3y10，點 a(1，2)求：(1)點 a 關于直線 l 的對稱點 a的坐標；(2)直線 m：3x2y60 關于直線 l 的對稱直線 m的方程【解】(1)設 a(x，y)，由已知得y2x1231，2x123y2210，解得x3313，y413.所以 a3313，413 .(2)在直線 m 上取一點，如 m(2，0)，則 m(2，0)關于直線 l 的對稱點 m必在直線 m上設 m(a，b)，則2a22

15、3b0210，b0a2231.解得 m613，3013 .設直線 m 與直線 l 的交點為 n，則由2x3y10，3x2y60.得 n(4，3)又因為 m經(jīng)過點 n(4，3)，所以由兩點式得直線 m的方程為 9x46y1020.【遷移探究】(變問法)在本例條件下，求直線 l 關于點 a(1，2) 對稱的直線 l的方程解：設 p(x，y)為 l上任意一點，則 p(x，y)關于點 a(1，2)的對稱點為 p(2x，4y)，因為 p在直線 l 上，所以 2(2x)3(4y)10，即 2x3y90.1與直線 3x4y50 關于 x 軸對稱的直線方程為_解析：設 a(x，y)為所求直線上的任意一點，則

16、a(x，y)在直線 3x4y50 上，即 3x4(y)50，故所求直線方程為 3x4y50.答案：3x4y502已知點 a(1，3)關于直線 ykxb 對稱的點是 b(2，1)，則直線 ykxb 在 x 軸上的截距是_解析：由題意得線段 ab 的中點12，2在直線 ykxb 上，故23k1，12kb2，解得 k32，b54，所以直線方程為 y32x54.令 y0，即32x540，解得 x56，故直線 ykxb 在 x 軸上的截距為56.答案：56基礎題組練1已知直線 ax2y20 與 3xy20 平行，則系數(shù) a()a3b6c32d23解析：選 b由直線 ax2y20 與直線 3xy20 平行

17、知，a23，a6.2 已知直線 4xmy60 與直線 5x2yn0 垂直， 垂足為(t， 1)， 則 n 的值為()a7b9c11d7解析：選 a由直線 4xmy60 與直線 5x2yn0 垂直得，202m0，m10.直線 4x10y60 過點(t，1)，所以 4t1060，t1.點(1，1)又在直線 5x2yn0 上，所以52n0，n7.3若點 p 在直線 3xy50 上，且 p 到直線 xy10 的距離為 2，則點 p 的坐標為()a(1，2)b(2，1)c(1，2)或(2，1)d(2，1)或(1，2)解析：選 c設 p(x，53x)，則 d|x(53x)1|12(1)2 2，化簡得|4x

18、6|2，即 4x62，解得 x1 或 x2，故 p(1，2)或(2，1)4直線 axy3a10 恒過定點 m，則直線 2x3y60 關于 m 點對稱的直線方程為()a2x3y120b2x3y120c2x3y120d2x3y120解析：選 d由 axy3a10，可得 a(x3)(y1)0，令x30，y10，可得 x3，y1，所以 m(3，1)，m 不在直線 2x3y60 上，設直線 2x3y60 關于 m 點對稱的直線方程為 2x3yc0(c6)，則|636|49|63c|49，解得 c12 或 c6(舍去)，所以所求方程為 2x3y120，故選 d5直線 2xy30 關于直線 xy20 對稱的

19、直線方程是()ax2y30bx2y30cx2y10dx2y10解析：選 a設所求直線上任意一點 p(x，y)，則 p 關于 xy20 的對稱點為 p(x0，y0)，由xx02yy0220，xx0(yy0)得x0y2，y0 x2，由點 p(x0，y0)在直線 2xy30 上，所以 2(y2)(x2)30，即 x2y30.6過兩直線 l1：x3y40 和 l2：2xy50 的交點和原點的直線方程為_解析：過兩直線交點的直線系方程為 x3y4(2xy5)0，代入原點坐標，求得45，故所求直線方程為 x3y445(2xy5)0，即 3x19y0.答案：3x19y07已知直線 l1：axy3a40 和

20、l2：2x(a1)ya0，則原點到 l1的距離的最大值是_；若 l1l2，則 a_解析：直線 l1：axy3a40 等價于 a(x3)y40，則直線過定點 a(3，4)，當原點到 l1的距離最大時， 滿足 oal1， 此時原點到 l1的距離的最大值為|oa| (3)2425.若 a0，則兩直線方程為 y40 和 2xy0，不滿足直線平行；若 a1，則兩直線方程為 xy10 和 2x10，不滿足直線平行；當 a0 且 a1 時，若兩直線平行，則a21a13a4a，由a21a1得 a2a20，解得 a2 或 a1.當 a2 時，a23a4a，舍去，當 a1 時，a23a4a，成立，即 a1.答案：

21、518 已知點 a(1， 2)， b(3， 4) p 是 x 軸上一點， 且|pa|pb|， 則pab 的面積為_解析：設 ab 的中點坐標為 m(1，3)，kab423(1)12，所以 ab 的中垂線方程為 y32(x1)即 2xy50.令 y0，則 x52，即 p 點的坐標為(52，0)，|ab| (13)2(24)22 5.點 p 到 ab 的距離為|pm|1522323 52.所以 spab12|ab|pm|122 53 52152.答案：1529已知兩直線 l1：axby40 和 l2：(a1)xyb0，求滿足下列條件的 a，b 的值(1)l1l2，且直線 l1過點(3，1)；(2)

22、l1l2，且坐標原點到這兩條直線的距離相等解：(1)因為 l1l2，所以 a(a1)b0.又因為直線 l1過點(3，1)，所以3ab40.故 a2，b2.(2)因為直線 l2的斜率存在，l1l2，所以直線 l1的斜率存在所以ab1a.又因為坐標原點到這兩條直線的距離相等，所以 l1，l2在 y 軸上的截距互為相反數(shù)，即4bb.聯(lián)立可得 a2，b2 或 a23，b2.10已知abc 的頂點 a(5，1)，ab 邊上的中線 cm 所在直線方程為 2xy50，ac邊上的高 bh 所在直線方程為 x2y50，求直線 bc 的方程解：依題意知：kac2，a(5，1)，所以 lac的方程為 2xy110，

23、聯(lián)立2xy110，2xy50，得 c(4，3)設 b(x0，y0)，則 ab 的中點 mx052，y012，代入 2xy50，得 2x0y010，聯(lián)立2x0y010，x02y050，得 b(1，3)，所以 kbc65，所以直線 bc 的方程為 y365(x4)，即 6x5y90.綜合題組練1 已知直線 y2x 是abc 中c 的平分線所在的直線， 若點 a， b 的坐標分別是(4，2)，(3，1)，則點 c 的坐標為()a(2，4)b(2，4)c(2，4)d(2，4)解析：選 c設 a(4，2)關于直線 y2x 的對稱點為(x，y)，則y2x421，y2224x2，解得x4，y2，所以bc所在

24、直線方程為y12143(x3)， 即3xy100.同理可得點b(3，1)關于直線 y2x 的對稱點為(1，3)，所以 ac 所在直線方程為 y2321(4)(x4)，即 x3y100.聯(lián)立得3xy100，x3y100，解得x2，y4，則 c(2，4)故選 c2(創(chuàng)新型)(多選)定義點 p(x0，y0)到直線 l：axbyc0(a2b20)的有向距離為 dax0by0ca2b2.已知點 p1， p2到直線 l 的有向距離分別是 d1， d2.則以下命題不正確的是()a若 d1d21，則直線 p1p2與直線 l 平行b若 d11，d21，則直線 p1p2與直線 l 垂直c若 d1d20，則直線 p

25、1p2與直線 l 垂直d若 d1d20，則直線 p1p2與直線 l 相交解析：選 bcd對于 a，若 d1d21，則 ax1by1cax2by2c a2b2，直線p1p2與直線 l 平行，正確；對于 b，點 p1，p2在直線 l 的兩側且到直線 l 的距離相等，p1p 未必與 l 垂直，錯誤；對于 c，若 d1d20，即 ax1by1cax2by2c0，則點 p1，p2都在直線 l 上，所以此時直線 p1p2與直線 l 重合，錯誤；對于 d，若 d1d20，即(ax1by1c)(ax2by2c)0，所以點 p1，p2分別位于直線l 的兩側或在直線 l 上，所以直線 p1p2與直線 l 相交或重合，錯誤3設 mr，過定點 a 的動直線 xmy0 和過定點 b 的動直線 mxym30 交于點 p(x，y)，則|pa|pb|的最大值是_解析：易知定點 a(0，0)，b(1，3)，且無論 m 取何值，兩直線垂直所以無論 p 與 a，b 重合與否，均有|pa|2|pb|2|ab|210(p 在以 ab 為直徑的圓上)所以|pa|pb|12(|pa|2|pb|2)5.當且僅當|pa|pb| 5時等號成立答案：54.如圖，已知 a(2，0)，b(2，0)，c(0，2)，e(1，0)，f(1，0)，一束光線從 f 點出發(fā)射到 bc 上的 d 點，經(jīng) bc