2018版高中數(shù)學小問題集中營專題2.3二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

1、專題三 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值數(shù)、問題的提出12017課標 j 理14】函數(shù)fxn2x3coY（-匕）的最大值二次函數(shù)是中學階段研究最深入、最完備的一類函數(shù)，雖然是初中所學內(nèi)容，卻一直是高考與 各類數(shù)學競賽中的熱點與難點，很多創(chuàng)新試題都是以二次函數(shù)為載體命制的 .尤其是二次函數(shù) 在閉區(qū)間上的最值,是二次函數(shù)中難度較大且考查頻率較高的一個知識點，本專題對此作一些 探討 二、問題的探源本題解法：化簡三角函數(shù)的解析式:/(x) =1 cos2x+二 cos1X當g = 時，函數(shù)/（專取得最大值Jtr【點睛】本題經(jīng)三角函數(shù)式的化簡將三角函數(shù)的問題轉化為二次函數(shù)的問題，二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)

2、稱“三個二次”，它們常結合在一起，有關二次函數(shù)的問題，數(shù)形結合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法。一般從：開口方向；對稱軸位置；判 別式；端點函數(shù)值符號四個方面分析。1. 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動，不論哪種類型，解決的關鍵是考察對稱軸與區(qū)間的位置關系，當含有參數(shù)時，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關系進行分類討論；求解二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，解題的關鍵都是抓住“三點一軸”，“三點”即區(qū)間兩端點與區(qū)間中點，“一軸”即為拋物線的對稱軸對于動函數(shù)、動區(qū)間的類型同樣是抓住“三點一軸”，只不過討論要復雜一些而已2. 對于“動軸定區(qū)間”問題，一般分兩大類

3、：若軸在區(qū)間左邊或右邊，則直接依單調(diào)性可解；若軸在區(qū)間中，則最值在頂點及區(qū)間端點取得（有時需要比較區(qū)間端點的函數(shù)值，從而進 行二次分類）.cosx2丿7T由自變量的范圍：XE可得:cosxe 0,1 -2 -3.函數(shù)f X在閉區(qū)間上的最大值、最小值必在區(qū)間端點或頂點處取得;設 f x =ax bxc=：0 a . 0 ,則二次函數(shù)在閉區(qū)間 lm,n 上的最大、最小值有如下的分布情況:對于開口向下的情況，討論類似其實無論開口向上還是向下，都只有以下兩種結論:(1)若-m,nl,則2ar fb)inmaxf m,f,fn , f xmi當對稱軸位于區(qū)間之間時，考慮最值時需考慮對稱軸在區(qū)間的左邊或右

4、邊，往往通過比較對稱軸-與區(qū)間中點的大小來判斷2a2另外，當二次函數(shù)開口向上時，自變量的取值離開 x 軸越遠，則對應的函數(shù)值越大；反過來，當 次函數(shù)開口向下時，自變量的取值離開 x 軸越遠，則對應的函數(shù)值越小 三、問題的佐證(一)對稱軸定，區(qū)間動2m：n :2am :b2acn即b_e2abm：n最大、最小值minXnf Xmax =max!fn,fm?f b ) f(x L=f .亠min2af xmaxin=min(2)若擬=maxf m ,f n，f Xmin=min 計 m ,f n ffx = ax2+力石+c = 0 0 -3 -【例 1】已知函數(shù)f(x) =2x -4x 3,則函

5、數(shù)f (x)在-1,2上的最大值為【解析】f(x)=4x4,令f (x)0有1 x乞2,令f(x)：O有-仁x：1,所以函數(shù)f (x)-4 -在1-1,1為減函數(shù)，在1,21 上為增函數(shù)故函數(shù)f(x)在一1,2上的最大值為f(_1)或f(2),而f(-1) =9,f(2) =3.故最大值為9.【例 2】求函數(shù) y =x2_4x 3 在區(qū)間 lt,t 1 上的最值.【解析】對稱軸 X。=2(1) 當 2 : t 即 t 2 時，ymin二 f t =t24t 3, ymax=f t 1 = 一 2t ；(2) 當 t 空 2 乞 t1 即 1 乞 t 乞 2 時，ymin=f 2=1,當 1 小

6、：| 時,ymax二 f t 1 =t22t,當 I 空亡 2 時,ymax二 f t = F 一 4t 3 ；(3) 當 2 t 1 即 t：1 時，ymin二 f t 1 二 t2-2t, ymax二 f t 二 F - 4x 3【例 3】【2015 高考浙江】已知函數(shù)f (x x2ax b(a,bR)，記M (a, b)是| f (x) |在區(qū)間-1,1上的最大值.證明：(1)當|a|_2時，M (a,b) _2；(2)當a，b滿足M (a,b)冬2，求|a |b|的最大值.【解析】分析：(1)分析題青可知丁 00 在-LI上單調(diào)，從而可知Ma,b) =/(-l) |,分類討論的取 11

7、 范圍即可求解 j|1 一口+5 冃只一 1)隹 2,即可得證-2解析：(1)由f(x) =(x)2b，得對稱軸為直線x，由|a|-2，242a得 |一才-1，故f (x)在T,1上單調(diào)，二M(a,b)=max| f f ( T)|,當a - 2時，由f一f(一1) = 2a一4，得max f (1), f (一1)一2，即M (a,b)一2,分析題意可知|糾+ |皆ra + b.abQa b abd,再由歐砧)- 1 恒成立，求t的取值 范圍3【解析】若tV1,要使f(x) - 1 恒成立，只需f( - 1) - 1,即 4t+ 2- 1,則t-, 這與tV-1 矛盾.2若一 Kt- 1 恒

8、成立，只需f(t) - 1,即一t2+ 2t+ 1- 1,貝U1- 3 2,要使f(x) - 1 恒成立，只需f(2) - 1,即一 2t+ 5- 1, 2Vtw3.綜上所述,t的取值范圍是1 - , 3,3.【例 5】已知f(x) =ax2- 2x(0wxw1),求f(x)的最小值g(a).【解析】(1)當a= 0 時,f(x) =- 2x在0,1上單調(diào)遞減，- g(a) =f(x)min=f(1) =- 2.21當a0 時,f(x) =ax-2x的圖象開口方向向上，且其對稱軸為x=.a12當0Vaw1,即宀時，f(x)=ax-2x的圖象對稱軸在0,1內(nèi)，12a1,即 oa1 時，f(x)

9、=ax- 2x的圖象對稱軸在0,1的右側，二f(x)在0,1上單調(diào)遞減，g(a) =f(x)min=ff(x)在 |0,單調(diào)遞減，在la，-6 -g(a) =f(x)min=f(1) =a 2.21當a 0 時,f(x) =ax 2x的圖象的開口方向向下，且對稱軸x= 0,在y軸的左側，af(x) =ax2 2x在0,1上單調(diào)遞減， g(a) =f(x)min=f(1)=a 2.ra 2,a 1.Ia【例 6】2015 高考湖北文 17】為實數(shù)，函數(shù) f(x)=|x2ax|在區(qū)間0, 1上的最大值記為 g(a).求 g(a)的值最小.【解析】因為函數(shù) f(x) =|x2-ax |，所以分以下幾

10、種情況對其進行討論：當a乞0時，函數(shù)f (x) =|x2-ax | = x2-ax 在區(qū)間0, 1上單調(diào)遞增，所以 f (x)max二 g(a) =1 -a ;22當 0：a：2 2 一 2 時，此時 f(a)=|(a)2_a f ,f(1)=1_a,22242 2而乞-(1 _a)二魚空-2 叮 0 ,所以 f(x)max二 g(a)二 1 - a ；443當22時，/=用一 n 卜一” 4頁在區(qū)間(0 匸)上遞増，2r-在(即 1)上遞減-當彳時/W 取得最大值礙=和4當a2?皿|=*十皿在區(qū)間0,1遞増當工=1 時，1童衛(wèi)22fW取得最大值/O) = 1-3 則 g(d) = a2-2f

11、l2 在 2,2 血-2上遞制,斗衛(wèi)-IQ2土(2 血 7 杠 0上遞増，即當 a =20-2 時，威町的值最小-故應填222.【點睛】將含絕對值的二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題和分段函數(shù)的最值問題融合在一起，運用分類討論的思想將含絕對值問題轉化為分段函數(shù)的問題，充分體現(xiàn)了分類討論和化歸轉化的數(shù)學思想，能較好的考查知識綜合能力 .其解題的關鍵是運用分類討論求出 g(a)的表達式和分段函數(shù)在區(qū)間上的最值求法-7 -四、問題的解決3結合圖形3乞m乞3222.函數(shù)y = x X(-1 _ X _ 3)的值域是( )A 0,121C.卜一，122【答案】B11【解析】二次函數(shù)開口向上，對稱軸為x,結合單調(diào)

12、性可知當x時函數(shù)取得最小值2211-,當x= 3 時函數(shù)取得最大值12,因此函數(shù)值域為-,12443.【2017 課標 II 文 8】函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是A.( , 2)B.( 1)C.(1,+乂)D.(4,+乂)【答案】D【解析】函數(shù)有意義，則：X2-2X-8 0，解得：x-2或x 4，結合二次函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和復合函數(shù)同增異減的原則可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為D.4.【2016 高考浙江】已知函數(shù)f(x) =x2+bx,則b0”是“f(f(x)的最小值與f(x)的最小值相等”的(A.充分不必要條件)B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件1 已知函

13、數(shù)y=x2-3x-4的定義域是0, m1值域為-生,-4,則m的取值范圍是(IL4A.0,41 B.C.D.【答案】C2【解析】由題y=x -3x_4,對稱軸為:x =.貝 Vf () = -,f (0) - -4 = f (3). 2241B卜- ,124D. -,1244,=.故選2,-8 -C.充分必要條件【答案】A-9 -【點晴】研究函數(shù)三個思想 1.等價轉換思想：將不等式恒成立，有解問題等價轉化為對應函數(shù)最值問題 2.數(shù)形結合思想：利用函數(shù)圖像，研究函數(shù)性質(zhì) 否有解及實根分布轉化為對應函數(shù)性質(zhì)與圖像問題7.已知函數(shù) f(x)= x2 6x + 8,x 1,a,并且 f (x)的最小值

14、為 f (a),則實數(shù) a 的取值【解析】由題意知/十丘之兀+尸，最小值為244令SH,則于(才(功=于二纟尸一24斗當 D的最小值與只的最小值相等 3 4當D 時，/(/(x) = x4的最小值為 0, /()的最小值也為 0,所以“fg的最小值與/(x)的最卜值相等環(huán)能推出“族曠 故選A.5.【2014 高考重慶理第 12 題】函數(shù)f (x) =log2、x Jog2(2X)的最小值為1【答案】-41【解析】f xlog2x -|2 log2_2| 1 ,x 1二2I】4所以，當log2x=-，即x時，f x取得最小值-丄.224所以答案應填:6.【2014 江蘇理 10】已知函數(shù)f(x)

15、=x2，mx-1，若對于任意的Im, m 11都有f (x) : 0，則實數(shù)m的取值范圍為.【答案】(_辺,0)2【解析】 據(jù)題意2 2f (m)二m mT：0,2f(m 1)=(m 1) m(m 1)T：0,解得ZE：0.23.函數(shù)與方程思想：將方程是-10 -區(qū)間是_ .【答案】1,31-11 -【解析】函數(shù)f x=x?_6x+8,的對稱軸為x=3,要使1,a時,最小值為f a,根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知a3,故實數(shù) a 的取值區(qū)間是1,38.函數(shù) f x =ax2-2ax 2 b a = 0 在|2,3 |上有最大值 5 和最小值 2,求a,b的值.9.設函數(shù) f(x) =x2-4x -4

16、的定義域為 It -2, t -1,對任意 tR ,求函數(shù) f(x)的最小值的解析式.【解析】將二次函數(shù)配方得：f(x) =X2_4x _4=(x -2)2-8其對稱軸方程為x=2,頂點坐標為(2, _8),圖象開口向上(1)當 2：t -2 ,即 t 4.當 x = t -2 時,函數(shù)取得最小值,f (t _2)鼻化 _4)2_8 = t2_8t 8(2) 當 t -2 空 2 乞-1,即 3 乞 t 乞 4.當x =2時，函數(shù)取得最小值，f (2) = -8(3) 當 t -1：2,即 t：3.當 x =t -1 時，函數(shù)取得最小值，f (t -1) =(t -3)2-8_6t - 1 -

17、8t +8(t A4)綜上討論,得二-8(3 竺 遼 4)I2t -6t 1(t : 3)10.討論函數(shù) fx =x2亠 x-a 亠 1 的最小值.2【解析】f X =x2 X -a1 =x2-a JX a,這個函數(shù)是一個分段函數(shù)，由于上下兩段# _x +a +1,x a上的對稱軸分別為直線 X =，X =丄，當 a :：-1, -丄遼 a :：丄，a _丄時原函數(shù)的圖象分別如 2 2 22 2 2【解析 1 對稱軸舟十珂故函數(shù) f在區(qū)間2上單調(diào)一1)當小時網(wǎng)數(shù)論)在區(qū)間2 習上是増函數(shù)，故；舄叮；暑 二2) 3a=3-12 -下(1),( 2),( 3)1 12(2)當 一 2 空 a：2

18、時,fxmina；=a 1；(3)當 a -時，f xmin=f -=- a2”! 411. 設函數(shù)f(x) =x2-2x 1 在區(qū)間t,t+ 1上有最小值g(t),求g(t)的解析式.2 2【解析】f(x) =x 2x 1 = (x 1) 2.1當t1 時,f(x)在區(qū)間t,t+ 1上是增函數(shù),則最小值g(t) =f(t) =t2 2t 1 ；23當t+11,即t 1.12. 設函數(shù)y=x2 2x,x 2,a,若函數(shù)的最小值為g(a),求g(a).【解析】函數(shù)y=x2 2x= (x 1)2 1,對稱軸為直線x= 1,Tx= 1 不一定在區(qū)間一 2,a內(nèi)，.應進行討論.2當一 21時，函數(shù)在2,1上單調(diào)遞減，在1,a上單調(diào)遞增，則當x= 1 時，y取得最小值，即ymin=1.廣2a2a,21.13. 是否存在實數(shù)a,使函數(shù)f(x) =x2 2ax+a的定義域為1,1時，值域為2,2 ?若存在，求a的值；-13 -若不存在，說明理由.2 2【解析】f(x) = (xa) +aa.-14 -當av1 時,f(x)在1,1上為增函數(shù)a= 1(舍去)；f(a)=aa2= 2當-代 0時，f(1 )= 1 a= 2?a=1；f(a)=aa2= 2 = -f( 1)= 1 + 3