導數(shù)概念ppt課件

1、整理課件第一節(jié)第一節(jié) 導數(shù)的概念導數(shù)的概念一、問題的提出一、問題的提出二、導數(shù)的定義二、導數(shù)的定義三、由定義求導數(shù)三、由定義求導數(shù)四、導數(shù)的幾何意義四、導數(shù)的幾何意義五、可導與連續(xù)的關系五、可導與連續(xù)的關系六、小結思考題六、小結思考題整理課件一、問題的提出一、問題的提出1.自由落體運動的瞬時速度問題自由落體運動的瞬時速度問題0tt ,0時時刻刻的的瞬瞬時時速速度度求求tt如圖如圖,0tt 的的時時刻刻取取一一鄰鄰近近于于, t 運動時間運動時間tsv 平均速度平均速度00ttss ).(20ttg ,0時時當當tt 取極限得取極限得2t)(tlimv00 gtt瞬瞬時時速速度度.0gt 整理課

2、件 T0 xxoxy)(xfy CNM如圖如圖, 如果割線如果割線MN繞點繞點M旋轉而趨向極限位置旋轉而趨向極限位置MT,直線直線MT就稱為曲線就稱為曲線C在點在點M處的處的切線切線.極限位置即極限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM設設的的斜斜率率為為割割線線MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿沿曲曲線線的斜率為的斜率為切線切線MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 整理課件二、導數(shù)的定義二、導數(shù)的定義,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy

3、記為記為處的導數(shù)處的導數(shù)在點在點數(shù)數(shù)并稱這個極限為函并稱這個極限為函處可導處可導在點在點則稱函數(shù)則稱函數(shù)時的極限存在時的極限存在之比當之比當與與如果如果得增量得增量取取相應地函數(shù)相應地函數(shù)時時仍在該鄰域內仍在該鄰域內點點處取得增量處取得增量在在當自變量當自變量有定義有定義的某個鄰域內的某個鄰域內在點在點設函數(shù)設函數(shù)定義定義整理課件.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000即即000( )(),xxxxdydf xfxdxdx或整理課件.)(,)(內內可可導導在在開

4、開區(qū)區(qū)間間就就稱稱函函數(shù)數(shù)處處都都可可導導內內的的每每點點在在開開區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)IxfIxfy 關于導數(shù)的說明：關于導數(shù)的說明：0,.x導數(shù)是因變量在點處的變化率它反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度整理課件xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :.)()(. 100 xxxfxf ,( )( ).( ),( ),.xIf xf xdydf xy f xdxdx對于任一都對應著的一個確定的導數(shù)值,這樣就構成了一個新的函數(shù),這個函數(shù)叫做原來函數(shù)的導函數(shù)記作或整理課件2.右導數(shù)右導數(shù):單側導數(shù)單側導數(shù)1.左導數(shù)左導數(shù):;)(

5、)(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函數(shù)數(shù))(xf在在點點0 x處處可可導導左左導導數(shù)數(shù))(0 xf 和和右右導導數(shù)數(shù))(0 xf 都都存存在在且且相相等等.整理課件如如果果)(xf在在開開區(qū)區(qū)間間 ba,內內可可導導，且且)(af 及及)(bf 都都存存在在，就就說說)(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間 ba,上上可可導導.,),(),()(000可可導導性性的的討討論論在在點點設設函函數(shù)數(shù)xxxxxxxxf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(

6、lim000 ,)(0存存在在xf 整理課件則則)(xf在在點點0 x可可導導，,)(0存存在在xf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000 ,)()(00axfxf 且且.)(0axf 且且整理課件三、由定義求導數(shù)三、由定義求導數(shù)步驟步驟:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求極極限限例例1 1.)()(的導數(shù)的導數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即整理課件例例2 2.)(sin)(sin,

7、sin)(4 xxxxxf及及求求設設函函數(shù)數(shù)解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 整理課件例例3 3.)(的的導導數(shù)數(shù)為為正正整整數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 整理課件例例4 4.)1, 0()(的的導導數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) aaax

8、fx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 整理課件例例5 5.)1, 0(log的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa 整理課件例例6 6.0)(處的可導性處的可導性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0

9、(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(點點不不可可導導在在函函數(shù)數(shù) xxfy整理課件四、導數(shù)的幾何意義四、導數(shù)的幾何意義oxy)(xfy T0 xM1.幾何意義幾何意義)(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點在點表示曲線表示曲線 xfxfxMxfyxf切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為).)(000 xxxfyy 00001()()0).()yyxxfxfx 若整理課件例例7 7.,)2 ,21(1方方程程和和法法線線方方程程并并寫寫出出在在該該點點處處的的切切線線斜斜率率處處的的切切線線的的在在點點求求等等邊邊雙雙曲曲線線xy

10、 解解由導數(shù)的幾何意義由導數(shù)的幾何意義, 得切線斜率為得切線斜率為21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切線方程為所求切線方程為法線方程為法線方程為),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即整理課件五、可導與連續(xù)的關系五、可導與連續(xù)的關系定理定理 凡可導函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)凡可導函數(shù)都是連續(xù)函數(shù). .證證,)(0可可導導在在點點設設函函數(shù)數(shù)xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0連連續(xù)續(xù)在在點點函函數(shù)數(shù)xxf)0(0 x 注意注意: 該定理的逆定理不成立該定理

11、的逆定理不成立.整理課件例例8 8.0,0, 00,1sin)(處的連續(xù)性與可導性處的連續(xù)性與可導性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解,1sin是是有有界界函函數(shù)數(shù)x01sinlim0 xxx.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在 xxf處處有有但但在在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之間振蕩而極限不存在之間振蕩而極限不存在和和在在時時當當 xyx.0)(處不可導處不可導在在 xxf0)(lim)0(0 xffx整理課件六、小結六、小結1. 導數(shù)的實質導數(shù)的實質: 增量比的極限增量比的極限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義:

12、 切線的斜率切線的斜率;4. 函數(shù)可導一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導函數(shù)可導一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導;5. 求導數(shù)最基本的方法求導數(shù)最基本的方法: 由定義求導數(shù)由定義求導數(shù).6. 判斷可導性判斷可導性不連續(xù)不連續(xù),一定不可導一定不可導.連續(xù)連續(xù)直接用定義直接用定義;看左右導數(shù)是否存在且相等看左右導數(shù)是否存在且相等.整理課件思考題思考題 函數(shù)函數(shù))(xf在某點在某點0 x處的導數(shù)處的導數(shù))(0 xf 與導函數(shù)與導函數(shù))(xf 有什么區(qū)別與聯(lián)系？有什么區(qū)別與聯(lián)系？整理課件思考題解答思考題解答 由導數(shù)的定義知，由導數(shù)的定義知，)(0 xf 是一個具體的是一個具體的數(shù)值，數(shù)值，)(xf 是由于是由于)(

13、xf在某區(qū)間在某區(qū)間I上每一上每一點都可導而定義在點都可導而定義在I上的一個新函數(shù)，即上的一個新函數(shù)，即Ix ，有唯一值，有唯一值)(xf 與之對應，所以兩與之對應，所以兩者的者的區(qū)別區(qū)別是：一個是數(shù)值，另一個是函數(shù)兩是：一個是數(shù)值，另一個是函數(shù)兩者的者的聯(lián)系聯(lián)系是：在某點是：在某點0 x處的導數(shù)處的導數(shù))(0 xf 即是導即是導函數(shù)函數(shù))(xf 在在0 x處的函數(shù)值處的函數(shù)值整理課件一一、 填填空空題題：1 1、 設設)(xf在在0 xx 處處可可導導，即即)(0 xf 存存在在，則則 _)()(lim000 xxfxxfx , , _)()(lim000 xxfxxfx . .2 2、 已

14、已知知物物體體的的運運動動規(guī)規(guī)律律為為2ts ( (米米) )，則則該該物物體體在在 2 t秒秒時時的的速速度度為為_ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 設設321)(xxy , ,221)(xxy , ,53223)(xxxxy , , 則則它它們們的的導導數(shù)數(shù)分分別別為為dxdy1= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，dxdy2= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，dxdy3= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .練練習習題題整理課件4 4、 設設2)(xxf , ,則則 )(

15、xff_ _； )(xff_._.5 5、 曲 線曲 線xey 在 點在 點)1,0(處 的 切 線 方 程 為處 的 切 線 方 程 為_._.二、二、 在下列各題中均假定在下列各題中均假定)(0 xf 存在，按照導數(shù)的定存在，按照導數(shù)的定義觀察下列極限，分析并指出義觀察下列極限，分析并指出A表示什么？表示什么？ 1 1、Axxxfxfxx 00)()(lim0； 2 2、Ahhfh )(lim0，其中，其中)0(0)0(ff 且且存在；存在； 3 3、Ahhxfhxfh )()(lim000. .三、證明：若三、證明：若)(xf為偶函數(shù)且為偶函數(shù)且)0(f 存在，則存在，則0)0( f.

16、.整理課件四、四、 設函數(shù)設函數(shù) 0,00,1sin)(xxxxxfk問問k k滿足什么條滿足什么條件，件，)(xf在在0 x處處 (1)(1)連續(xù)；連續(xù)； （2 2）可導；）可導；（3 3）導數(shù)連續(xù)）導數(shù)連續(xù). .五、五、 設函數(shù)設函數(shù) 1,1,)(2xbaxxxxf, ,為了使函數(shù)為了使函數(shù))(xf在在1 x處連續(xù)且可導，處連續(xù)且可導，ba ,應取什么值應取什么值. .六、六、 已知已知 0,0,sin)(xxxxxf, ,求求)(xf. .七、七、 證明：雙曲線證明：雙曲線2axy 上任一點處的切線與兩上任一點處的切線與兩 坐標軸構成的三角形的面積都等于坐標軸構成的三角形的面積都等于22a. .整理課件八、八、 設有一根細棒，取棒的一端作為原點，棒上任意點設有一根細棒，取棒的一端作為原點，棒上任意點的坐標為的坐標為x，于是分布在區(qū)間，于是分布在區(qū)間1,0上細棒的質上細棒的質量量m是是x的函數(shù)的函數(shù))(xmm 應怎樣確定細棒在點應怎樣確定細棒在點0 x處的線密度處的線密度（對于均勻細棒來說，單位長度細棒（對于均勻細棒來說，單位長度細棒的質量叫作這細棒的線密度）？的質量叫作這細棒的線密度）？整理課件一、一、1 1、)(0 xf ； 2 2、)(0 xf ； 3 3、6533161,2,32 xxx； 3 3、24x, ,22x； 5 5、01 yx. .