2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版選修2-2學(xué)案：1.7.1　定積分在幾何中的應(yīng)用 Word版含解析

1、17.1定積分在幾何中的應(yīng)用目標(biāo) 1.能說出定積分的幾何意義.2.學(xué)會利用定積分求平面圖形的面積.3.加深微積分基本定理及定積分的性質(zhì)的應(yīng)用重點(diǎn) 利用定積分求簡單平面圖形的面積難點(diǎn) 利用定積分求較為復(fù)雜的圖形的面積知識點(diǎn) 定積分與平面圖形面積的關(guān)系填一填1平面圖形面積的求法在利用定積分求平面圖形的面積時，一般要先畫出它的草圖，再借助圖形直觀確定出被積函數(shù)和積分的上、下限2常見的平面圖形的計算(1)求由一條曲線yf(x)和直線xa，xb(a<b)及y0所圍成平面圖形的面積s.圖中，f(x)>0，f(x)dx>0，因此面積sf(x)dx；圖中，f(x)<0，f(x)dx&l

2、t;0，因此面積s|f(x)dx|f(x)dx；(2)求由兩條曲線f(x)和g(x)，直線xa，xb(a<b)所圍成平面圖形的面積s.答一答1如圖，如何求相交曲線所圍圖形的面積？2如何利用定積分表示如圖平面圖形abcd的面積？提示：選取y為積分變量，積分區(qū)間為a，b，則圖中平面圖形abcd的面積為s f2(y)f1(y)dy.定積分只能用于求曲邊梯形的面積，對于非規(guī)則的曲邊梯形，一般要將其分割或補(bǔ)形為規(guī)則的曲邊梯形，再利用定積分的和與差求面積對于分割或補(bǔ)形中的多邊形的面積，可直接利用相關(guān)面積公式求解.類型一 不必分割的圖形的面積求解【例1】計算曲線yx22x3與直線yx3所圍成圖形的面積

3、【思路分析】如圖所示，結(jié)合圖形，先求出兩曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1，x2，將所求面積轉(zhuǎn)化為兩個曲邊梯形的面積差，然后利用定積分求其面積【解】由解得x10，x23.因此所求圖形的面積為s 0(x3)dx 0(x22x3)dx 0(x3)(x22x3)dx 0(x23x)dx(x3x2).為解此類題應(yīng)做到：畫出圖形；根據(jù)圖形的特征，由曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)確定積分的上、下限；確定被積函數(shù)求由拋物線yx24與直線yx2所圍成圖形的面積解：如圖，由得或，所以直線yx2與拋物線yx24的交點(diǎn)為(3，5)和(2,0)，設(shè)所求圖形面積為s，根據(jù)圖形可得s3(x2)dx3(x24)dx(2xx2)(x34x)().類型二

4、需分割的圖形的面積求解【例2】求由曲線y，y2x，yx所圍成圖形的面積【思路分析】先求出曲線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，確定積分區(qū)間，然后分段利用公式求解【解】法1：畫出草圖，如圖所示解方程組，及，得交點(diǎn)分別為(1,1)，(0,0)，(3，1)法2：若選積分變量為y，則三個函數(shù)分別為xy2，x2y，x3y.因?yàn)樗鼈兊慕稽c(diǎn)分別為(1,1)，(0,0)，(3，1)由兩條或兩條以上的曲線圍成的較為復(fù)雜的圖形，在不同的區(qū)段內(nèi)位于上方和下方的函數(shù)有所變化，通過解方程組求出曲線的不同的交點(diǎn)坐標(biāo)，將積分區(qū)間進(jìn)一步化分，然后根據(jù)圖象對各個區(qū)段分別求面積進(jìn)而求和，在每個區(qū)段上被積函數(shù)均是由上減下；若積分變量選取x運(yùn)算較

5、為復(fù)雜，可以選y為積分變量，同時更改積分的上下限.求由拋物線y28x(y>0)與直線xy60及y0所圍成圖形的面積解：由題意，作出圖形如圖，由，得x2.所以y28x與直線xy60的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)，所以所求面積為：定積分與概率的綜合應(yīng)用【例3】如圖所示，在邊長為1的正方形oabc中任取一點(diǎn)p，則點(diǎn)p恰好取自陰影部分的概率為()a. b.c. d.【思路分析】本題是幾何概型概率問題的求解，依據(jù)定積分的幾何意義表示出陰影部分的面積，利用微積分基本定理求解即可【答案】c【解后反思】高考命題常以定積分與幾何概型的綜合為背景命題，既考查定積分求面積又考查了幾何概型，是一種在知識交匯點(diǎn)處命題的思路從如圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個點(diǎn)m(x，y)，則點(diǎn)m取自陰影部分的概率為.1用s表示如圖中陰影部分的面積，則s的值是(d)2由曲線y|x|與x1，x1，y0所成的圖形的面積是(b)a. b