【KS5U解析】2020屆高三普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試伯樂馬模擬考試（二）文科數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

1、2020年普通高等學(xué)校招生伯樂馬模擬考試（二）文科數(shù)學(xué)注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上.寫在本試卷及草稿紙上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（ ）a. （2，1）b. （1，2）c. d. 【答案】d【解析】【分析】等式兩邊同除，再化簡即可的出答案.【詳解】因為，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為.故選：d.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本運算與幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.熟練掌握分式復(fù)數(shù)的化簡是本題的關(guān)鍵.2. 已知集合，則

2、集合可以為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)知道集合中的元素不能有2或6，必含有4和7，則可選出答案.【詳解】因為集合，所以集合中的元素不能有2或6，必含有4和7.故選：c.【點睛】本題考查集合的交并補.屬于基礎(chǔ)題.熟練掌握集合的交并補運算是解本題的關(guān)鍵.3. 已知，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由題意結(jié)合對數(shù)運算的性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，即可得解.【詳解】因為，所以.故選：d.【點睛】本題考查了對數(shù)運算的性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查了對數(shù)式、指數(shù)式的大小比較，屬于基礎(chǔ)題.4. 已知等差數(shù)列的前

3、項和為，若，則（ ）a. 16b. 19c. 33d. 35【答案】d【解析】【分析】將等差數(shù)列的通項公式與前項和公式帶入等式，即可解出首項與公差，則可解出.【詳解】因為，所以，所以公差，又，所以，解得，所以.故選：d.【點睛】本題考查等差數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題.熟練掌握其通項公式與前項和公式是解本題的關(guān)鍵.5. 周髀算經(jīng)、九章算術(shù)、海島算經(jīng)、孫子算經(jīng)、緝古算經(jīng)是我國古代數(shù)學(xué)中的5部著名數(shù)學(xué)著作，其中周髀算經(jīng)九章算術(shù)產(chǎn)生于漢代.某中學(xué)擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專著中恰好有一部是漢代時期專著的概率為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】利用列

4、舉法列出所有基本事件，然后利用古典概型的概率公式求解即可【詳解】假設(shè)周髀算經(jīng)、九章算術(shù)分別為1，2，海島算經(jīng)、孫子算經(jīng)、緝古算經(jīng)分別為，則基本事件有，共10個，其中恰好有一個是漢代著作的有，共6個，所以所求概率為.故選：b【點睛】此題考查古典概型的概率的求法，利用了列舉法，屬于基礎(chǔ)題.6. 已知，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由兩角差的正切公式求得，直接結(jié)合平方關(guān)系求得后再得【詳解】，解得或，兩種情況下都有故選：d【點睛】本題考查兩角差的公式，同角間的三角函數(shù)關(guān)系，正弦的二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題7. 已知雙曲線：的右焦點為，若以（為坐標(biāo)原點）為直徑的圓被雙曲線的一條漸

5、近線所截得的弦長等于雙曲線的虛軸長，則雙曲線的離心率為（ ）a. b. c. d. 2【答案】a【解析】【分析】首先利用點到直線的距離公式求出，再由即可求解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，即，圓心為，所以圓心到漸近線的距離為，由題意可得，所以，所以，即離心率.故選：a【點睛】本題考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，同時考查了考生的基本運算能力，屬于基礎(chǔ)題.8. 函數(shù)的圖象可能是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】采用排除法，根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)在處的函數(shù)值大小，可得結(jié)果.【詳解】由，則所以，即函數(shù)是偶函數(shù)故排除a，c，當(dāng)時，排除d.故選：b【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式判斷大

6、致圖象，針對這種題型常常從定義域、奇偶性、單調(diào)性、對稱性、值域、特殊值入手，考驗分析問題的能力，屬基礎(chǔ)題.9. 已知定義在上的函數(shù)滿足，則曲線在點處的切線方程為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】分析】先利用換元法求出的解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線方程【詳解】令，則，由，得，所以，.所以曲線在點處的切線方程為.故選：c【點睛】此題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用換元法求函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.10. 已知直線與橢圓：交于，兩點，點是橢圓的左焦點，若，則（ ）a. 2b. c. d. 4【答案】c【解析】【分析】根據(jù)直線與橢圓都關(guān)于原點對稱則的可得到，即可解出，求得橢圓的標(biāo)

7、準(zhǔn)方程，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立求解可得出答案.【詳解】由對稱性可得，所以，又，得，所以，即橢圓的方程為，將與聯(lián)立消得，所以.故選：c.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系之弦長問題，屬于中檔題.利用其對稱性分析出，是解本題的關(guān)鍵.11. 在中，邊上的高為，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】設(shè)的三個內(nèi)角，的對邊分別為，由，邊上的高為，利用面積公式可得的關(guān)系，再利用余弦定理得到的關(guān)系，然后由求解.【詳解】設(shè)的三個內(nèi)角，的對邊分別為，由題意知，所以，所以，所以.故選：d【點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.12. 關(guān)于函數(shù)有下

8、述四個結(jié)論：是偶函數(shù)；在區(qū)間上單調(diào)遞減；在有四個零點；的值域是.其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】對于，利用函數(shù)的奇偶性的定義進行判斷即可對于，由于，再利用復(fù)合函數(shù)判斷單調(diào)性的方法判斷；對于，由，直接解方程即可；對于，由于，所以當(dāng)時，取最小值，當(dāng)時，取最大值，從而可求出函數(shù)的值域【詳解】因為，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，不正確；，令，則，因在區(qū)間上單調(diào)遞增，而函數(shù)在單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，正確；當(dāng)時，由，得，或，或，或，所以在有四個零點，正確；，因為，所以當(dāng)時，當(dāng)時，不正確.故選：a.【點睛】此題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，考查復(fù)合函數(shù)的單

9、調(diào)性，考查復(fù)合函數(shù)值域的求法，屬于中檔題.二、填空題.13. 已知向量，若，則實數(shù)_.【答案】1或-2【解析】【分析】利用向量共線的充要條件列出方程，解出即可.【詳解】，所以，解得或.故答案為：1或-2【點睛】本題考查向量共線的充要條件，屬于簡單題.14. 某學(xué)校高一某班女生人數(shù)是男生人數(shù)的.在一次數(shù)學(xué)測試中，男、女生平均分數(shù)分別是85，80，則這次數(shù)學(xué)測試該班學(xué)生的平均分數(shù)為_.【答案】83【解析】【分析】根據(jù)題意可得男生所占比例為，女生所占比例為，再根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算公式即可求解.【詳解】因為該班女生人數(shù)是男生人數(shù)的，所以男生所占比例為，女生所占比例為，所以總平均分為.故答案為：83【點

10、睛】本題考查了加權(quán)平均數(shù)的計算公式，考查了基本知識掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.15. 設(shè)函數(shù)，則，則實數(shù)_.【答案】【解析】【分析】由分段函數(shù)解析式判斷出時，得出，也有 ，再代入相應(yīng)的解析式中，求解方程可得答案.【詳解】當(dāng)時，所以要使成立，則，也有 ，所以，解得，所以，解得.故答案為：.【點睛】本題考查解分段函數(shù)的方程，關(guān)鍵討論自變量的范圍，確定出函數(shù)的具體函數(shù)解析式，屬于中檔題.16. 已知直三棱柱中，則三棱錐的外接球的表面積為_；若與分別為線段和上的動點（不包括端點），且，則三棱錐體積的最大值為_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根據(jù)題意可知三棱錐的外接球即為直三棱柱的外接球，根據(jù)

11、正方體外接球的半徑求解公式即可得解；根據(jù)題意，設(shè)出的長度，表示出棱錐的體積，用基本不等式即可求得體積的最大值.【詳解】三棱錐外接球，就是直三棱柱的外接球，補成棱長為1的正方體，可求得三棱錐的外接球半徑為，所以所求表面積為.設(shè)，則，且，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立.所以三棱錐體積的最大值為.故答案為：；.【點睛】本題考查幾何體外接球表面積的求解，涉及棱錐體積的求解，以及基本不等式求乘積的最大值，屬綜合中檔題.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題.17. 隨著科技的發(fā)展，電子書越來越

12、受到人們的歡迎.某高校為了解該校師生對電子書和紙質(zhì)書的態(tài)度，隨機抽取了100名師生進行了調(diào)查，并得到如下列聯(lián)表：喜歡看電子書喜歡看紙質(zhì)書合計教師5學(xué)生48合計已知這100名師生中隨機抽取一人抽到喜歡看電子書的概率是.（1）請將上述列聯(lián)表補充完整；（2）是否有的把握認為對電子書和紙質(zhì)書的態(tài)度與教師和學(xué)生的身份有關(guān)？附：0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析；（2）沒有的把握認為對電子書和紙質(zhì)書的態(tài)度與教師和學(xué)生的身份有關(guān)【解析】【分析】（1）由喜歡看電子書的概率是可得人數(shù)，從而能完善列聯(lián)表；（2）根據(jù)公式計算出

13、可得結(jié)論【詳解】（1）這100名師生中隨機抽取一人抽到喜歡看電子書的概率是，喜歡看電子書的人數(shù)為列聯(lián)表如下：喜歡看電子書喜歡看紙質(zhì)書合計教師53237學(xué)生154863合計2080100（2），沒有的把握認為對電子書和紙質(zhì)書的態(tài)度與教師和學(xué)生的身份有關(guān)【點睛】本題考查列聯(lián)表和獨立性質(zhì)檢驗，解題關(guān)鍵是計算18. 已知數(shù)列滿足：，.（1）求的通項公式；（2）求的前項和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由可得，兩式相減后化簡得，然后利用累乘法可求出通項公式；（2）利用裂項相消法可求出【詳解】解：（1）令，則，當(dāng)時，所以，即，所以，所以，所以，因為 ，所以，滿足此式，所以；（2）因為，所以【

14、點睛】此題考查數(shù)列的前項和與通項的關(guān)系，考查累乘法求通項公式，考查裂項相消法，屬于基礎(chǔ)題19. 如圖，已知四棱錐中，是平行四邊形，平面平面，分別是，的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）取中點為，通過證明/，即可由線線平行推證線面平行；（2）通過證明平面，即可由線面垂直推證出面面垂直.【詳解】（1）取中點為，連接，如下所示：因為為中點，故可得/，又為中點，故可得/，故可得/，故四邊形為平行四邊形，故可得/，又因為平面，平面，故/平面，即證.（2）因為平面平面，平面平面，又平面，且，故可得平面.又平面，故平面平面，即證.

15、【點睛】本題考查線面平行以及面面平行的證明，注意對已知條件的合理轉(zhuǎn)化，屬綜合基礎(chǔ)題.20. 已知拋物線：的準(zhǔn)線與軸交于點，過點斜率為的直線與拋物線交于，兩點.（1）若，求弦長；（2）若拋物線上存在點使得，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）寫出直線方程，代入拋物線方程，設(shè)，應(yīng)用韋達定理得，由弦長公式可求得弦長；（2）由（1）直線方程為：，設(shè)，應(yīng)用韋達定理得，設(shè)，由，得含有方程，關(guān)于的方程有解，判別式大于或等于0，可得的范圍【詳解】（1）拋物線：的準(zhǔn)線：，所以，：，將其與聯(lián)立消得，設(shè)，則，所以.所以.（2）設(shè)：，與聯(lián)立消得，設(shè)，則，所以，又，所以.設(shè)，由得，所以，所以，即

16、，將，代入得，所以，解得，所以，即當(dāng)時存在點，使得.【點睛】本題考查直線與拋物線相交弦長，考查拋物線中的存在性問題，解題方法是設(shè)而不求思想，即設(shè)交點為，設(shè)直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達定理得，代入弦長公式可得弦長，代入其他條件可得的范圍或其他結(jié)論21. 已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：時，.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求得，對其分解因式，對參數(shù)進行分類討論，即可利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性；（2）根據(jù)題意，要證目標(biāo)不等式即證，分區(qū)間進行考慮；特別地，當(dāng)時，進行二次求導(dǎo)證明不等式即可.【詳解】（1）由，得，當(dāng)時，令，得；令，得.所以在上單調(diào)遞減，

17、在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得；令，得或.所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得；令，得或.所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.綜上所述：時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.（2）因為，所以時，等價于.當(dāng)時，不等式恒成立；當(dāng)時，令，則，令，則，令，則，因為當(dāng)時，所以單調(diào)遞增，所以，所以，單調(diào)遞增，因為，所以存在，使，即，且時，即，單調(diào)遞減；時，即，單調(diào)遞增.所以.令，則，因為在時單調(diào)遞減，且，所以時，即，所以.所以，又，所以.即，時，成立.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單

18、調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，涉及二次求導(dǎo)，屬綜合困難題.（二）選考題：請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22. 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點，若直線與曲線交于，兩點，且為的中點，求實數(shù)的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）消去參數(shù)可得曲線的直角坐標(biāo)方程；利用兩角和的余弦公式展開，由代入即可得出直線的直角坐標(biāo)方程.（2）點在直線上，設(shè)直線的參數(shù)方程可設(shè)為（為參數(shù)），代入曲線的直角坐標(biāo)方程，利用參數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】（1）因為曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.所以消去參數(shù)得曲線直角坐標(biāo)方程為.因為，所以，將代入可得.即直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）因為點在直線上，所以直線的參數(shù)方程可設(shè)為（為參數(shù)）.將其代入得，所以，.因為為的中點，所以，所以，所以，所以，解得，所以或.所以實數(shù)的值為或.【點睛】本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的互化、參數(shù)的幾何意義，考查了考生的計算求解能