線性代數(shù)實驗報告

1、線性代數(shù)實驗報告數(shù)學實驗報告題目第一次實驗題目一、 實驗?zāi)康?熟悉MATLAB的矩陣初等運算；2掌握求矩陣的秩、逆、化最簡階梯形的命令；3會用MABLAB求解線性方程組二、 問題求解和程序設(shè)計流程1 已知，在MATLAB命令窗口中建立A、B矩陣并對其進行以下操作：(1) 計算矩陣A的行列式的值(2) 分別計算下列各式： 、 和、 、 、 、 解： （1） 編寫程序如下： A=4 -2 2;-3 0 5;1 5 3;B=1 3 4;-2 0 -3;2 -1 1;a=det(A)運行結(jié)果：a =-158 （2）編寫程序如下： C=2*A-BD=A*BE=A.*B F=A/BG=ABH=A*AK=A

2、'運行結(jié)果：C = 7 -7 0 -4 0 13 0 11 5D = 12 10 24 7 -14 -7 -3 0 -8E = 4 -6 8 6 0 -15 2 -5 3F = 0 0 2.0000 -2.7143 -8.0000 -8.1429 2.4286 3.0000 2.2857G = 0.4873 0.4114 1.0000 0.3671 -0.4304 0 -0.1076 0.2468 0H = 24 2 4 -7 31 9 -8 13 36K = 4 -3 1 -2 0 5 2 5 32 在MATLAB中分別利用矩陣的初等變換及函數(shù)rank、函數(shù)inv求下列矩陣的秩：(1

3、) 求 Rank(A)=? (2) 求解：（1）編寫程如下：format ratA=1 -6 3 2;3 -5 4 0;-1 -11 2 4; rref(A)運行結(jié)果：ans = 1 0 0 -8/5 0 1 0 0 0 0 1 6/5 由A經(jīng)初等變換后得到的行最簡型可知：A的秩為3。A=1 -6 3 2;3 -5 4 0;-1 -11 2 4;rank(A)直接利用rank函數(shù)求出A的秩為3.（2）編寫程序如下： B=3 5 0 1;1 2 0 0;1 0 2 0;1 2 0 2; inv(B)運行結(jié)果：ans = 2.0000 -4.0000 0 -1.0000 -1.0000 2.500

4、0 0 0.5000 -1.0000 2.0000 0.5000 0.5000 0 -0.5000 0 0.50003. 在MATLAB中判斷下列向量組是否線性相關(guān)，并找出向量組中的一個最大線性無關(guān)組：,解：編寫程序如下：format ratA=1 -1 5 -1;1 1 -2 3;3 -1 8 1;2 3 9 7;a=det(A);if a=0 fprintf('以上矩陣線性相關(guān)') b=rref(A)else fprintf('以上矩陣線性無關(guān)')end運行結(jié)果：以上矩陣線性相關(guān)b = 1 0 0 12/11 0 1 0 59/33 0 0 1 -2/33

5、0 0 0 0 分析：由運行結(jié)果可知：該向量組的一個極大無關(guān)組為：1，2，3.4、在MATLAB中判斷下列方程組解的情況，若有多個解，寫出通解：（1） (2) 解：（1）編寫程序如下： format ratA=1 -1 4 -2;1 -1 -1 2;3 1 7 -2;1 -3 -12 6;a=rank(A)if a=4 fprintf('該方程組只有零解n')else a<4 fprintf('該方程組有多組解n') a=null(A,'r'); syms k1 k2 x=k1*a(:,1)+k2*a(:,2)end運行結(jié)果：a = 4 該

6、方程組只有零解（2）編寫程序如下： format ratB=2 3 1 4;1 -2 4 -5;3 8 -2 13;4 -1 9 -6; rref(B)運行結(jié)果：ans = 1 0 2 -1 0 1 -1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 分析：由B的增廣矩陣的最簡型可知，該方程組有無窮多組解。編程如下： format rat a=null(B,'r'); syms k1 k2 x=k1*a(:,1)+k2*a(:,2) 運行結(jié)果如下： x = -2*k1+k2 k1-2*k2 k1 k2分析：記x3,x4為自由未知量k1,k2，則該方程組的通解為：X1= -2*k1+k2X

7、2= k1-2*k2X3= k1X4= k2 5、化方陣為對角陣.解：編寫程序如下： format rat A=2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5;tx,tz=eig(A)運行結(jié)果：tx = -963/3230 2584/2889 1/3 -963/1615 -1292/2889 2/3 -963/1292 0 -2/3 tz = 1 0 0 0 1 0 0 0 10 分析：由以上運行結(jié)果可直接得出：A的對角矩陣為tz = 1 0 0 0 1 0 0 0 10 6、求一個正交變換，將二次型化為標準型。解：編寫程序如下： A=5 -1 3;-1 5 -3;3 -3 3;P,D=eig(A

8、)運行結(jié)果：P = 0.4082 0.7071 -0.5774 -0.4082 0.7071 0.5774 -0.8165 0 -0.5774D = -0.0000 0 0 0 4.0000 0 0 0 9.0000 分析與結(jié)論： 由以上運行結(jié)果可知，求得的正交向量P為：P = 0.4082 0.7071 -0.5774 -0.4082 0.7071 0.5774 -0.8165 0 -0.5774使得p-1Ap=diag（0,4,9）.因此，通過正交變換X=py，可以將f化為標準型：f=4y22+9y32.第二次實驗題目一、實驗?zāi)康模?） 熟悉三維空間中的線性變換，加深對正交變換保持距離不變

9、性的理解（2） 深刻理解矩陣特征值的內(nèi)涵二、問題求解和程序設(shè)計流程問題：（1）使用圖形窗口的旋轉(zhuǎn)工具，你發(fā)現(xiàn)了什么問題？你能否說明上述向量序列（點）分布在兩個不同的圓周上？若是，你如何證明以及這兩個圓的方程是什么？（2）例4與例5生成向量序列（點）在空間分布“形狀”不同是因為什么？分別計算例4和例5中變換矩陣的行列式與特征值，你發(fā)現(xiàn)了什么？（3）若上述變換矩陣為實對稱正交矩陣，情況又如何？解：（1)因為進行迭代并執(zhí)行程序得：編寫程序：x=rand(3,1)A=2/3,1/sqrt(2),1/(3*sqrt(2);1/3,0,-4/(3*sqrt(2);2/3,-1/sqrt(2),1/(3*s

10、qrt(2);ax=x;n=100; for k=1:n x=A*x; ax=ax,x;endplot3(ax(1,:),ax(2,:),ax(3,:),'*')運行結(jié)果:x = 0.9134 0.6324 0.0975可以觀察到上述向量序列（點）分布在兩個不同的圓周上。驗證如下：編寫程序如下：x=0.9134;0.6324;0.0975;A=2/3,1/sqrt(2),1/(3*sqrt(2);1/3,0,-4/(3*sqrt(2);2/3,-1/sqrt(2),1/(3*sqrt(2);ax=x;n=100; for k=1:n x=A*x; ax=ax,x; endfor

11、 k=1:99 dot(cross(ax(:,k),ax(:,k+1),ax(:,k+2) end運行結(jié)果:ans = -0.2232ans = 0.2232ans = -0.2232ans = 0.2232ans = -0.2232 運行結(jié)果按照上述規(guī)律依次排列。分析與結(jié)論：因為三個向量混合積的結(jié)果為相隔一個分別相等，所以可以形成兩個半徑不同的圓。即上述向量序列（點）分布在兩個不同的圓周上。 求圓方程如下： 編寫程序如下：x=0.9134;0.6324;0.0975;A=2/3,1/sqrt(2),1/(3*sqrt(2);1/3,0,-4/(3*sqrt(2);2/3,-1/sqrt(2)

12、,1/(3*sqrt(2);ax=x;n=100; for k=1:n x=A*x; ax=ax,x; endfor k=3:2:99 if norm(ax(:,1)-ax(:,k)<norm(ax(:,1)-ax(:,k+2) d1=norm(ax(:,1)-ax(:,k+2); m1=ax(:,k+2); endendfor t=4:2:98 if norm(ax(:,2)-ax(:,t)<norm(ax(:,2)-ax(:,t+2) d2=norm(ax(:,2)-ax(:,t+2); m2=ax(:,t+2); endendr1=d1/2A=(x+m1);A=A'r

13、2=d2/2B=(x+m2);B=B'fprintf('圓1的方程是：(x-%.4f)2+(y-%.4f)2+(z-%.4f)2=%.4f2n',A(1)/2,A(2)/2,A(3)/2,r1)fprintf('圓2的方程是：(x-%.4f)2+(y-%.4f)2+(z-%.4f)2=%.4f2n',B(1)/2,B(2)/2,B(3)/2,r2) 運行結(jié)果： r1 = 1.1047r2 = 1.1047圓1的方程是：(x-0.0587)2+(y-0.1072)2+(z-0.0901)2=1.10472圓2的方程是：(x-0.0315)2+(y-0.10

14、26)2+(z-0.1381)2=1.10472分析與結(jié)論：上述向量序列（點）分布在兩個不同的圓周上，且該兩圓半徑相等。 （2）兩者空間分布不同時由于變換矩陣的行列式互為相反數(shù)。 編程如下：formatA=-0.6068,0.4443,-0.6591;-0.4007,-0.8871,-0.2290;-0.6865,0.1251,0.7163;B=2/3,1/sqrt(2),1/(3*sqrt(2);1/3,0,-4/(3*sqrt(2);2/3,-1/sqrt(2),1/(3*sqrt(2);a,tza=eig(A)b,tzb=eig(B)q=det(A)w=det(B) 運行結(jié)果：a = 0

15、.3864 + 0.0000i -0.0081 - 0.6521i -0.0081 + 0.6521i 0.0298 + 0.0000i 0.7068 + 0.0000i 0.7068 + 0.0000i -0.9219 + 0.0000i 0.0195 - 0.2734i 0.0195 + 0.2734itza = 1.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -0.8888 + 0.4583i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -0.

16、8888 - 0.4583ib = 0.3819 + 0.0000i 0.6535 + 0.0000i 0.6535 + 0.0000i -0.6982 + 0.0000i 0.2040 + 0.4633i 0.2040 - 0.4633i -0.6056 + 0.0000i 0.1769 - 0.5342i 0.1769 + 0.5342itzb = -1.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.9512 + 0.3086i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.

17、0000 + 0.0000i 0.9512 - 0.3086iq = 1.0000w = -1.0000 分析與結(jié)論：由于兩矩陣一行列式為1，另一為-1，導致結(jié)果不同。（3）編寫程序如下：x=rand(3,1)A=1 0 0;0 1 0;0 0 1;ax=x;n=100; for k=1:n x=A*x; ax=ax,x;endplot3(ax(1,:),ax(2,:),ax(3,:),'*') 運行結(jié)果： 分析與結(jié)論： 選取最簡單的以實對稱正交矩陣，單位矩陣。得到上述結(jié)果，只有一個點。 (4) 編寫程序如下：x=rand(3,1);A=rand(3,3);ax=x;n=100; for k=1:n B=rand(3,3); A=orth(B); x=A*x; ax=ax,x;endplot3(ax(1,:),ax(2,:),ax(3,:),'*')運行結(jié)果：分析與結(jié)論：由n+1個點夠成一個球，且當上述程序中循環(huán)次數(shù)n增大時，形成的球體越規(guī)整。如當n取1000時，結(jié)果如下：三、實驗總結(jié)與體會 通過此次對matlab的上機學習，我掌握了其基本操作方法，對利用matlab對矩陣進行基本計算，和基本編程都有了了解與學習，并對matlab在矩陣方面的應(yīng)用有了一定程度的了解和認識。學會了如何用matlab對實