2020年(新課改)數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)小測(cè)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

1、A. 50 m,100 m B. 40 m,90 m 課時(shí)跟蹤檢測(cè)（二十八）解三角形的實(shí)際應(yīng)用 、題點(diǎn)全面練 1. 如圖，兩座燈塔 A 和 B 與河岸觀察站 C 的距離相等，燈塔 A 在觀 察站南偏西 40 燈塔 B 在觀察站南偏東 60則燈塔 A 在燈塔 B 的（ A .北偏東 10 B.北偏西 10 C .南偏東 80 解析：選 D 由條件及題圖可知， / A=Z B= 40又/ BCD = 60所以/ CBD = 30 所以/ DBA = 10因此燈塔 A 在燈塔 B 南偏西 80 2. 如圖，從氣球 A 上測(cè)得正前方的河流的兩岸 B, C 的俯角分別為75 30此時(shí)氣 球的高是 60

2、m，則河流的寬度 BC 等于（ A. 240( .3- 1)m C. 120( 3- 1)m B. 180( 2- 1)m D. 30( 3 + 1)m 解析：選 Ctan 15 二 tan(60 45=黑：；60 署舊BC = 60tan 60 60tan 15 = 120（ 3 1）（）（m）. 3. 一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)大噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某 人在噴水柱正西方向的點(diǎn) A 測(cè)得水柱頂端的仰角為 45,沿點(diǎn) A 向北偏東 30前進(jìn) 100 m 到 達(dá)點(diǎn) B，在 B 點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為 30則水柱的高度是（ ） A. 50 m B. 100 m C. 120

3、m D. 150 m 解析：選 A 作出示意圖如圖所示，設(shè)水柱高度是 h m，水柱底 端為 C,則在 Rt BCD 中，BC=（5h，在 ABC 中，A= 60 AC = h, AB = 100,根據(jù)余弦定理得，（V3h）2= h2+ 1002 2 h 1 00 os 60 , 即 h2 + 50h 5 000= 0,即（h 50）（）（h+ 100） = 0,即卩 h = 50,故水柱的 高度是 50 m. 4. 地面上有兩座相距 120 m 的塔， 在矮塔塔底望高塔塔頂?shù)难鼋菫?矮塔塔頂?shù)难鼋菫?寸，且在兩塔底連線的中點(diǎn) O 處望兩塔塔頂?shù)难鼋腔橛嘟牵?則兩塔的高 度分別為（ ）D .南

4、偏西 80 a,在高塔塔底望 a ) h 60 120 r J 20 D m H 60 金 得 60= A. 50 5 m 解析：選 B 設(shè)高塔高 H m，矮塔高 h m,在 O 點(diǎn)望高塔塔頂?shù)难鼋菫?3 則tan心金，tan尹蠱 h 2 120 h 2 %預(yù)廠 . 1- 根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式有著 角為- 3 聯(lián)立解得 H = 90, h= 40. C. 40 m,50 m D. 30 m,40 m 因?yàn)樵趦伤走B線的中點(diǎn) O 望兩塔塔頂?shù)难鼋腔橛嘟?，所以?O 點(diǎn)望矮塔塔頂?shù)难?H 由 tan 3= 60，tan 即兩座塔的高度分別為 40 m,90 m. B. 50 .7 m C. 5

5、0 . 11 m D. 50 19 m 即 1502+ 1002- 2X 150 X 100X1 = r2, 2 解析：在厶 ACM 中，/ MCA = 60 - 15 = 45 Z AMC = 180 60 = 120 由正弦定理得 厲=眾，即竽=AC，解得 AC= 60 砸 2 2 解析：選 B 設(shè)該扇形的半徑為 r(m)，連接 CO,如圖所示. 由題意，得 CD = 150(m), OD = 100(m), Z CDO = 60 在厶 CDO 中，由余弦定理，得 CD2+ OD2- 2CD OD cos 60 = OC2, 解得 r = 50 7(m). 的仰角為 30塔底 C 與 A

6、的連線同河岸成 15角，小王向前走了 1 200 m 到 達(dá) M 處，測(cè)得塔底 C 與 M 的連線同河岸成 60角，則電視塔 CD 的高度為 5.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為 120。的扇形 AOB , C 是該 小區(qū)的一個(gè)出入口， 且小區(qū)里有一條平行于 AO 的小路 CD.已知某人從 O 沿 OD 走到 D 用了 2 min，從 D 沿著 DC 走到 C 用了 3 min.若此人步行的 速度為 50 m/min，則該扇形的半徑的長度為 ( ( 6.如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸電視塔 CD 的高度，小王在點(diǎn) A 處測(cè)得塔頂 仁 ACD 中，tan / DAC = AC 汀 解析：依題意知，在 A

7、CD 中，/ DAC = 30由正弦定理得AC = CD 需=2,2， 在厶 BCE 中，/ CBE = 45由正弦定理得 BC= 嚴(yán)嚴(yán)=3 2.在 ABC 中，由余弦定理 sin 45 V 得 AB2 = AC2 + BC2- 2AC BC cos/ ACB= 10,解得 AB = 10. 答案：帀 8. 如圖所示，在一個(gè)坡度一定的山坡 AC 的頂上有一高度為 25 m 的 建筑物 CD，為了測(cè)量該山坡相對(duì)于水平地面的坡角 0,在山坡的 A 處測(cè) 得/ DAC = 15沿山坡前進(jìn) 50 m 到達(dá) B 處，又測(cè)得/ DBC = 45根據(jù) 以上數(shù)據(jù)可得 cos 0= _ . 解析：由/DAC =

8、 15 / DBC = 45 可得/ DBA = 135 / ADB = 30 即 siS? =siflT， 所以 BD = 100sin 15 = 100 X sin(45 -30 = 25( . 6- 2). 25 = 25(/6-V2 ) sin 45 sin/ BCD 解得 sin/ BCD = 3- 1. 所以 cos 0= cos(/ BCD - 90= sin/ BCD = 3-1. 答案：3- 1 9. 如圖所示，在一條海防警戒線上的點(diǎn) A, B, C 處各有一個(gè) DC = 600 6 X 600 2. 答案：600 2 7. 如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸 A, B 兩點(diǎn)之間的距離，觀

9、察者找到一個(gè)點(diǎn) C,從 C 點(diǎn)可以觀察到點(diǎn) A，B;找到一個(gè)點(diǎn) D，從 D 點(diǎn)可以觀察到點(diǎn) A, C;找到一個(gè)點(diǎn) E，從 E 點(diǎn)可以觀察到點(diǎn) B, C.測(cè)量得到：CD = 2, CE = 2 書，/ D= 45 / ACD = 105 / ACB = 48.19 / BCE = 75 / E = 60則 A, B 兩點(diǎn)之間的距離為 _ .取 cos 48.19 = 在厶 ABD 中，根據(jù)正弦定理可得 AB = BD sin/ ADB = sin/ BAD 在厶 BCD 中，由正弦定理得 CD sin/ DBC BD sin/BCD 3 水聲監(jiān)測(cè)點(diǎn)，B, C 兩點(diǎn)到點(diǎn) A 的距離分別為 20 k

10、m 和 50 km.某時(shí)a 刻，B 收到發(fā)自靜止目標(biāo) P 的一個(gè)聲波信號(hào)，8 s 后 A, C 同時(shí)接收到該聲波信號(hào)，已知聲 波在水中的傳播速度是 1.5 km/s. (1) 設(shè) A 到 P 的距離為 x km，用 x 表示 B，C 到 P 的距離，并求 x 的值； (2) 求靜止目標(biāo) P 到海防警戒線 AC 的距離. 解：依題意，有 PA= PC= x, PB= x 1.5 X 8= x 12. 仁 PAB 中, AB= 20, cos/ PAB= PA2ABA-PB2= 爲(wèi)爲(wèi)- -12： 3x + 32 2PA AB 2x 20 同理，在 PAC 中，AC = 50, PA2+ AC2 P

11、C2 x2+ 502 x2 25 cosZ PAC= 2PA AC = 2x 50= T 因?yàn)?cos/ PAB= cos/ PAC, 所以瞇=孚解得x=31. 作 PD 丄 AC 于點(diǎn) D(圖略) )，在 ADP 中, 25 由皿 PAD= 25, 得 sin/ PAD= 1 co / PAD = 4321, 3 1 頂 A, B 之間的距離. 解：在 Rt AMP 中，/ APM = 30 AM = 100,. PM = 100 .3. 連接 QM(圖略) )，在 PQM 中，/ QPM = 60 PQ = 100,3, PQM 為等邊三角形，. QM = 100,3. 在 Rt AMQ

12、中，由 AQ2= AM2+ QM2, 得 AQ= 200. 在 Rt BNQ 中，tan 0= 2, BN = 200, BQ= 100 5, cos 0= . 5 在厶 BQA 中，BA2= BQ2+ AQ2 2BQ AQ cos 05x 所以 PD = PAsin/ PAD= 31 X 43呂=4 21(km). 故靜止目標(biāo) P 到海防警戒線 AC 的距離為 10.已知在東西方向上有 M , N 兩座小山，山頂各有一座發(fā)射塔 A, B,塔頂 A, B 的海拔高度分別為 AM = 100 m 和 BN = 200 m, 測(cè)量 車在小山 M 的正南方向的點(diǎn) P 處測(cè)量車向北偏西 60方向行駛了

13、 100 3 m 后到達(dá)點(diǎn) Q,在點(diǎn) Q 處測(cè)得發(fā) 射塔頂 B 處的仰角為且/ BQA = 0,經(jīng)測(cè)量 tan 0= 2，求兩發(fā)射塔 =（100 5）2, BA= 100 5. 即兩發(fā)射塔頂 A, B 之間的距離是 100 5 m. 二、專項(xiàng)培優(yōu)練 （一 ）易錯(cuò)專練一一不丟怨枉分 1一船自西向東勻速航行，上午 10 時(shí)到達(dá)燈塔 P 的南偏西 75距燈塔 68 n mile 的 M 處，下午 2 時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的 N 處，則此船航行的速度為 _ n mile/h. 解析：如圖，由題意知/ MPN = 75 + 45 = 120 / PNM = 45 又由 M 到 N 所用的時(shí)間為 14

14、- 10= 4 小時(shí)， 此船的航行速度 v = 34 6= 17 6 n mile/h. 4 2 答案：吟6 2. 如圖，一位同學(xué)從 P1處觀測(cè)塔頂 B 及旗桿頂 A,得仰角分別為 a和90 a后退 l m 至點(diǎn) P2處再觀測(cè)塔頂 B，仰角變?yōu)樵瓉淼囊话耄?設(shè)塔 CB和旗桿 BA 都垂直于地面，且 C, P1, P2三點(diǎn)在同一條水平 線上，則塔 BC 的高為 _ m ;旗桿 BA 的高為 _ m（用含有 l 和a的式子表示） 解析：在 Rt BCP1 中，/ BP1C = a. 亠 a 在 Rt P2BC 中，/ P2 = 2. / BP1C = / P1BP2+Z P2, P1BP2 = a

15、，即厶 P1BP2為等腰三角形， BP1= P*2= l, - BC= lsin a. 2 2 / . _ .人 _ cr r+r AC . o 、 . _ lCOS a E - -亠 rc lcos a 在 Rt ACP1 中， = = tan(90 a)，AC= ,貝V BA= AC BC = CP1 lcos a sin a Sin a Kcos a sin2 a l cos 2a lsin a= sna. 答案： lsin a lcos2a sin a 在厶 PMN 中, MN sin 120 PM sin 45， MN = 68 x （二 ）素養(yǎng)專練一一學(xué)會(huì)更學(xué)通 3. 直觀想象、數(shù)

16、學(xué)建模為了應(yīng)對(duì)日益嚴(yán)重的氣候問題，某氣象儀器 科研單位研究出一種新的“彈射型”氣象儀器， 這種儀器可以彈射到空中 進(jìn)行氣象觀測(cè)如圖所示， A, B, C 三地位于同一水平面上，這種儀器 在 C 地進(jìn)行彈射實(shí)驗(yàn)，觀測(cè)點(diǎn) A, B 兩地相距 100 米，/ BAC= 60 .在 A 2 地聽到彈射聲音的時(shí)間比 B 地晚;2 秒在 A 地測(cè)得該儀器至最高點(diǎn) H 處的仰角為 30。（已知 17 聲音的傳播速度為 340 米/秒） （1）求 A, C 兩地的距離； 求這種儀器的垂直彈射高度 HC. 解：（1）由題意，設(shè) AC = x，因?yàn)樵?A 地聽到彈射聲音的時(shí)間比 B 地晚呂秒， 17 在厶 ABC

17、 內(nèi)，由余弦定理得 BC2= AC2+ BA2-2BA AC cos/ BAC , 即 (x - 40)2= x2+ 10 000 - 100 x，解得 x = 420. 故 A, C 兩地的距離為 420 米. (2)在 Rt ACH 中，AC= 420,/ CAH = 30 , 所以 CH = AC tan/ CAH = 140 3 米. 故該儀器的垂直彈射高度 CH 為 140 3 米. 4. 數(shù)學(xué)建模如圖所示，經(jīng)過村莊 A 有兩條夾角為 60 的公路 AB , AC ,根據(jù)規(guī)劃要在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠 P，分別在兩條公路 邊上建兩個(gè)倉庫 M , N（異于村莊 A）,要求 PM = PN = MN = 2（單位：千 米）.記/ AMN = 0. （1）將 AN , AM 用含0的關(guān)系式表示出來； 如何設(shè)計(jì)（即 AN , AM 為多長時(shí)），使得工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小 （即工廠與 村莊的距離 AP 最大）? 解： / AMN = 0, MN AN 仁AMN中，由正弦定理，得 siMN0 =sAN0 所以 AN = sin 0, AM = 433sin(120 - 0. 3 3 所以 BC = x初 340 = x- 40 , AM