九宮格的解題過(guò)程

1、九宮格的解題過(guò)程第1步首先計(jì)算每行數(shù)字之和。19九個(gè)數(shù)字之和：12345678945九宮格共有三行，并且每行的數(shù)字之和相等，因此45/315，即每行數(shù)字之和為15。第2步計(jì)算中間格的數(shù)字?？紤]第2行，第2列，和2條對(duì)角線的數(shù)字之和。它們的總和為 15/4  60。在它們的總和中，中間格子的數(shù)字出現(xiàn)了4次，其它位置格子的數(shù)字都出現(xiàn)了而且僅出現(xiàn)了1次。所以，它們的總和（4×中間格子的數(shù)字）（其它8個(gè)數(shù)字）             

2、   （3×中間格子的數(shù)字）（19九個(gè)數(shù)字之和）因此， 603×中間格子的數(shù)字45，中間格子的數(shù)字等于5第3步，奇數(shù)不能出現(xiàn)在4個(gè)角上的格子里。比如，如果數(shù)字9出現(xiàn)在角上的格子里，那么為了保證9所在行或所在列的數(shù)字和為15，必須需要4個(gè)數(shù)字，兩兩之和必須為6。1，2，3，4，6，7，8中，只有2和4組成和為6的數(shù)字對(duì)，找到第2個(gè)和為6的數(shù)字對(duì)是不可能的。因此，數(shù)字9不能出現(xiàn)在4個(gè)角上的格子里。同樣道理，1，3，7也不能出現(xiàn)在4個(gè)角上的格子里。第4步，2，4，6，8必須填在4個(gè)角上的格子里，并且保證對(duì)角線數(shù)字和為15。第5步，將1，3，

3、7，9填入相應(yīng)的格子里就完成了九宮格填數(shù)字任務(wù)，注意和為15的條件。 完成了填九宮格的任務(wù)后，我們進(jìn)一步考慮，如果上面九宮格內(nèi)所有數(shù)字都加數(shù)字1會(huì)發(fā)生什么呢？即可不可以用數(shù)字2，3，4，5，6，7，8，9，10填九宮格，得到每一行，每一列，每一對(duì)角線的三個(gè)數(shù)字之和都相等的新九宮格呢。 顯而易見(jiàn)，上面九宮格每行每列每對(duì)角線數(shù)字之和為18，奇數(shù)3，5，7，9處在4個(gè)角上的格子里，中間數(shù)6處在中間的格子里。從19和210各九個(gè)數(shù)字所填充的九宮格可以得出下列規(guī)律：1）九個(gè)數(shù)字是由9個(gè)相連的整數(shù)構(gòu)成的。2）九個(gè)數(shù)字中正中間的數(shù)字填在九宮格的中間格子里。19中的5，2-10中的6等。3

4、）每行每列的數(shù)字和等于中間數(shù)字的三倍。比如155´3和18=6´3。4）第2，4，6，8位的數(shù)字填充到4個(gè)角上的格子里。如2，3，4，5，6，7，8，9，10中的3，5，7，9和1，2，3，4，5，6，7，8，9中的2，4，6，8。問(wèn)題1：已知9個(gè)相連的整數(shù)填充的九宮格其每行數(shù)字和為45，求這九個(gè)數(shù)字。中間格數(shù)字為45¸315，15為正中間的數(shù)字，因此九個(gè)數(shù)字為11，12，13，14，15，16，17，18，19。問(wèn)題2：已知9個(gè)相連的整數(shù)填充的九宮格其每行數(shù)字和為96，求九宮格4個(gè)角上格子里的數(shù)。96¸332，得到九個(gè)數(shù)字為28，29，30，31，32

5、，33，34，35，36。4個(gè)角上的數(shù)字為29，31，33，35，其中35和29為對(duì)角關(guān)系，31和33為對(duì)角關(guān)系。問(wèn)題3：成公差為d（d!=0）的等差數(shù)列是否也填九宮格？比如公差為3的等差數(shù)列，1，4，7，10，13，16，19，22，25，如何填九宮格呢？5，15，25，35，45，55，65，75，85又怎樣填？古人說(shuō)，“學(xué)貴有疑。小疑則小進(jìn)，大疑則大進(jìn)”。在學(xué)習(xí)中，我們要注意歸納和演繹能力的培養(yǎng)，總結(jié)一些規(guī)律，不但增加了學(xué)習(xí)的有效性和趣味性，對(duì)理解和掌握有關(guān)問(wèn)題也很有益處。培育創(chuàng)新型人才既是學(xué)校和老師的責(zé)任，也是我們學(xué)生要刻意磨練的目標(biāo)。本文通過(guò)詳解九宮格問(wèn)題，得到了一些有意義的結(jié)論和規(guī)

6、律，而這些規(guī)律的獲得使我們對(duì)九宮格問(wèn)題也有了更加深入的認(rèn)識(shí)?；梅降那蠼馊A幻方的解法第一種：楊輝法：九子斜排，上下對(duì)易，左右相更，四維挺出。12   43   5  7    6  8      9 2 9 47 5 36 1 8第二種：九宮圖也是幻方的別稱(chēng)，三階幻方就是著名的洛書(shū)，他的排列是：“戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，五居中央（9在上中，1在下中。3在左中，7在右中，2

7、在左上，4在右上，6在左下，8在右下）第三種：羅伯法：最小的數(shù)據(jù)上行中央，依次向右上方斜填，上出框往下寫(xiě)，右出框往左填，排重便在下格填，右上排重一個(gè)樣8 1 6 3 5 7 4 9 2四階幻方的解法1、先把這16個(gè)數(shù)字按順序從小到到排成一個(gè)4乘4的方陣2、內(nèi)外四個(gè)角對(duì)角上互補(bǔ)的數(shù)相易，（方陣分為兩個(gè)正方形，外大內(nèi)小，然后把大正方形的四個(gè)對(duì)角上的數(shù)字對(duì)換，小正方形四個(gè)對(duì)角上的數(shù)字對(duì)換）即（1，16）（4，13）互換（6，11）（7，10）互換16 2 3 135 11 10 89 7 6 124 14 15 1另：對(duì)于n=4k階幻方，我們先把數(shù)字按順序填寫(xiě)。寫(xiě)好后，按4*4把

8、它劃分成k*k個(gè)方陣。因?yàn)閚是4的倍數(shù)，一定能用4*4的小方陣分割。然后把每個(gè)小方陣的對(duì)角線，象制作4階幻方的方法一樣，對(duì)角線上的數(shù)字換成互補(bǔ)的數(shù)字，就構(gòu)成幻方。五階幻方的解法：羅伯法：最小的數(shù)據(jù)上行中央，依次向右上方斜填，上出框往下寫(xiě)，右出框往左填，排重便在下格填，右上排重一個(gè)樣。17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 （在最上一行的中間填1,接著在1的右上方填2,由于1在最上一行, 所以1的右上方應(yīng)該是第五行的第四個(gè), 接下來(lái)在2

9、的右上方填3,3的右上方應(yīng)該是第三行第一個(gè),所以在此填4,在4的右上方填5, 在5的下方填6,接著按前面五個(gè)數(shù)的填法依次填7,8,9,10; 在10的下方填11,然后按上面的方法填, 每次填五個(gè)數(shù),直到完成. 無(wú)論從上到下還是從左到右都是五排, 所以每排的五個(gè)數(shù)之和為(1+2+3+4+25)÷5=65, 因此,你可以驗(yàn)算一下是否每個(gè)和都是65. 此法適合于一切奇階幻方.）數(shù)獨(dú)游戲數(shù)獨(dú)，據(jù)說(shuō)最先是在瑞典，后來(lái)到美國(guó)，然后到日本被發(fā)揚(yáng)光大。這個(gè)游戲，進(jìn)入了今年上海交大的自主招生試題最后一道大題就是數(shù)獨(dú)題。上面的圖片中，

10、紅色是在玩游戲前給出的數(shù)字，藍(lán)色的數(shù)字就是后填的。游戲的規(guī)則很簡(jiǎn)單，每一行填入19九個(gè)數(shù)字，每一列也填入19九個(gè)數(shù)字，但同時(shí)要滿足每一個(gè)九宮格中也包含19九個(gè)數(shù)字，也就是說(shuō)每一個(gè)九宮格中也填入19九個(gè)數(shù)字。此圖的特別之處就是橫行縱列加上兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和均為15。類(lèi)似于這樣的問(wèn)題，也稱(chēng)之為幻方，像上面的九宮格，可稱(chēng)為3階幻方（因每行，每列，兩條對(duì)角線上數(shù)字個(gè)數(shù)是3），還有4階、5階、6階等。此外還可分為奇階幻方和偶階幻方。九宮格就屬于奇階幻方。下面是個(gè)五階幻方?；梅降奶顚?xiě)是有規(guī)律的，我想通過(guò)上面兩個(gè)兩個(gè)幻方可以找到一些規(guī)律。偶階幻方的填寫(xiě)規(guī)律比奇階幻方要稍微復(fù)雜小聲點(diǎn)說(shuō)，我還不是太明白

11、，還在繼續(xù)學(xué)習(xí)中。練習(xí)1：.完成一道數(shù)獨(dú)游戲題吧，說(shuō)不定下回哪個(gè)考試也會(huì)有這樣的題呢！練習(xí)2：3階幻方三個(gè)數(shù)的和是15，5階幻方五個(gè)數(shù)的和是65，你能說(shuō)出7階幻方中七個(gè)數(shù)的和是多少嗎？進(jìn)一步，你能說(shuō)出奇階幻方中n個(gè)數(shù)字的和是多少嗎？練習(xí)3： 完成一個(gè)7階幻方。比如說(shuō)三階幻方，先向外翻折擴(kuò)展，然后按上圖左二的規(guī)律，按順序?qū)懮?-9的數(shù)字，接下來(lái)幻方之外的數(shù)，按左往右仍，右往左仍，上往下扔，下往上扔的規(guī)律填進(jìn)幻方，將其余的刪去，就得到一個(gè)橫豎斜都等于15的幻方了！下圖是五階幻方的解法，方法相同，只是規(guī)模大了點(diǎn)。七階幻方如下：（唉，上面那種做圖太累，后面的圖就來(lái)自于互聯(lián)網(wǎng)了。）只要按照這個(gè)方法，無(wú)論

12、多少階，只要是個(gè)奇數(shù)，都可以畫(huà)得出來(lái)，至少一個(gè)！你可以奸詐一點(diǎn)，比如說(shuō)畫(huà)好菱形后，1的起始位置是可以換的，寫(xiě)的方向也是可以換的，但是最后出來(lái)的幻方本質(zhì)上是一樣的。對(duì)于偶數(shù)呢，最小是4階的，四階的幻方老師也講了一個(gè)解法，就是大對(duì)角線換，小對(duì)角線也換。步驟如下：先按順序?qū)懗?-16的數(shù)在4階幻方里面，如下：接下來(lái)所謂的大對(duì)角線換，小對(duì)角線換就是1和16換，4和13換，6和11，7和10，換完就出來(lái)了：橫豎斜都是34。然后問(wèn)題就來(lái)了，有沒(méi)有辦法可以解出任意高偶數(shù)階的幻方的方法呢？我曾經(jīng)很傻很天真的試圖把4階這種換對(duì)角線的方法推廣到6階，但是怎么弄都未果，估計(jì)這種方法對(duì)于4階只是種巧合吧。后來(lái)大學(xué)玩m

13、atlab后，發(fā)現(xiàn)matlab里面函數(shù)magic可以輸出任意階的幻方，哦，soga，原來(lái)真的有的啊。后來(lái)我就對(duì)著matlab里面magic的源文件寫(xiě)出了這個(gè)C+版本，只是為了鞏固自己對(duì)四階的理解罷了。然后下面整理一下一般的偶數(shù)階幻方的解法，解法來(lái)源于互聯(lián)網(wǎng)。首先一般的偶數(shù)階解法都是把偶數(shù)分成兩種，4,8,12,16這種4m的雙偶數(shù)和6,10,14這種4m+2的單偶數(shù)，一般的解法都是分開(kāi)來(lái)兩類(lèi)的，包括matlab里面的magic函數(shù)，不過(guò)查了一下也有很多大牛研究出了統(tǒng)一解法，更有大神把奇偶階全部同意了，膜拜ing。雙偶數(shù)解法：偶數(shù)階下面先講簡(jiǎn)單的雙偶數(shù)解法，看了很多解法，但是最后發(fā)現(xiàn)了一個(gè)通解，

14、網(wǎng)上看到的大部分解法都是這個(gè)通解的特例。首先呢，如下圖所示，先把n階幻方分成4個(gè)小塊，對(duì)于左上角那個(gè)你任意的把一半放個(gè)填成灰色，但是有一個(gè)約束條件，就是左上角這個(gè)小塊中每一行每一列都要只有n/4個(gè)灰色的。然后呢，右上的那個(gè)小塊的填色方案就是左上填色方案的左右鏡像對(duì)稱(chēng)，左下的就是左上天色方案的上下鏡像對(duì)稱(chēng)，自然，右下就是左上的中心對(duì)稱(chēng)了。如下圖所示：然后呢，你把1-n²這么多個(gè)數(shù)按順序填進(jìn)白色的格子里去，灰色的部分要留著。如下面左圖所示：之后呢，把剩下的沒(méi)填的數(shù)反過(guò)來(lái)填進(jìn)去，也就是從右下到左上的順序，填完雙偶數(shù)階幻方就出來(lái)了。 現(xiàn)在我們來(lái)討論一下這種方法，首先看我們?cè)镜乃碾A

15、幻方的解法，有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)其實(shí)和這種方法是一個(gè)東西。然后再看看雙偶數(shù)階的另一種解法，比如說(shuō)下面這個(gè)8階幻方：這里的解法呢，就是把整個(gè)幻方分成2×2個(gè)4×4的小塊，按順序填好1-64個(gè)數(shù)，然后每個(gè)4×4小塊的對(duì)角線上的數(shù)不變，其余的數(shù)做中心對(duì)稱(chēng)。再看看下面這個(gè)：12階，分成3×3個(gè)4×4的小塊，和之前一樣，按順序填好數(shù)，然后每個(gè)4×4小塊的對(duì)角線上的數(shù)不變，其余的數(shù)做中心對(duì)稱(chēng)。雖然和我最開(kāi)始的那種分法不一樣，但是你仔細(xì)一想，其實(shí)是完全一樣的，只是他的填色方案是固定的一種模式而已。還有一種說(shuō)法是每個(gè)小塊對(duì)角線上的數(shù)換成互補(bǔ)的那個(gè)數(shù)，其實(shí)本質(zhì)還

16、是一樣嘛。下面是一個(gè)雙偶數(shù)的matlab程序，我填色方案用時(shí)是國(guó)際象棋棋盤(pán)那種黑白相間。function a = hf_4m(n)flag = zeros(n/2,n/2);flag(1:2:n/2,1:2:n/2) = 1;flag(2:2:n/2,2:2:n/2) = 1;flag = flag fliplr(flag);flipud(flag) flipud(fliplr(flag);a = reshape(1:n2,n,n)'a = a .* flag;a = reshape(a',1,n2);blank_idx = find(a=0);number_left = (1

17、:n2) .* (a=0);number_left = fliplr(setdiff(number_left,0);a(blank_idx) = number_left;a = reshape(a,n,n)'單偶數(shù)解法：下面來(lái)看看單偶數(shù)的解法，這種現(xiàn)在主要有兩種方法，分區(qū)法和易位法。其中呢，分區(qū)法也有兩種。先說(shuō)分區(qū)法，首先呢就是把方陣劃分成下面A,B,C,D四塊，因?yàn)槭菃闻紨?shù)，所以每一塊必然是個(gè)奇數(shù)幻方。然后把1n²/4這些數(shù)組成的奇數(shù)階幻方算出來(lái)，填進(jìn)A里面，然后接下來(lái)的n²/4的幻方填進(jìn)D里面，（其實(shí)有個(gè)很簡(jiǎn)單的方法，就是把A里面的每個(gè)數(shù)加上n²/4就

18、可以了），再把D里面的加上n²/4放到B里面，最后那些放到C里面。下面是10階幻方的一個(gè)例子：然后下面的東西有點(diǎn)拗口，但是細(xì)細(xì)讀就會(huì)明白了：先假設(shè)階數(shù)是4k+2，那么k=(n-2)/4，然后下面是第一種方法：從A小塊的中間行中間格開(kāi)始（上圖中的13），向右找k個(gè)數(shù)（包括中間行中間格那個(gè)），和C小塊的相應(yīng)位置的數(shù)換位。A小塊的其他行（也就是除了最中間那一行）從最左開(kāi)始數(shù)出k個(gè)數(shù)，和C中相應(yīng)位置的數(shù)換。B小塊中間列開(kāi)始，向左數(shù)K-1列出來(lái)（當(dāng)然也包括B小塊中間那一列），然后這些列和D小塊中相應(yīng)未知的數(shù)換位。（6階k-1=0，就不用了）然后就完成了。14階幻方的換位方式如下： 這

19、種方法的matlab函數(shù)如下：function a = hf_4m_2(n)a = zeros(n,n);a(1:n/2,1:n/2) = magic(n/2);a(n/2+1:n,n/2+1:n) = a(1:n/2,1:n/2) + n2/4;a(1:n/2,n/2+1:n) = a(1:n/2,1:n/2) + n2/4*2;a(n/2+1:n,1:n/2) = a(1:n/2,1:n/2) + n2/4*3;m = (n/2-1)/2;temp = a(n/2+1)/2,(n/2+1)/2:(n/2+1)/2+m-1);a(n/2+1)/2,(n/2+1)/2:(n/2+1)/2+m-

20、1) = a(n/2+1)/2+n/2,(n/2+1)/2:(n/2+1)/2+m-1);a(n/2+1)/2+n/2,(n/2+1)/2:(n/2+1)/2+m-1) = temp;temp = a(setdiff(1:n/2,(n/2+1)/2),1:1+m-1);a(setdiff(1:n/2,(n/2+1)/2),1:1+m-1) = a(setdiff(1:n/2,(n/2+1)/2)+n/2,1:1+m-1);a(setdiff(1:n/2,(n/2+1)/2)+n/2,1:1+m-1) = temp;if(m>1)temp = a(1:n/2,n*3/4+1/2-m+2:n

21、*3/4+1/2);a(1:n/2,n*3/4+1/2-m+2:n*3/4+1/2) = a(1+n/2:n,n*3/4+1/2-m+2:n*3/4+1/2);a(1+n/2:n,n*3/4+1/2-m+2:n*3/4+1/2) = temp;end然后還有一種換位方法，A小塊中間那一行第2列開(kāi)始往右數(shù)k個(gè)數(shù)，和C小塊中相應(yīng)位置的數(shù)換位，A小塊中其余行都從最左開(kāi)始向右數(shù)k列，這些數(shù)也和C小塊的做交換。B小塊中，從最右開(kāi)始向左數(shù)k-1個(gè)列，與D中相應(yīng)位置的數(shù)換位，結(jié)果也是一樣的。這種方法matlab代碼如下：function a = hf_4m_2(n)a = zeros(n,n);a(1:n/

22、2,1:n/2) = magic(n/2);a(n/2+1:n,n/2+1:n) = a(1:n/2,1:n/2) + n2/4;a(1:n/2,n/2+1:n) = a(1:n/2,1:n/2) + n2/4*2;a(n/2+1:n,1:n/2) = a(1:n/2,1:n/2) + n2/4*3;m = (n/2-1)/2;temp = a(n/2+1)/2,2:2+m-1);a(n/2+1)/2,2:2+m-1) = a(n/2+1)/2+n/2,2:2+m-1);a(n/2+1)/2+n/2,2:2+m-1) = temp;temp = a(setdiff(1:n/2,(n/2+1)/

23、2),1:1+m-1);a(setdiff(1:n/2,(n/2+1)/2),1:1+m-1) = a(setdiff(1:n/2,(n/2+1)/2)+n/2,1:1+m-1);a(setdiff(1:n/2,(n/2+1)/2)+n/2,1:1+m-1) = temp;if(m>1)temp = a(1:n/2,n:-1:n-m+2); a(1:n/2,n:-1:n-m+2) = a(1:n/2)+n/2,n:-1:n-m+2);a(1:n/2)+n/2,n:-1:n-m+2) = temp;end這兩中方法為什么可行我還沒(méi)仔細(xì)研究，但是剛剛編程發(fā)現(xiàn)一個(gè)很神奇的現(xiàn)象，就是第一種方法的

24、BD小塊交換規(guī)則配上第二種方法的AC小塊交換規(guī)則，也是可以的。囧。對(duì)于單偶數(shù)的幻方，還有一種楊輝創(chuàng)造的二階方陣易位法（我發(fā)現(xiàn)楊輝老兄很喜歡玩數(shù)陣）。對(duì)于n = 4m+2階幻方，先用奇數(shù)階的方法做出一個(gè)2m+1階幻方來(lái)，然后把1n²那么多個(gè)數(shù)4個(gè)一組，分成(2m+1)²個(gè)組，1,2,3,45,6,7,89,10,11,12分別稱(chēng)為第1組，第2組，第3組第(2m+1)²組。接下來(lái)那每一組四個(gè)數(shù)按下面的方法放入2×2的方陣中：然后把之前那個(gè)2m+1階幻方，每個(gè)位置上的數(shù)如果是i，那么就換成第i組2×2方陣，這樣就有了一個(gè)n×n的方陣了，但是

25、這個(gè)方陣還不是幻方，需要再修正。我們繼續(xù)討論剛才那一個(gè)2m+1階幻方，假設(shè)我們n=14，那么2m+1 = 7，對(duì)于下圖中這個(gè)7階的方陣，我們把倒數(shù)第二行染綠，然后從中間那一行開(kāi)始向下知道倒數(shù)第三行為止全部染藍(lán)，如果中間那一行就是倒數(shù)第二行，那么不染藍(lán)。接下來(lái)在把最左和最右兩列的染色向下拉一格。如下圖：我們知道對(duì)應(yīng)于剛剛做出來(lái)的那個(gè)n×n的方陣，每2×2方陣，四個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)于上圖的一個(gè)格。我們現(xiàn)在做如下操作，如果是綠色的格子，那么2×2方陣的最下面兩個(gè)數(shù)交換，如果是藍(lán)色格子的話，2×2方陣不僅下面兩個(gè)數(shù)交換，而且上面兩個(gè)數(shù)也要交換。下面舉個(gè)例子：對(duì)于14階幻方

26、，先生成一個(gè)7階幻方然后把相應(yīng)位置填上相應(yīng)的2階方陣：填好色：綠色格子下面兩個(gè)數(shù)換位，藍(lán)色的上下都換，就得到結(jié)果啦楊輝易位法代碼如下：function a = hf_4m_2_yiwei(n)h = magic(n/2);a = zeros(n,n);for i = 1 : n/2for j = 1 : n/2a(i*2-1:i*2,j*2-1:j*2) = 2 3;4 1 + (h(i,j)-1)*4;endendflag = zeros(n/2,n/2);flag(n/2-1,:) = 1; %下面兩個(gè)互換if(n > 6) flag(n/2+1)/2:n/2-2,:) = 2;%上

27、面下面都要換endflag(2:n/2,1 n/2) = flag(1:n/2-1,1 n/2);for i = 1 : n/2for j = 1 : n/2if(flag(i,j) >0)temp = a(i*2,j*2-1);a(i*2,j*2-1) = a(i*2,j*2);a(i*2,j*2) = temp;endif(flag(i,j) = 2)temp = a(i*2-1,j*2-1);a(i*2-1,j*2-1) = a(i*2-1,j*2);a(i*2-1,j*2) = temp;endendend喲西，好了，終于寫(xiě)的差不多了。自個(gè)研究了一下，收獲頗多。不過(guò)幻方可不僅僅是

28、構(gòu)造那么簡(jiǎn)單，以前看的一本書(shū)里面有各種變態(tài)的幻方，什么切尾幻方什么的。還有很多數(shù)學(xué)上的東西，下面提問(wèn)，請(qǐng)證明：偶數(shù)階幻方行列式值一定是0！下面附上一個(gè)很多年前改寫(xiě)matlab的magic函數(shù)的C+代碼：#include<iostream.h>#include<iomanip.h>classmagicpublic:    int *m;    magic();    magic(int n);    magic(magic &c);    void show();

29、   int size;magic:magic(magic &c)    int n=c.size;    size=n;    m=newint*n;    for(int l=0;l<n;l+)            ml=newintn;        for(int k=0;k<n;k+)            

30、;        mlk=c.mlk;            magic:magic(int n)    size=n;    m=newint*n;    for(int l=0;l<n;l+)            ml=newintn;        for(int k=0;k<n;k+)     &

31、#160;      mlk=0;    void magic:show()    for(int l=0;l<size;l+)            for(int k=0;k<size;k+)            cout<<setw(3)<<mlk<<" "        cout<&l

32、t;endl;        cout<<endl;magiccreatmagic(int n)    intl,k;    if(n%2=1)            magic i(n),j(n),m(n),a(n),b(n);        for(l=0;l<n;l+)            for(k=0;k<n;k+) &#

33、160;                          j.mlk=k+1;                i.mlk=l+1;                        for(l=0;l<n;l+)        

34、;        for(k=0;k<n;k+)                                    a.mlk=(i.mlk+j.mlk-(n+3)/2)%n;                    if(a.mlk<0) a.mlk+=n; &#

35、160;                  b.mlk=(i.mlk+j.mlk*2-2)%n;                    if(b.mlk<0) b.mlk+=n;                    m.mlk=n*a.mlk+b.mlk+1;      

36、                          return m;        elseif(n%4=0)            magic i(n),j(n),d(n),m(n);        for(l=0;l<n;l+)            for

37、(k=0;k<n;k+)                            j.mlk=k+1;                i.mlk=l+1;                d.mlk=(   (i.mlk%4)/2)  =  (j.mlk%4)/2)

38、 );                m.mlk=l*n+k+1;                if(d.mlk=1) m.mlk=n*n+1-m.mlk;                        return m;        else  

39、60;        int p=n/2;        magic t(creatmagic(p),m(n);        for(l=0;l<n;l+)            for(k=0;k<n;k+)            if(l<n/2&&k<n/2)       

40、0;    m.mlk=t.mlk;            elseif(l<n/2&&k>=n/2)                m.mlk=t.mlk-n/2+2*p*p;            elseif(l>=n/2&&k<n/2)           

41、0;    m.mlk=t.ml-n/2k+3*p*p;            else                m.mlk=t.ml-n/2k-n/2+p*p;                        int e=(n-2)/4;           &#

42、160;/cout<<e;            for(l=0;l<n;l+)                            if( ( l>=0 && l<=(e-1) )  |  (  l>=(n+1-e)  )            

43、;                        for(k=0;k<n/2;k+)                                            int temp=m.mkl;       

44、0;                m.mkl=m.mk+n/2l;                        m.mk+n/2l=temp;                                    

45、                       int temp=m.me0;            m.me0=m.me+n/20;            m.me+n/20=temp;            temp=m.mee;          

46、;  m.mee=m.me+n/2e;            m.me+n/2e=temp;            return m;    void main()    float m;    int n;    while(1)            cout<<"input the size:&quo

47、t;        cin>>m;        n=int(m);        if(n=2|n<=0)            continue;        magic result(creatmagic(n);        result.show();        c

48、out<<"每一列和為：n"        for(int l=0;l<n;l+)                    cout<<l+1<<":"            int sum=0;            for(int k=0;k<n;k

49、+)                            sum+=result.mlk;                cout<<result.mlk;                if(k!=n-1)          

50、60;        cout<<"+"                        cout<<"="<<sum<<endl;                cout<<"每一行和為：n"        for( l=0;l<n;l+)                    int  sum=0;            cout<<l+1<<":"