向量知識點歸納與常見總結(jié)

1、向量知識點歸納與常見題型總結(jié)'、向量知識點歸納1與向量概念有關(guān)的問題向量不同于數(shù)量，數(shù)量是只有大小的量（稱標(biāo)量），而向量既有大小又有方向；數(shù)量可以比較大小，而向量不能比較大小，只有它的模才能比較大小記號“ a > b”錯了，而| a | > | b |才有意義.有些向量與起點有關(guān)， 有些向量與起點無關(guān).由于一切向量有其共性 （大小和方向）， 故我們只研究與起點無關(guān)的向量（既自由向量）.當(dāng)遇到與起點有關(guān)向量時，可平移向量.平行向量（既共線向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量單位向量是模為 1的向量，其坐標(biāo)表示為（x, y）,其中x、y滿足x y = 1(可用(cos ,

2、sinUJU例如：向量 禺|AB|AB)(0 W W 2 n)表示).特別： 一_|AB|表示與AB同向的單位向量。ujur-JUL)(0)所在直線過 ABC的內(nèi)心(是| AC|BAC的角平分線所在直線）;例1、0是平面上一個定點，A B C不共線,uuu uuu P滿足OP OAuuu/ AB(uuu|AB|uurAC、uuuu)| AC0, )則點P的軌跡一定通過三角形的內(nèi)心。（變式）已知非零向量AB與Ac滿足（AB-|AB|+ AC) BC=0 且 AB |AC|AC|AB| |AC|D.等邊三角形（06陜西）A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形0的長度為0,是有方

3、向的，并且方向是任意的，實數(shù)0僅僅是一個無方向的實數(shù).有向線段是向量的一種表示方法，并不是說向量就是有向線段（7）相反向量（長度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a o ）2 與向量運算有關(guān)的問題向量與向量相加，其和仍是一個向量.（三角形法則和平行四邊形法則） 當(dāng)兩個向量a和b不共線時，a b的方向與a、b都不相同，且|a b | v|a| + | b | ； 當(dāng)兩個向量a和b共線且同向時，a b、a、b的方向都相同，且| a b | |a | |b| ； 當(dāng)向量a和b反向時，若|a| > | b | , a b與a方向相同，且| a b |=| a |-| b| ；

4、87;I-F-f-I-I-若 | a| v |b| 時，ab 與 b 方向相同，且| a + b|=| b |-|a |.向量與向量相減，其差仍是一個向量.向量減法的實質(zhì)是加法的逆運算三角形法則適用于首尾相接的向量求和；平行四邊形法則適用于共起點的向量求和。AB BC AC ; AB AC CB例2: P是三角形ABC內(nèi)任一點，若CB PA PB, R，則P 一定在（）A、 ABC內(nèi)部B、AC邊所在的直線上C、AB邊上 D、BC邊上2例 3、若 AB - BC AB 0，則 ABC是: A.Rt B.銳角 C.鈍角 D.等腰 Rt 例4、已知向量a （cos ,sin ）,b（、3, 1），求

5、|2a b|的最大值。分析：通過向量的坐標(biāo)運算，轉(zhuǎn)化為函數(shù)（這里是三角）的最值問題，是通法。解：原式=| （2 cos, 3,2sin 1） | （2cos . 3）2 （2sin1）2t=.8 8si n（）。當(dāng)且僅當(dāng)2k （k Z）時，| 2a b|有最大值4.V36評析：其實此類問題運用一個重要的向量不等式“|a| |b| |a b| |a| |b|”就顯得簡潔明快。原式|2a| |b|=2|a| | b| 2 1 2 4，但要注意等號成立的條件（向量同向）。圍成一周（首尾相接）的向量（有向線段表示）的和為零向量如，AB BC CA 0,（在 ABC中） AB BC CD DA 0.（

6、ABCD中）判定兩向量共線的注意事項：共線向量定理 對空間任意兩個向量 a、b（b豐0 ） ,a / b存在實數(shù)入使a= b.如果兩個非零向量 a , b，使a =入b （入 R）,那么a / b ；反之，如a / b，且b豐0,那么a =入b .這里在“反之”中，沒有指出a是非零向量，其原因為a=0時，與入b的方向規(guī)定為平行. 數(shù)量積的8個重要性質(zhì)兩向量的夾角為 0W <n .由于向量數(shù)量積的幾何意義是一個向量的長度乘以另一向 量在其上的射影值，其射影值可正、可負、可以為零，故向量的數(shù)量積是一個實數(shù)設(shè)a、b都是非零向量，e是單位向量，是a與b的夾角，則e a a e | a | cos

7、.(|e| 1)? 十F T a ba b 0 (v=90°, cos0) 在實數(shù)運算中ab=0 a=0或b=0.而在向量運算中a b = 0 a = 0或b =0是錯誤的, 故a 0或b 0是a b=0的充分而不必要條件. 當(dāng) a 與 b 同向時 a b = | a | | b |（ =0,cos =1）;當(dāng)a與b反向時，a b=-|a| | b |（=n ,cos =-1），即a / b的另一個充要條件是_. 十r rr r| a b | | a | | b |.當(dāng)為銳角時，a ? b >0,且a、b不同向，a b 0是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)分條件；為鈍角時,a ? b

8、 v 0,且a、b不反向，a b 0是為鈍角的必要非充例5.如已知a(,2 ),b (3 ,2),如果a與b的夾角為銳角，則的取值范圍是（答：-或10且+33Th*-fc-F例6、已知i , j為相互垂直的單位向量， a i 2j , b i j。且a與b的夾角為銳角, 求實數(shù)的取值范圍。分析：由數(shù)量積的定義易得“a,b解：由a與b的夾角為銳角，得a b0 ”但要注意問題的等價性。10.有而當(dāng)a tb(t0),即兩向量同向共線時,2.此時其夾角不為銳角。2,2 -評析：特別提醒的是： 不等價。極易疏忽特例a,b 是銳角與a“共線”。2 2 - . - .2特殊情況有 a a a =| a |。

9、或|a|=.aa = a0不等價;同樣 a,b是鈍角與a b 0x2如果表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為(x1, y1),( x2 , y2 ),則 2 2心|=.(%X2)(y1y2) | a b | |a| |T|。(因 cos 1) 數(shù)量積不適合乘法結(jié)合律.如(a b) c a (b c).(因為(a b) c與c共線，而a (b c)與a共線) 數(shù)量積的消去律不成立.若a、b、c是非零向量且a c b c并不能得到a b這是因為向量不能作除數(shù), 1即1是無意義的.c向量b在a方向上的投影丨b I cos = a b3和e2是平面一組基底，則該平面任一向量 a 132 e2

10、( 1,2唯一一)uuu uuu 特別：.OP = 1OA2OB則12 1是三點P、A、B共線的充要條件.注意：起點相同，系數(shù)和是1?；滓欢ú还簿€1 uuu uur uuu例7、已知等差數(shù)列 an的前n項和為Sn ,若BO= a1 OA+ a200 OC，且A、B、C2三點共線(該直線不過點O),則S200=()A. 50 B. 51C.100D.101例&平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知兩點A(3,1) , B( 1,3),若點C滿足OC 1 OA 2 OB ,其中1, 2 R且12 1,則點C的軌跡是（直線AB） 例9、已知點A,B,C的坐標(biāo)分別是(3,1),(5,2), (

11、22七)若存在實數(shù)C. 0或1D.不確定使 OC OA (1 )OB,則 t 的值是:A. 0B. 1例10下列條件中，能確定三點 A, B,P不共線的是：2 2A. MP sin 20 MA cos 20 MB2 2B. MP sec 20 MA tan 20 MBa.b2 bs0B0 d b30C. Db2b30D.bidb30uuuuuuuuruuu uuuuuuPAPBPBPC PCPAP為ABC的垂心；uuuuur向量(姐-AU)(0)所在直線過ABC的內(nèi)心(BAC的角分線所在直線);例11、設(shè)平面向量a!、a2、a3的和6 a2且ai順時針旋轉(zhuǎn)30°后與bi同向，其中i1

12、,2,3，則(D)( 06河南高考)2aiuur uUUAB|uurAUUu| cuu 麗 rC. MP sin 2 20 MA cos2 70 MB D. MP分析：本題應(yīng)知：“ A, B, P共線，等價于存在，csc2 31 MA cot2 31 MBR,使 MP MA MB 且1 ”。uuur(8)在 ABC中,PGSPA.uur uur 1(PA PB 3ABC的重心;uuurPC) G為 ABC的重心，特別地1AB - BC AD則AD過三角形的重心;2az 0。如果向量D、b2、b3，滿足b | AB | PC |BC|PA |CA|PB 0 P ABC 的內(nèi)心；(選)SAOB=X

13、ba ；例12、若O是VABC所在平面內(nèi)一點,uuu uur 且滿足OB OCuuu uuur uuuOB OC 2OA ,則 VABCOP = OP1°P21xP2(X2,y 2)則yX1 X21;中占JI 八、% y 1'X1X2說明：特別注意各點的順序， 子分母的位置。2 重心* y22'分子是起點至分點，X1 X2 X3x3,y1 y y3 y3-分母是分點至終點，不能改變順序和分的形狀為 (答：直角三角形);例13、若D為 ABC的邊BC的中點， ABC所在平面內(nèi)有一點P ,滿足 uuuuuu uuu uuu r | APIPA BP CP 0，設(shè)kuur，

14、貝U 的值為(答：2)；|PD|uuu uuu uuu ro例14、若點O是厶ABC的外心，且OA OB CO 0,則內(nèi)角C為 (答：120°);(9)、P分麗的比為 ，則PP = PF2,> 0內(nèi)分； v 0且 豐-1外分. 1 B；若入=1 則OP = 2(OR + OP2);設(shè) P(x,y),P 1(x1,y1),例15、已知A (4, -3 ), B (-2 , 6)，點P在直線AB上，且| AB | 3| AP |，則P點的坐 標(biāo)是()(2, 0), (6, -6 )uuirx x h(10)、點 P(x,y)按 a (h,k)平移得 P(x,y),則 PP = a

15、或函數(shù) y f (x)按y y ka (h,k)平移得函數(shù)方程為：y k f (x h)說明：(1)向量按向量平移，前后不變；(2)曲線按向量平移，分兩步：i確定平移方向-與坐標(biāo)軸的方向一致；ii按左加右減，上加下減(上減下加)例16、把函數(shù) y 2x的圖象 按向量a (2, 2)平移后得到的解析式是 。y 2x2 8x 6例17、函數(shù)y sin 2x的圖象按向量a平移后，所得函數(shù)的解析式是 y cos2x 1，則a = (答: ( ,1)4結(jié)論：已知A(X1，yJ, B(X2, y2),l ： Ax By C 0,過A, B的直線與I交于點P,則P分 Ax1 By1 CAB所成的比是11,若用此結(jié)論，