固體物理學(xué)1~6章習(xí)題解答

1、 固體物理學(xué)習(xí)題解答第一章1.1 有許多金屬即可形成體心立方結(jié)構(gòu)，也可以形成面心立方結(jié)構(gòu)。從一種結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N結(jié)構(gòu)時(shí)體積變化很小.設(shè)體積的變化可以忽略，并以Rf和Rb代表面心立方和體心立方結(jié)構(gòu)中最近鄰原子間的距離，試問(wèn)Rf/Rb等于多少？答：由題意已知，面心、體心立方結(jié)構(gòu)同一棱邊相鄰原子的距離相等，都設(shè)為a：對(duì)于面心立方，處于面心的原子與頂角原子的距離為：Rf=a對(duì)于體心立方，處于體心的原子與頂角原子的距離為：Rb=a那么，=1.2 晶面指數(shù)為（123）的晶面ABC是離原點(diǎn)O最近的晶面，OA、OB和OC分別與基失a1，a2和a3重合，除O點(diǎn)外，OA，OB和OC上是否有格點(diǎn)？若ABC面的指數(shù)為

2、（234），情況又如何？答：根據(jù)題意，由于OA、OB和OC分別與基失a1，a2和a3重合，那么晶面族是（123）的離原點(diǎn)最近的晶面在三個(gè)基矢坐標(biāo)軸上的截距分別是a1、(1/2)a2、(1/3)a3。固體物理學(xué)中基矢的長(zhǎng)度等于相鄰兩個(gè)格點(diǎn)的距離，所以只要“OA,OB和OC分別與基矢a1,a2,a3重合”，而O又是格點(diǎn)，則A、B、C一定是格點(diǎn)。OA、OB、OC間無(wú)格點(diǎn)，（234）情況一樣。結(jié)晶學(xué)以晶包基矢為坐標(biāo)軸表示晶面指數(shù)，但稱為米勒指數(shù)。1.3 二維布拉維點(diǎn)陣只有5種，試列舉并畫(huà)圖表示之。答：二維布拉維點(diǎn)陣只有五種類型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分別如圖所示：正方a=bab=90

3、76;六方a=bab=120°矩形abab=90°帶心矩形a=bab=90°平行四邊形abab90° 1.4 在六方晶系中，晶面常用4個(gè)指數(shù)（hkil）來(lái)表示，如圖所示，前3個(gè)指數(shù)表示晶面族中最靠近原點(diǎn)的晶面在互成120°的共平面軸a1，a2，a3上的截距a1/h，a2/k，a3/i，第四個(gè)指數(shù)表示該晶面的六重軸c上的截距c/l.證明：i=-（h+k） 并將下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：（001）（100）（010）答：證明設(shè)晶面族（hkil）的晶面間距為d，晶面法線方向的單位矢量為n°。因?yàn)榫孀澹╤kil）中最靠

4、近原點(diǎn)的晶面ABC在a1、a2、a3軸上的截距分別為a1/h，a2/k，a3/i，因此 (1)由于a3=（a1+ a2）把（1）式的關(guān)系代入，即得根據(jù)上面的證明，可以轉(zhuǎn)換晶面族為（001）（0001），（100），（010），1.5 如將等體積的硬球堆成下列結(jié)構(gòu)，求證球可能占據(jù)的最大面積與總體積之比為（1）簡(jiǎn)立方：（2）體心立方：（3）面心立方：（4）六方密堆積：（5）金剛石：。答：令Z表示一個(gè)立方晶胞中的硬球數(shù)，Ni是位于晶胞內(nèi)的球數(shù)，Nf是在晶胞面上的球數(shù)，Ne是在晶胞棱上的球數(shù)，Nc是在晶胞角隅上的球數(shù)。于是有：邊長(zhǎng)為a的立方晶胞中堆積比率為假設(shè)硬球的半徑都為r，占據(jù)的最大面積與總體積之

5、比為，依據(jù)題意（1）對(duì)于簡(jiǎn)立方，晶胞中只含一個(gè)原子，簡(jiǎn)立方邊長(zhǎng)為2r，那么：= = （2）對(duì)于體心立方，晶胞中有兩個(gè)原子，其體對(duì)角線的長(zhǎng)度為4r，則其邊長(zhǎng)為，那么：= = （3）對(duì)于面心立方，晶胞中有四個(gè)原子，面對(duì)角線的長(zhǎng)度為4r，則其邊長(zhǎng)為r，那么：= = （4）對(duì)于六方密堆積 一個(gè)晶胞有兩個(gè)原子，其坐標(biāo)為（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆積情況下，密排六方結(jié)構(gòu)中點(diǎn)陣常數(shù)與原子半徑的關(guān)系為a=2r，因此=（5）對(duì)于金剛石結(jié)構(gòu)Z=8 那么=.1.6 有一晶格，每個(gè)格點(diǎn)上有一個(gè)原子，基失（以nm為單位）a=3i，b=3j，c=1.5（i+j+k），此處i，j，k為笛卡兒坐標(biāo)系中x

6、，y，z方向的單位矢量.問(wèn)：（1）這種晶格屬于哪種布拉維格子？（2）原胞的體積和晶胞的體積各等于多少？答：（1）因?yàn)閍=3i，b=3j，而c=1.5（i+j+k）=1/2（3i+3j+3k）=1/2（a+b+c）式中c=3k。顯然，a、b、c構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為3*10-10m的立方晶胞，基矢c正處于此晶胞的體心上。因此，所述晶體屬于體心立方布喇菲格子。（2）晶胞的體積= = =27*10-30(m3)原胞的體積=13.5*10-30(m3)1.7 六方晶胞的基失為：，求其倒格子基失，并畫(huà)出此晶格的第一布里淵區(qū).答：根據(jù)正格矢與倒格矢之間的關(guān)系，可得：正格子的體積=a·（b*c）= 那么，

7、倒格子的基矢為 ， ，其第一布里淵區(qū)如圖所示：(略)1.8 若基失a，b，c構(gòu)成正交晶系，求證：晶面族（hkl）的面間距為答：根據(jù)晶面指數(shù)的定義，平面族（hkl）中距原點(diǎn)最近平面在三個(gè)晶軸a1，a2，a3上的截距分別為，。該平面（ABC）法線方向的單位矢量是這里d是原點(diǎn)到平面ABC的垂直距離，即面間距。由|n|=1得到故1.9 用波長(zhǎng)為0.15405nm的X射線投射到鉭的粉末上，得到前面幾條衍射譜線的布拉格角如下序號(hào)12345/（°）19.61128.13635.15641.15647.769已知鉭為體心立方結(jié)構(gòu)，試求：（1）各譜線對(duì)應(yīng)的衍射晶面族的面指數(shù)；（2）上述各晶面族的面間距

8、；（3）利用上兩項(xiàng)結(jié)果計(jì)算晶格常數(shù).答：對(duì)于體心立方結(jié)構(gòu)，衍射光束的相對(duì)強(qiáng)度由下式?jīng)Q定：考慮一級(jí)衍射，n=1。顯然，當(dāng)衍射面指數(shù)之和（h+k+l）為奇數(shù)時(shí)，衍射條紋消失。只有當(dāng)（h+k+l）為偶數(shù)時(shí)，才能產(chǎn)生相長(zhǎng)干涉。因此，題給的譜線應(yīng)依次對(duì)應(yīng)于晶面（110）、（200）、（211）、（220）和（310）的散射。由布喇格公式得 同法得應(yīng)用立方晶系面間距公式可得晶格常數(shù)把上面各晶面指數(shù)和它們對(duì)應(yīng)的面間距數(shù)值代入，依次可得a 的數(shù)值*10-10m為3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897取其平均值則得1.10 平面正三角形，相鄰原子的間距為a，試給出此晶格的正格矢和倒

9、格矢；畫(huà)出第一和第二布里淵區(qū).答：參看下圖，晶體點(diǎn)陣初基矢量為 用正交關(guān)系式求出倒易點(diǎn)陣初基矢量b1，b2。設(shè) 由 得到下面四個(gè)方程式 （1） （2） （3） （4）由（1）式可得：由（2）式可得：由（3）式可得：由（4）式可得：于是得出倒易點(diǎn)陣基矢 第二章2.2證明兩種一價(jià)離子組成的一維晶格的馬德隆常數(shù)為. 證 設(shè)想一個(gè)由正負(fù)兩種離子相間排列的無(wú)限長(zhǎng)的離子鍵，取任一負(fù)離子作參考離子（這樣馬德隆常數(shù)中的正負(fù)號(hào)可以這樣取，即遇正離子取正號(hào)，遇負(fù)離子取負(fù)號(hào)），用r表示相鄰離子間的距離，于是有 前邊的因子2是因?yàn)榇嬖谥鴥蓚€(gè)相等距離的離子，一個(gè)在參考離子左面，一個(gè)在其右面，故對(duì)一邊求和后要乘2，馬德隆

10、常數(shù)為當(dāng)X=1時(shí)，有 2.3有一晶體,平衡時(shí)體積為 ， 原子間相互作用勢(shì)為.如果相距為 r的兩原子互作用勢(shì)為 證明體積彈性模量為 K=解答設(shè)晶體共含有 N個(gè)原子,則總能量為U(r)=.0202222222由于晶體表面層的原子數(shù)目與晶體內(nèi)原子數(shù)目相比小得多,因此可忽略它們之間的基異,于是上式簡(jiǎn)化為 U=設(shè)最近鄰原子間的距離為R則有R再令 AA得到 U=平衡時(shí)R=R,則由已知條件U(R) = 得 由平衡條件 得 .由(1),(2)兩式可解得 利用體積彈性模量公式參見(jiàn)固體物理教程(2.14)式 K=得K= = = 由于 因此 于是 K= 2.6 由N個(gè)原子（離子）所組成的晶體的體積V可寫(xiě)為 。式中，

11、v為每個(gè)原子（離子）平均所占據(jù)的體積；R為粒子間的最短距離；是和結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)。試求下列各種結(jié)構(gòu)的值：(1).簡(jiǎn)單立方點(diǎn)陣；(2).面心立方點(diǎn)陣；(3).體心立方點(diǎn)陣；(4).金剛石結(jié)構(gòu)；(5).氯化鈉型結(jié)構(gòu)。解：題給 (1) 式中，V為晶體體積，N為晶體包含的原子數(shù)，v為每個(gè)原子平均占據(jù)的體積。若以N 表示晶體包含的晶胞數(shù)，V表示晶體中每個(gè)晶胞的體積，n表示晶胞中所含的粒子數(shù)，則(1)式完全等效于2.7對(duì)于，從氣體的測(cè)量得到LennardJones勢(shì)參數(shù)為計(jì)算結(jié)合成面心立方固體分子氫時(shí)的結(jié)合能（以KJ/mol單位），每個(gè)氫分子可當(dāng)做球形來(lái)處理結(jié)合能的實(shí)驗(yàn)值為0.751kJmo1，試與計(jì)算值比

12、較解 以為基團(tuán)，組成fcc結(jié)構(gòu)的晶體，如略去動(dòng)能，分子間按LennardJones勢(shì)相互作用，則晶體的總相互作用能為：因此，計(jì)算得到的晶體的結(jié)合能為2.55KJmol，遠(yuǎn)大于實(shí)驗(yàn)觀察值0.75lKJmo1對(duì)于的晶體，量子修正是很重要的，我們計(jì)算中沒(méi)有考慮零點(diǎn)能的量子修正，這正是造成理論和實(shí)驗(yàn)值之間巨大差別的原因第三章 習(xí)題答案3.1 試求由5個(gè)原子組成的一堆單原子晶格的格波頻率，設(shè)原子質(zhì)量m8.35×1027kg，恢復(fù)力常數(shù)15N·m1 解：一維單原子鏈的解為 據(jù)周期邊界條件 ，此處N=5,代入上式即得 所以 2（為整數(shù)） 由于格波波矢取值范圍：。 則 故可取2，1，0，1

13、，2這五個(gè)值 相應(yīng)波矢：,0, , 由于，代入，m及q值 則得到五個(gè)頻率依次為（以rad/sec為單位） 8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×10133.2 求證由N個(gè)相同原子組成的一維單原子晶格格波的頻率分布函數(shù)可以表示為 式中是格波的最高頻率，并求證它的振動(dòng)?？倲?shù)恰為N解：對(duì)一維單原子鏈， 所以 （1） 由色散關(guān)系 求得 （2） 而， 則由（1）式可得 由于 ，則總的振動(dòng)模數(shù)為 令，則積分限為0到 ， 故 3.3 設(shè)晶體由N個(gè)原子組成，試用德拜模型證明格波的頻率分布函數(shù)為解：由書(shū)上（369）式可得 （1）由（37

14、1）可得 由此可得 ，代入（1）式得3.4 對(duì)一堆雙原子鏈，已知原子的質(zhì)量m8.35×1027kg，另一種原子的質(zhì)量M4m，力常數(shù)15N·m1，試求（1） 光學(xué)波的最高頻率和最低頻率和；（2） 聲學(xué)波的最高頻率；（3） 相應(yīng)的聲子能量（以eV為單位）；（4） 在300K可以激發(fā)頻率為，和的聲子的數(shù)目；（5） 如果用電磁波來(lái)激發(fā)長(zhǎng)光學(xué)波振動(dòng)，電磁波的波長(zhǎng)大小。 解：（1） （2） （3） ， ， （4）光速 ，3.5 設(shè)有一維晶體，其原子的質(zhì)量均為m，而最近鄰原子間的力常數(shù)交替地等于和10， 且最近鄰的距離為，試畫(huà)出色散關(guān)系曲線，并給出和處的。解：設(shè)標(biāo)為奇數(shù)的原子和附近為偶數(shù)

15、的原子所處的環(huán)境不同，參看圖， 10 10mx2n-1 x2n x2n+1 x2n+2原子的運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)是即 求格波解， 令 ，代入運(yùn)動(dòng)方程，可導(dǎo)出線性方程組為：令，從A，B有非零解的系數(shù)行列式等于零的條件可得可解出 色散關(guān)系見(jiàn)下圖時(shí)，時(shí)，3.6在一維雙原子鏈中，如，求證 證 由書(shū)中（3.22）式知，雙一維原子鏈聲學(xué)支 ， 由近似式， 得 ， 對(duì)，由于， 3.7 在一維雙原子晶格振動(dòng)情況中，證明在布里淵區(qū)邊界處，聲學(xué)支格波中所有輕原子m靜止，而光學(xué)支格波中所有重原子M靜止。畫(huà)出這時(shí)原子振動(dòng)的圖象。證 由（318）第一式得 ，當(dāng) 時(shí) 且對(duì)聲學(xué)支，代入上式即得： ，故A0， 輕原子靜止 再由（318

16、）第二式得 ，當(dāng) 時(shí) 且對(duì)光學(xué)支，代入上式即得 故B0， 重原子靜止3.8 設(shè)固體的熔點(diǎn)對(duì)應(yīng)原子的振幅等于原子間距的10的振動(dòng)，推證，對(duì)于簡(jiǎn)單晶格，接近熔點(diǎn)時(shí)原子的振動(dòng)頻率，其中M是原子質(zhì)量。解 當(dāng)質(zhì)量為M的原子以頻率及等于原子間距的10的振幅振動(dòng)時(shí)，其振動(dòng)能為： 在熔點(diǎn)時(shí)，原子的能量可按照能量均分定理處理，即一個(gè)一維原子的平均能量為，于是有，由此得3.9 按德拜近似，試證明高溫時(shí)晶格熱容 證明：由書(shū)可知在高溫時(shí)，則在整個(gè)積分范圍內(nèi)為小量，因此可將上式中被積函數(shù)化簡(jiǎn)為 將上式代入的表達(dá)式，得 將 代入上式得 3.10 設(shè)晶格中每個(gè)振子的零點(diǎn)振動(dòng)能為，試用德拜模型求三維晶格的零點(diǎn)振動(dòng)能 解：由（

17、369）式知，狀態(tài)密度 則 3.11 在德拜近似的基礎(chǔ)上，討論由一個(gè)N個(gè)原子組成的二維晶格的比熱，證明在低溫下其比熱正比于證明：此題可推廣到任意維m，由于 而德拜模型中，故 令，則上式變?yōu)?在低溫時(shí) 則積分 為一個(gè)于T無(wú)關(guān)的常數(shù) 故 對(duì)三維 m3 對(duì)本題研究的二維 m2 對(duì)一維 m1 3.12 設(shè)某離子晶體中相鄰兩離子的相互作用勢(shì)為， b為待定常數(shù)， 平衡間距，求線膨脹系數(shù)。 解：由書(shū)上（3.114）式知，線膨脹系數(shù) 其中：， 由平衡條件 ， 由于 ， 3.13 已知三維晶體在附近一支光學(xué)波的色散關(guān)系為 ， 試求格波的頻譜密度 解： 則 這是q空間的一個(gè)橢球面，其體積為，而 ， q空間內(nèi)的狀態(tài)

18、密度 ，故橢球內(nèi)的總狀態(tài)數(shù)N為 故 第四章4.1晶體中空位和間隙原子的濃度是否相同？為什么？答：晶體中空位和間隙原子的濃度是相同的。在離子晶體中，由于電中性的要求，所以晶體中的空位和間隙原子一般都是成對(duì)出現(xiàn)，所以它們的濃度是相同的。4.2試從能量角度說(shuō)明滑移方向必定是密排方向.（略）4.3如果已知空位形成能為Eu=0.67eV，試問(wèn)當(dāng)溫度為300K時(shí)在金里肖特基缺陷數(shù)與格點(diǎn)數(shù)之比是多少？答：設(shè)肖特基缺陷數(shù)為n，格點(diǎn)數(shù)為N。那么由公式可得=5.682*10-124.4某間隙原子在晶格的間隙位置間跳躍。該間隙原子在晶格中振動(dòng)的頻率為2*1015s-1，如該間隙原子在跳躍過(guò)程中需要克服的勢(shì)壘高度為0

19、.1eV，求該原子在1s內(nèi)跳躍的次數(shù)。答：由公式可得=2*1015*0.02=4*10134.5在離子晶體中，由于電中性的要求，肖特基缺陷多成對(duì)地產(chǎn)生，令n代表正、負(fù)離子空位的對(duì)數(shù)，W是產(chǎn)生一對(duì)缺陷所需要的能量，N是原有的正、負(fù)離子對(duì)的數(shù)目。（1）試證明：n/N=Bexp（-W/2kBT）；（2）試求有肖特基缺陷后體積的變化V/V，其中V為原有的體積。答：（1）設(shè)n對(duì)肖特基缺陷是從晶體內(nèi)部移去n個(gè)正離子和n個(gè)負(fù)離子而形成的。從N個(gè)正離子中形成n個(gè)正離子空位的可能方式數(shù)為同時(shí)，從N個(gè)負(fù)離子中形成n個(gè)負(fù)離子空位的可能方式數(shù)也是于是，在整個(gè)晶體中形成n對(duì)正、負(fù)離子空位的可能方式數(shù)由此而引起晶體熵的增

20、量為設(shè)形成一對(duì)正、負(fù)離子空位需要能量w，若不考慮缺陷出現(xiàn)對(duì)原子振動(dòng)狀態(tài)的影響，則晶體自由能的改變 （1）熱平衡時(shí)，并應(yīng)用斯特令公式，從（1）式得因?yàn)閷?shí)際上N»n，于是得n/N=Bexp（-W/2kBT）（2）對(duì)離子晶體的肖特基缺陷來(lái)說(shuō)，每產(chǎn)生一對(duì)缺陷同時(shí)便產(chǎn)生了兩個(gè)新的結(jié)點(diǎn)，使體積增加。當(dāng)產(chǎn)生n對(duì)正、負(fù)離子空位時(shí)，所增加的體積應(yīng)該是式中a為離子最近鄰距離。因?yàn)闉榫w原有的體積，有上式可得4.6已知擴(kuò)散系數(shù)與溫度之間的關(guān)系為：下列數(shù)據(jù)是鋅在銅晶體中擴(kuò)散的實(shí)驗(yàn)結(jié)果：T/K8781007117612531322D/m2·s-11.6*10-204.0*10-181.1*10-18

21、4.0*10-171.0*10-16試確定常數(shù)Do和擴(kuò)散激活能EA.答：（略） 4.7銅和硅的空位形成能Eu分別是0.3eV和2.8eV。試求T=1000K時(shí)，銅和硅的空位濃度。答：由公式可得：對(duì)于銅 對(duì)于硅4.8碘化鉀在不同溫度下的鉀蒸汽中增色，通過(guò)測(cè)試F帶的光吸收就可得F心的形成能EB。當(dāng)溫度從570上升到620時(shí)，吸收常數(shù)增加了3.9%左右。假設(shè)光吸收的增加是由F心的數(shù)目增加引起的，試計(jì)算F心形成能EB。答：（略）4.9考慮一體心立方晶格：（1）試畫(huà)出（110）面上原子的分布圖；（2）設(shè)有一沿方向滑移、位錯(cuò)線和平行的刃位錯(cuò)。試畫(huà)出在（110）面上原子的投影圖。答：如圖所示：4.10求體心

22、立方、面心立方、六方密堆積等晶體結(jié)構(gòu)的最小滑移矢量的長(zhǎng)度。答：滑移面往往是那些原子面密度較大的晶面，滑移向也總是原子密度較大的晶向（即沿該方向的周期最?。?。（1）體心立方：滑移面為（110）面，滑移向?yàn)?11，最小滑移矢量b即111晶向上一個(gè)格點(diǎn)間距的長(zhǎng)度。設(shè)晶格常數(shù)為a，則（2）面心立方：滑移面為（111），滑移向?yàn)?01。最小滑移矢量b等于101方向上相鄰格點(diǎn)間的距離，即（3）六角密堆：滑移面是基面（0001），滑移向是。晶向上原子間距為a，因此，4.11在FCC晶格中存在一個(gè)位錯(cuò)，其位錯(cuò)線的方向用晶向指數(shù)表示為，該位錯(cuò)滑移的方向和大小用伯格斯矢量表示為。試確定該滑移面的晶面指數(shù)，并問(wèn)該位

23、錯(cuò)是刃位錯(cuò)還是螺位錯(cuò)。（略）第五章 自由電子近似5.1已知銀是單價(jià)金屬，費(fèi)米面近似球面，銀的密度rm=10.5´103kg · m-3，原子量A=107.87，電阻率在295K時(shí)為1.61´10-3W · m，在20K時(shí)為0.0038´10-3W · m。試計(jì)算：（1）費(fèi)米能級(jí)和費(fèi)米溫度；（2）費(fèi)米球半徑；（3）費(fèi)米速度；（4）費(fèi)米球的最大截面積；（5）室溫下和絕對(duì)零度附近電子的平均自由程。解：因?yàn)殂y是第47號(hào)元素，Z = 47，每立方厘米的電子數(shù)為費(fèi)米球半徑 費(fèi)米能級(jí)由 知費(fèi)米速度 費(fèi)米球的最大截面積 室溫下的電子的平均自由程電子的

24、平均能量 電子的平均速度，室溫下電子的平均自由時(shí)間t 約為10-14s，因此室溫下電子的平均自由程 絕對(duì)零度附近電子的平均自由程電子的平均能量 電子的平均速度，絕對(duì)零度時(shí)電子的平均自由時(shí)間 t 約為10-9s，因此室溫下電子的平均自由程 。5.2 （1）求出二維情況下電子濃度n 和kF的關(guān)系式；（2）求出二維情況下rs和kF的關(guān)系式；（3）證明在二維情況下，g(e)=常量，當(dāng)e>0，或者g(e)=0，當(dāng)e<0，并求出這個(gè)常量的值。解：（1）在自由電子近似下，因?yàn)閱挝幻娣e的二維晶格的狀態(tài)密度函數(shù)為 ，K空間半徑是kF的圓內(nèi)的電子狀態(tài)數(shù)亦即二維晶格的電子數(shù)密度為（2）在自由電子近似下，

25、每個(gè)電子占有的體積為 解得（3）在自由電子近似下，二維晶格的K空間的kk+dk圓環(huán)內(nèi)的電子狀態(tài)數(shù)為，由于 即 所以單位面積的二維晶格K空間的狀態(tài)密度函數(shù)g(e)5.3證明單位體積的固體內(nèi)費(fèi)米能級(jí)EF處的狀態(tài)密度函數(shù)可以寫(xiě)為其中n是費(fèi)米面上的電子濃度。解：在自由電子近似下，單位體積的固體對(duì)應(yīng)的K空間的半徑是k的球體內(nèi)的電子狀態(tài)數(shù)為狀態(tài)密度函數(shù)g(E)的表示式為當(dāng)E=EF時(shí)。5.4試用駐波條件討論k的取值。求g(e)，并與周期性邊界條件比較。解：在自由電子近似下，電子在無(wú)限深勢(shì)阱中的薛定諤方程為按照分離變數(shù)法原理，上述方程可寫(xiě)為， ， 上述三個(gè)方程的解； ； 由歸一化條件：，知： ，有邊界條件：，

26、 得，這里ni是正整數(shù)，i= x，y，z，所以； 每一個(gè)狀態(tài)點(diǎn)占有的K空間的體積是 K空間態(tài)密度為 K空間kk+dk殼層內(nèi)的電子狀態(tài)數(shù)為 所以 周期性邊界條件下， 比較g(e)和g(e)*，得g(e)* = 8g(e)。這是由于在駐波條件下，ni只能取正數(shù)，而在周期邊界條件下ni可以取正負(fù)整數(shù)。5.5電子處在體積V的正交六面體小盒子中，借助測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系確定在動(dòng)量區(qū)間pp+dp或能量區(qū)間EE+dE中電子的量子態(tài)數(shù)，求動(dòng)量和能量分別小于p0和E0的電子態(tài)總數(shù)。解：因?yàn)轶w積為V的電子體系中的能態(tài)密度為 由 ，以及 ，得 = 有測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，電子位置的不確定 ，電子動(dòng)量的不確定性，所以在動(dòng)量區(qū)間pp+dp

27、或能量區(qū)間EE+dE中電子的量子態(tài)數(shù)為動(dòng)量和能量分別小于p和E的電子態(tài)總數(shù)Np<p0或E<E05.6電子在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的方匣中運(yùn)動(dòng)，求出它的前4個(gè)不同能級(jí)的所有波函數(shù)，給出各能級(jí)的能量和簡(jiǎn)并度。解：電子在方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)時(shí)的薛定諤方程是 假定為可分離變數(shù)情形，Y = YxYyYz，E = Ex+Ey+Ez薛定諤方程通過(guò)變數(shù)分離變?yōu)?令 ，關(guān)于Yx的通解可以寫(xiě)成 由邊界條件 ，所以B = 0，得到 ，即 ，這里l1是整數(shù)，l1 = 1，2，3。類似可得 ，。l2和l3是整數(shù)，l2，l3 = 1，2，3。電子的波函數(shù) ，歸一化系數(shù)電子的能量 ?；鶓B(tài) (l1， l2，l3) = (1，1，1)，

28、n2 = 3，簡(jiǎn)并度 = 1。第一激發(fā)態(tài)(l1， l2，l3) = (1，1，2)，或 (1，2，1)，或(2，1，1)，n2 = 6，簡(jiǎn)并度 = 3。第二激發(fā)態(tài)(l1， l2，l3) = (1，2，2)，或 (2，1，2)，或(2，2，1)，n2 = 9，簡(jiǎn)并度 = 3第三激發(fā)態(tài)(l1， l2，l3) = (1，1，3)，或 (1，3，1)，或(3，1，1)，n2 = 11，簡(jiǎn)并度 = 35.7限制在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的N個(gè)二維自由電子氣能量為，試求能量在EE+dE間的狀態(tài)數(shù)及費(fèi)米能。解：由 ，得 K空間能量為E的等能線圍成的圓的面積為 能量在EE+dE圓環(huán)的面積為 相應(yīng)的狀態(tài)數(shù)為

29、體系內(nèi)的能量在EE+dE間的電子數(shù)為 體系的總電子數(shù)為體系的費(fèi)米能為 5.8銅中電子的馳豫時(shí)間為2.3´10-14s，試計(jì)算300K時(shí)的熱導(dǎo)率，如果在273K時(shí)銅的電阻率為1.5´10-8W·m，試估計(jì)它在同一溫度下的熱導(dǎo)率。解：銅的導(dǎo)電是由于銅晶體中的電子輸運(yùn)，按照德魯特經(jīng)典電子模型，u是電子的平均速度，約為105m/s，t是電子的馳豫時(shí)間，其熱導(dǎo)率為 300K時(shí)銅的熱導(dǎo)率為 297K時(shí)銅的馳豫時(shí)間為 297K時(shí)銅的熱導(dǎo)率為 5.9已知鈉是bcc結(jié)構(gòu)，點(diǎn)陣常數(shù)a = 4.28Å，試用自由電子模型計(jì)算霍爾系數(shù)。解：因?yàn)殁c是bcc結(jié)構(gòu)，有題知點(diǎn)陣常數(shù)是a

30、= 4.28Å，其固體物理學(xué)元胞內(nèi)的鈉原子數(shù)為2。每個(gè)鈉原子提供一個(gè)電子，則鈉晶體內(nèi)的電子密度為金屬鈉的霍爾系數(shù)為 5.10若熱電子發(fā)射電子垂直金屬表面的平均動(dòng)能是kBT，則平行于表面的平均能量也是kBT。解：由波爾茲曼分布率知，能量在v v+dv范圍內(nèi)的電子的數(shù)量為 （應(yīng)該為EE+dE）()電子的均方平均速度 電子的平均動(dòng)能 由于電子的自旋角動(dòng)量是，遵從費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)規(guī)律，每個(gè)能級(jí)上有兩個(gè)自旋相反的電子，電子在垂直于表面方向的平均能量為同理可說(shuō)明，平行于表面的平均能量也是kBT。第六章 習(xí)題解答6.1 一維周期場(chǎng)中電子的波函數(shù)應(yīng)滿足布洛赫定理，若晶格常數(shù)為，電子的波函數(shù)為（1）

31、（2） （3） （f是某個(gè)確定的函數(shù)） 試求電子在這些狀態(tài)的波矢解：布洛赫函數(shù)為 （1） ， ， （2） 同理， ， ， （3） 此處 ， ，6.2 已知一維晶格中電子的能帶可寫(xiě)成，式中是晶格常數(shù)，m是電子的質(zhì)量，求（1）能帶的寬度，（2）電子的平均速度，（3） 在帶頂和帶底的電子的有效質(zhì)量 解：能帶寬度為 ， 由極值條件 ， 得 上式的唯一解是的解，此式在第一布里淵區(qū)內(nèi)的解為 當(dāng)k0時(shí)，取極小值，且有當(dāng)時(shí)，取極大值 ，且有 由以上的可得能帶寬度為 （2）電子的平均速度為 （3）帶頂和帶底電子的有效質(zhì)量分別為 6.3 一維周期勢(shì)場(chǎng)為 ， 其中 ，W為常數(shù)，求此晶體第一及第二禁帶寬度 解：據(jù)自由電子近似得知禁帶寬度的表示式為 ， 其中是周期勢(shì)場(chǎng)傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，該系數(shù)為： 求得，第一禁帶寬度為 第二禁帶寬度為 6.4 用緊束縛近似計(jì)算最近鄰近似下一維晶格s態(tài)電子能帶，畫(huà)出，與波矢的關(guān)系，證明只有在原點(diǎn)和布里淵區(qū)邊界附近，有效質(zhì)量才和波矢無(wú)關(guān)。解： 根據(jù)