概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2.第二章練習(xí)題(答案)

1、第二章練習(xí)題（答案）一、單項(xiàng)選擇題1已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 則常數(shù)k和b分別為 （ A ）（A） （B） （C） （D）2.下列函數(shù)哪個(gè)是某隨機(jī)變量的分布函數(shù) （ A ）A. f（x）=xae-x22a,x01, x<0 (a0); B. f（x）=12cosx, 0< x<0, 其他C. f（x）=cosx, -2< x<20, 其他 D. f（x）=sinx, -2< x<20, 其他3.若函數(shù)是某隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，則一定成立的是 （ C ）A. 的定義域是0,1 B. 的值域?yàn)?,1 C. 非負(fù) D. 在內(nèi)連續(xù)4. 設(shè)，密度函數(shù)為

2、，則有（ C ）A. B. C. D. 5. 設(shè)隨機(jī)變量，記，則正確的是 （ A ）.（A）對任意，均有 （B）對任意，均有（C）對任意，均有 （D）只對的個(gè)別值有6. 設(shè)隨機(jī)變量，則隨著的增加（ C ）A.遞增 B.遞減 C.不變 D.不能確定7.設(shè)F1(x)與F2(x)分別為隨機(jī)變量X1、X2的分布函數(shù),為使F(x)=aF1(x)- bF2(x)是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù),在下列給定的多組數(shù)值中應(yīng)取 ( A )A. a =, b =; B. a =, b =; C. ， ; D. , .8.設(shè)X1與X2是任意兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的概率密度函數(shù)分別為f1(x)和f2(x)，分布函

3、數(shù)分別為F1(x)和F2(x)，則 ( D )(A) f1(x)+f2(x) 必為某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度；（B）f1(x)f2(x) 必為某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度；（C）F1(x)+F2(x) 必為某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)；(D) F1(x) F2(x) 必為某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。9. 設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量的密度函數(shù)滿足，是的分布函數(shù)，則 ( D )(A) ; (B) ;(C); (D).10. 每次試驗(yàn)成功率為，進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，直到第十次試驗(yàn)才取得4次成功的概率為（ B ） 11.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=e-|X|,(-x+),則其分布函數(shù)F（x）是 （ B ）（A）F（x）= （B）F（x

4、）=（C）F（x）= （D）F（x）=二、填空題1. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為且，則=,.2. 已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則的分布律為 X-113P0.40.30.33設(shè)三次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率相等，如果已知A至少出現(xiàn)一次的概率等于，則事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為 1/3 4.XB(2,p),YB(4,p),已知pX1= 59,則pY1= 6581 三、計(jì)算題1. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為. 求(1) 常數(shù)A和B; (2) 落入?yún)^(qū)間的概率; (3) 的概率密度（1）A=1/2,B=1/; (2)1/2; (3) f(x)=111+x² (-x)2. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布

5、函數(shù)為 其中a>0, 求: (1) 常數(shù)A、B; (2) ; (3) 概率密度f (x).（1）A=1/2,B=1/; (2)1/3; (3) f(x)=1a2-x2, ,x<a0, xa3. 若U0,5, 求方程x2+x+1=0有實(shí)根的概率.4設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為求（1）系數(shù)；（1）的分布函數(shù)；（3）5已知隨機(jī)變量X的概率密度為求隨機(jī)變量（1），（2）（3）的概率分布6.設(shè)XN（0，1）求Y=X2的概率密度。7.進(jìn)行一系列獨(dú)立試驗(yàn)，每次試驗(yàn)成功的概率均為，試求以下事件的概率：（1）直到第次才成功；（2）第次成功之前恰失敗次；（3）在次中取得次成功；（4）直到第次才取得次成

6、功。解：（1）（2）（3）（4）8.投擲次均勻硬幣，求出現(xiàn)正反面次數(shù)相等的概率。解 若為奇數(shù), 顯然, 出現(xiàn)正反面次數(shù)不可能相等, 故所求概率為0；若為偶數(shù),“出現(xiàn)正反面次數(shù)相等”等價(jià)于“出現(xiàn)正反面次數(shù)各次”， 投擲次均勻硬幣，可以看作伯努里概型，故這時(shí)概率為：。故所求為：。9.某科統(tǒng)考成績近似服從N(70,10²),在參加統(tǒng)考的人數(shù)中，及格者100人（及格分?jǐn)?shù)為60分），計(jì)算（1）不及格人數(shù)；（2）成績前10名的人數(shù)在考生中所占的比例；（3）估計(jì)排名第10名考生的成績。解：設(shè)考生的統(tǒng)考成績?yōu)閄,XN(70,10²).設(shè)參加統(tǒng)考的人數(shù)為n,則Px60=1-Ø(60

7、-7010)=Ø（1）=0.8413,100n=0.8413.(1) 不及格人數(shù)占統(tǒng)考人數(shù)的15.87%，不及格人數(shù)為0.1587n19人。(2) 前10名考生所占比例為10n8.4%(3) 設(shè)第10名考生成績?yōu)閤0分,PXx0=0.08413,PX<x0=0.91587Ø(x0-7010)=0.91587, x0-7010=1.37, x0=83.784分。10.離散型隨機(jī)變量x的分布函數(shù)F(x)=0, x-1a, -1x1-a, 1x2a+b, x2,且p(x=2)= 12.求a,b及x的分布律.11.巴拿赫火柴盒問題：波蘭數(shù)學(xué)家巴拿赫（Banach）隨身帶著兩盒

8、火柴，分別放在左右兩個(gè)衣袋里，每盒各有n根火柴。每次使用時(shí)，他隨機(jī)地從其中一盒中取出一根。試求他將其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下k根火柴的概率。解：A：“取左衣袋盒中火柴”，B：“取右衣袋盒中火柴”。P(A)=P(B)=1/2. 若Banach首次發(fā)現(xiàn)他左衣袋盒中火柴用完，這時(shí)事件A已經(jīng)是第n+1次發(fā)生了，而此時(shí)他右衣袋盒中火柴恰好剩k根相當(dāng)于他在此前已在右衣袋中取走了n-k根火柴，即B發(fā)生了n-k次，即一共做了n-k+n+1=2n-k+1次隨機(jī)試驗(yàn)，其中A發(fā)生了n+1次，B發(fā)生了n-k次，在這2n-k+1次試驗(yàn)中，第2n-k+1次是A發(fā)生，前面的2n-k次試驗(yàn)中，A發(fā)生了n次，B發(fā)生了n-

9、k次，這時(shí)概率為P(A)C2n-kn(PA)n(PB)n-k = 12C2n-kn(12)2n-k由對稱性知，他右衣袋盒中火柴用完，而左衣袋盒中火柴恰好剩k根的概率也是 12C2n-kn(12)2n-k。所以，將其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下k根火柴的概率為 C2n-kn(12)2n-k。四、應(yīng)用題1.某家電維修站保養(yǎng)本地區(qū)某品牌的600臺(tái)電視機(jī)，已知每臺(tái)電視機(jī)的故障率為0.005。（1）如果維修站有4名維修工，每臺(tái)只需1人維修，求電視機(jī)能及時(shí)維修的概率。（2）維修站需配備多少維修工，才能使及時(shí)維修的概率不少于96%。解：設(shè)同一時(shí)刻發(fā)生故障的電視機(jī)臺(tái)數(shù)為X, XB(600，0.005)，由于

10、n很大，而P較小，可以利用泊松定理計(jì)算。=np=3,所以PX4=1-0.1847=0.8153（查表）PXn0.96,查表知n=6,即需配備6名維修工。2.人壽保險(xiǎn)問題：某單位有2500個(gè)職工參加某保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn)。根據(jù)以前的統(tǒng)計(jì)資料，在1年內(nèi)每個(gè)人死亡的概率為0.0001。每個(gè)參保人1年付給保險(xiǎn)公司120元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)其家屬從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取20000元，求（不計(jì)利息）下列事件的概率。（A）保險(xiǎn)公司虧本。（B）保險(xiǎn)公司1年獲利不少于十萬元。解：設(shè)這2500人中有k個(gè)人死亡。則保險(xiǎn)公司虧本當(dāng)且僅當(dāng)20000k2500*120，即k15.由二項(xiàng)概率公式知，1年中有k個(gè)人死亡的概率為C2500

11、k (0.0001)k (0.9999)2500-k,k=0,1,2, ,2500所以，保險(xiǎn)公司虧本的概率P(A)=k=162500C2500k (0.0001)k (0.9999)2500-k0.000001 (由此可見保險(xiǎn)公司虧本幾乎不可能)保險(xiǎn)公司1年獲利不少于十萬元等價(jià)于2500*120-20000k 105,即k10保險(xiǎn)公司1年獲利不少于十萬元的概率為P(B)=k=010C2500k (0.0001)k (0.9999)2500-k0.999993662 (由此可見保險(xiǎn)公司1年獲利不少于十萬元幾乎是必然的)對保險(xiǎn)公司來說，保險(xiǎn)費(fèi)收太少了，獲利將減少，保險(xiǎn)費(fèi)收太多了，參保人數(shù)將減少，獲

12、利也將減少。因此在死亡率不變與參保對象已知的情況下，為了保證公司的利益，收多少保險(xiǎn)費(fèi)就是很重要的問題。（C）從而提出如下的問題：對2500個(gè)參保對象（每人死亡率為0.0001）每人每年至少收多少保險(xiǎn)費(fèi)才能使公司以不低于0.99的概率每年獲利不少于10萬元？（賠償費(fèi)不變）由上面知，設(shè)x為每人每年所交保險(xiǎn)費(fèi)，由2500x-20000k 105,得x8k+40,這是一個(gè)不定方程。又因k=02C2500k (0.0001)k (0.9999)2500-k=0.997840.99，故x56，即2500個(gè)人每人每年交給公司56元保險(xiǎn)費(fèi)，就能使公司以不低于0.99的概率每年獲利不少于10萬元。由于保險(xiǎn)公司之間競爭激烈，為了吸引參保者，擠垮對手，保險(xiǎn)費(fèi)還可以再降低，比如20元，只要不虧本就行。因此保險(xiǎn)公司將會(huì)考慮如下問題（D）在死亡率與賠償費(fèi)不變的情況下，每人每年交給保險(xiǎn)公司20元保險(xiǎn)費(fèi)，保險(xiǎn)公司至少需要吸引多少個(gè)參保者才能以不小于0.99的概率不虧本？解：設(shè)y為參保人數(shù)，k仍為參保者的死亡數(shù)，類似地有20y-20000k0,即y1000k,此仍是一個(gè)不定方程。當(dāng)k=1,y1000,C10001 (0.0001)1 (0.9999)1000-1=0.09049又 (0.9999)1