06第六章數(shù)列教師版精編版

1、第六章數(shù)列知識網(wǎng)絡(luò)有窮數(shù)列分類無窮數(shù)列列表法通項公式法表示方法解析法遞推公式法圖像法單調(diào)性性質(zhì)周期性定義通項公式 性質(zhì) 應(yīng)用數(shù)列等差中項等差數(shù)列定義等比數(shù)列的前 n項和 公式推導(dǎo) 性質(zhì) 應(yīng)用基本運算定義通項公式 性質(zhì) 應(yīng)用等比中項等比數(shù)列定義等比數(shù)列的前 n項和 公式推導(dǎo) 性質(zhì) 應(yīng)用基本運算第 1 講 數(shù)列的概念 知識梳理1. 數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每個數(shù)稱為該數(shù)列的項 .2. 通項公式：如果數(shù)列 an 的第 n 項與序號之間可以用一個式子表示 , 那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式，即.af(n)n3. 遞推公式：如果已知數(shù)列 an 的第一項（或前幾項），且任

2、何一項 an 與它的前一項 an 1 （或前幾項）間的關(guān)系可以用一個式子來表示，即anf (an 1 ) 或an f (an 1 , an 2 ) ，那么這個式子叫做數(shù)列an 的遞推公式. 如數(shù)列an 中，- 1 -a11, an2an1，其中 an2an1 是數(shù)列 an 的遞推公式 .4. 數(shù)列的前 n 項和與通項的公式 Sn a1 a2an ； anS1 (n1)Sn.Sn 1 (n 2)5.數(shù)列的表示方法：解析法、圖像法、列舉法、遞推法.6. 數(shù)列的分類：有窮數(shù)列，無窮數(shù)列；遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，擺動數(shù)列，常數(shù)數(shù)列；有界數(shù)列，無界數(shù)列 .遞增數(shù)列 : 對于任何 nN, 均有 an1an .

3、遞減數(shù)列 : 對于任何 nN, 均有 an1an .擺動數(shù)列 : 例如 : 1,1,1,1,1, .常數(shù)數(shù)列 : 例如 :6,6,6,6,.有界數(shù)列 : 存在正數(shù) M 使 an M , nN .無界數(shù)列 : 對于任何正數(shù) M , 總有項an 使得 an M .重難點突破1. 重點： 理解數(shù)列的概念和幾種簡單表示方法；掌握數(shù)列的通項公式的求法.2. 難點：用函數(shù)的觀點理解數(shù)列 .3. 重難點： 正確理解數(shù)列的概念，掌握數(shù)列通項公式的一般求法.求數(shù)列的通項、判斷單調(diào)性、求數(shù)列通項的最值等通常應(yīng)用數(shù)列的有關(guān)概念和函數(shù)的性質(zhì) .問題 1：已知 Sn 是數(shù)列 an的前 n 項和， SnSn 1an 1

4、( nN) ，則此數(shù)列是( )A. 遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.常數(shù)數(shù)列D.擺動數(shù)列分析：將已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)列項之間的關(guān)系，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性作出判定.解析： SnSn1an 1 ，Sn 1Snan (n 2)兩式相減，得 anan1an1an ，an0(n2)當(dāng) n 1 時， a1( a1a2 )a2a10 ，an0(n N ) ，選 C.問題 2：數(shù)列 an中， ann2006 ，則該數(shù)列前 100 項中的最大項與最小項n2007分別是( )A. a1 , a50B.a1 , a44C.a45 , a44D.a45 , a50- 2 -分析：由已知條件判定數(shù)列單調(diào)性，注意n 的取值范圍 .解析：a

5、nn2006120072006 ，n2007n2007n1,44時， an 遞減； n45,時， an 遞減 . 結(jié)合圖象，選 C.熱點考點題型探析考點 1 數(shù)列的通項公式題型 1 已知數(shù)列的前幾項，求通項公式【例 1】求下列數(shù)列的一個通項公式： 3,5,9,17,33, ,1,0,1,0,1,0,1,0,3572,4,6,8 ,10, ,315356399 1,3,6,10,15,21, ,【解題思路】 寫出數(shù)列的通項公式，應(yīng)注意觀察數(shù)列中an 和 n 的聯(lián)系與變化情況，應(yīng)特別注意：自然數(shù)列、正奇數(shù)列、正偶數(shù)列，(1) n 和相關(guān)數(shù)列，等差、等比數(shù)列，以及由它們組成的數(shù)列，從中找出規(guī)律性，并

6、分別寫出通項公式.【 解析 】 聯(lián)想 數(shù)列 2,4,8,16,32, 即 數(shù)列 2n，可得數(shù)列的通項公式an 2n1 ；將原數(shù)列改寫為 1 , 0 ,1,0,1,0, 1,0, 分母分別為 1,2,3,4,5, 分子分12345678別為1,0,1,0,1, 呈周期性變化，可以用 sin n，或 cos (n1)，或 ( 1) n 11 表示.222sin ncos n1( 1)n 11 ）an2 （或 an2，或 annn2n分子為正偶數(shù)列，分母為13,35,5 7,7 9,911, ,得an2n1)( 2n 1)(2n觀察數(shù)列可知：a11, a212, a3123, a41234,- 3

7、-a4 1 2 3 4, a51 2 3 4 5, an1 2 3n( n 1)n2本題也可以利用關(guān)系式 anan 1n 求解 .【名師指引】 聯(lián)想和轉(zhuǎn)換是由已知認(rèn)識未知的兩種有效的思維方法.求數(shù)列的通項公式，應(yīng)運用觀察、分析、歸納、驗證的方法. 易錯之處在于每個數(shù)列由前幾項找規(guī)律不準(zhǔn)確，以及觀察、分析、歸納、驗證這四個環(huán)節(jié)做的不夠多，應(yīng)注意對每一數(shù)列認(rèn)真找出規(guī)律和驗證 .題型 2 已知數(shù)列的前 n 項和，求通項公式【例 2】已知下列數(shù)列an 的前 n 項和n ，分別求它們的通項公式n.Sa Sn 2n23n ； Sn3n1.（n1)【解題思路】 利用 anS1，這是求數(shù)列通項的一個重要公式

8、.SnSn 1 (n2)【解析】 當(dāng) n1 時， a1S1212315 ，當(dāng) n2 時， anSnSn 1(2n23n) 2(n1) 23( n 1)4n 1 .當(dāng) n1時，4 1 15 a1 ，an4n 1.當(dāng) n 1 時， a1S13 14 ，當(dāng) n2 時， anSnSn 1(3n1) (3n 11) 2 3n 1 .當(dāng) n1時，2 3112 a1 ，an4(n1).23n1 (n2)【名 師指 引】 任何一個 數(shù)列， 它的前 n 項和 Sn 與通項 an 都存在 關(guān)系：anS1 ( n1)SnSn 1 (n2)若 a1 適合 an ，則把它們統(tǒng)一起來，否則就用分段函數(shù)表示 .題型 3 已

9、知數(shù)列的遞推式，求通項公式【例 3】數(shù)列 an 中，a11, an2an 1(n 2) ，求 a2 , a3 , a4 , a5 ，并歸納出 an .2 an1【解題思路】 已知 an 的遞推公式 anf (an 1 ) 求前幾項，可逐步計算 .【解析】a1 1, an2an 1(n2) ，2 an1- 4 -a22a12 ， a32a22 ， a42a32 ， a52a42 ，2 a132 a242 a352 a46由 2,2,2, 2, 2,，可以歸納出 an2 .23 456n1【名師指引】 由遞推公式求通項，可以考慮“歸納猜想證明”的方法，也可以構(gòu)造新數(shù)列 .【新題導(dǎo)練】1. 已知有窮

10、數(shù)列： 5,7,11, ,2n 7 ，其中后一項比前一項大 2.求此數(shù)列的通項公式； 4n9 是否為此數(shù)列的項？【解析】 設(shè)數(shù)列的第k項為 ak ，則 ak 52( k 2)2k 3令 2n32k3kn2，故該數(shù)列的通項公式 ak2k3( k1,2,3, n 2)令4n92k3，解得 k2n3 ，2n3n2 ，4n9 不是有窮數(shù)列的項 .2. 數(shù)列 an中， a1 a2 a3ann2 ( n N ) ，求 a3a5 的值 .【解析】 由 a1a2a3ann2 (nN )，得當(dāng) n1 時， a11 ；當(dāng) n2 時， a1 a2 a3an 1(n 1) 2兩式相除，得 ann22(n 2) .a3

11、9 , a525 ，a3a561 .(n1)416163. 數(shù)列 an中， a11, an12an1，求 a2 , a3, a4 , a5 ，并歸納出 an .【解析】a11, an 12an1a22a11 3， a32a217 ， a42a31 15 ， a52a41 31由 1211,3 221,7231,15241,31 251,，可以歸納出 an2考點 2n1與數(shù)列的通項公式有關(guān)的綜合問題題型 1已知數(shù)列通項公式，求項數(shù)及最大（最小）項【例 4】數(shù)列 an中， ann25n 4 . 18 是數(shù)列中的第幾項？ n 為何值時， an 有最小值？并求最小值.【解題思路】 數(shù)列的通項 an 與

12、 n 之間構(gòu)成二次函數(shù)，可結(jié)合二次函數(shù)知識去- 5 -探求 .【解析】 由 n 25n418n25n14 0 ，解得 n7 ，18 是數(shù)列中的第 7 項. ann 25n 4 ( n5 )29 ， n N24n2 或 n3時， (an ) min224252.【名師指引】 利用二次函數(shù)知識解決數(shù)列問題時，必須注意其定義域 n 為正整數(shù).題型 2 已知數(shù)列通項公式，判斷數(shù)列單調(diào)性及有界性【例 5】數(shù)列an中， ann2.n21求數(shù)列 an的最小項；判斷數(shù)列 an 是否有界，并說明理由 .【解題思路】 轉(zhuǎn)化為判斷數(shù)列的單調(diào)性，即證an an 1 ，或 anan 1 ；從“數(shù)列的有界性”定義入手 .

13、【解析】 an1an( n1) 2n2( n1) 21n21(n 1)2 (n21) n 2 ( n ) 212n 10(n 1)21 (n21)( n 1) 21anan 1 ，數(shù)列 an是遞增數(shù)列，數(shù)列an 的最小項為 a11 .2ann2111 ， 數(shù)列 an 有界 .n21n2【名師指引】 數(shù)列是特殊的函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性、有界性的方法同樣適用于數(shù)列 .【新題導(dǎo)練】4. 數(shù)列 an中， an3n228n1，求 an 取最小值時 n 的值 .142193 ，【解析】 an3n228n13 nn 5時， an 取最小值 .335. 數(shù)列 an中， annn22，求數(shù)列an的最大項和最小項

14、 .- 6 -【解析】an 1n 1( n ) 22nn221 ，annn 22n 1(n 1)22又 annn 220，anan 1 ，數(shù)列 an 是遞增數(shù)列數(shù)列 an的最小項為 a113，沒有最大項 .搶分頻道基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1. 設(shè)數(shù)列2,5,22, 11,14 ,，則4 2是這個數(shù)列的（）A第 9項B第 10項C第 11項D第 12項【解析】 C 423223(111) ，選 C2. (2008年華師附中 ) 數(shù)列 an的前 n 項和為 Sn ，且 Sn2Sn1an2 , a21 ，則數(shù)列 an的首項為（）A 1或2B 1C 2D 1或2【解析】 D Sn2Sn1an2 , a21中令 n

15、1 ，得 a12(a11) a12 ， a11 或23. (2009 恩城中學(xué) ) 已知定義在正整數(shù)集上的函數(shù)f (x) 滿足條件： f (1)2 ，f (2)2 ,f (n2)f (n1)f ( n) , 則 f (2009)的值為（）A 2B 2C 4D 4【解析】 B利用數(shù)列的周期性，周期為4， f (2009)f (5054 1)f (1)2.4. 數(shù)列2n 213n1 中數(shù)值最大的項是第項.【解析】 35. (2009恩城中學(xué)文)22，2，觀察下式：1=1， 2+3+4=33+4+5+6+7=52，則可得出一般結(jié)4+5+6+7+8+9+10=7論.【解析】 n(n1)(n2)(32)

16、( 2n1) 2.n6. 數(shù)列 an中， an2an 1an ， a1 2, a25 ，則 a2009的值是（）- 7 -A 2B 2C 5D 5【解析】C利用數(shù)列的周期性，除前 4 項后，周期為 6，a2009a433861a55.綜合拔高訓(xùn)練7.(2009 恩城中學(xué)節(jié) 選 )已 知 數(shù) 列 an的 首 項 a11， 其 前 n 項 和2Snn2 ann 1 求數(shù)列 an的通項公式【解析】 由 a11 ， Snn2an ， Sn1(n1)2 an1 ，2得： anSnSn1n2an( n1)2 an1 ，即， ann1n2 ，an 1n1 ananan 1a3 a2n1n2212， an1n

17、1n43n( na1an 1an 2a2a1n(n 1)1)8. 設(shè)數(shù)列 an 的第 n 項 an 是二次函數(shù)， a15, a215, a3 35 ，求 a4 .abc5【解析】 設(shè) anan 2bnc ，由4a2bc15a5, b5, c 59a3bc35an5n25n 5， a45 4254565.9. 數(shù)列 an中， an9n 29n 2 .9n21求這個數(shù)列的第10 項； 99 是否為該數(shù)列的項，為什么？100求證： an(0,1)；在區(qū)間 1,2內(nèi)有無數(shù)列的項，若有，有幾項？若無，說明理由 .33【解析】 an9n29n 23n2 ，a1028 ；9n213n131令 an23n29

18、93n299 ，無整數(shù)解，99不是該數(shù)列的項 .3n11001003n213， nN ，031， an(0,1) an13n3n3n11- 8 -由 1an2，得13n223333n133n19n67n8 ， 當(dāng)且僅當(dāng) n2時，在區(qū)間 1, 2內(nèi)有數(shù)列的項 .9n66n26333第 2講 等差數(shù)列知識梳理1. 等差數(shù)列的概念如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)d ，這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，常數(shù) d稱為等差數(shù)列的公差 .2. 通項公式與前 n 項和公式通項公式 ana1( n1)d ， a1 為首項， d 為公差 .前 n 項和公式 Snn(a1an ) 或 Snna11 n

19、(n 1)d .223. 等差中項如果 a, A,b 成等差數(shù)列，那么 A 叫做 a 與 b 的等差中項 .即： A 是 a 與 b 的等差中項2Aa ba ， A ， b 成等差數(shù)列 .4. 等差數(shù)列的判定方法定義法： an 1and （ nN ， d 是常數(shù)）an 是等差數(shù)列；中項法： 2an 1anan 2 ( nN )an 是等差數(shù)列 .5. 等差數(shù)列的常用性質(zhì)數(shù)列an 是等差數(shù)列，則數(shù)列anp 、 pan （ p 是常數(shù)）都是等差數(shù)列； 在 等差 數(shù) 列an中， 等 距離 取 出 若干 項 也 構(gòu)成 一 個等 差數(shù) 列 ， 即an , an k ,an 2k , an 3k ,為等差

20、數(shù)列，公差為 kd . anam (nm)d ； an anb ( a , b 是常數(shù) ) ； Snan 2bn ( a , b 是常數(shù)，a 0 )若(,) ，則 amanapa；m n p q m n p q Nq若等差數(shù)列 an 的前 n 項和 Sn ，則 Sn是等差數(shù)列；n- 9 -當(dāng)項數(shù)為 2n(nN)，則偶奇S偶an 1；SSnd,anS奇當(dāng)項數(shù)為 2 1(n N) ，則S奇S偶S偶n1 .nan , S奇n重難點突破1. 重點：理解等差數(shù)列的概念 , 掌握等差數(shù)列的通項公式、前 n 項和公式并能解決實際問題；理解等差中項的概念 , 掌握等差數(shù)列的性質(zhì) .2. 難點：利用等差數(shù)列的性

21、質(zhì)解決實際問題 .3. 重難點： 正確理解等差數(shù)列的概念，靈活運用等差數(shù)列的性質(zhì)解題.求等差數(shù)列的公差、求項、求值、求和、求Sn 最值等通常運用等差數(shù)列的有關(guān)公式及其性質(zhì) .問題1 ：已知 mn , 且 m, a1 , a2 , a3 , n 和 m,b1 , b2 , b3 , b4 , n 都是等差數(shù)列，則a3a1b3b2分析：問題轉(zhuǎn)化為：在 m, n 插入若干個數(shù)， 使其成等差，利用等差數(shù)列公差的求法公式解答 .解析：設(shè)等差數(shù)列m, a1 , a2 , a3, n 和 m, b1, b2 , b3 , b4 , n 的公差分別是 d1 ,d 2則 a3a12d1 ， nm 4d1 ， a

22、3a1n m ，2同理，得 b3b2d2n m ，a3a15 .5b3b22 求“首末項和為常數(shù)”的數(shù)列的和，一般用倒序相加法 .問題 2：已知函數(shù)f ( x)4x. 則 f ( 1 )f ( 2)；4x233 f (1)f (2)f ( 2008 ).200920092009分析：可以直接代入計算，也可以整體處理；尋找規(guī)律，整體處理.解析：f (x)4xx ，經(jīng)計算，得 f ( x)f (1 x) 1，24f (1 )f (2)f ( 2008 ) 1004 11004 .200920092009-10-熱點考點題型探析考點 1 等差數(shù)列的通項與前n 項和題型 1 已知等差數(shù)列的某些項，求某

23、項【例 1】已知 an 為等差數(shù)列， a158, a60 20，則 a75【解題思路】 可以考慮基本量法，或利用等差數(shù)列的性質(zhì)【解析】 方法 1：a15a114d8644a60a159da1, d152015a75a174d64744241515方法 2：da60a152084，60154515a75a60(7560)d201542415方法 3：令 anan15ab816 ,b8b ，則ba60a20453a75 75ab1682475453方法 4：an 為等差數(shù)列，a15 , a30 , a45 , a60 , a75 也成等差數(shù)列，設(shè)其公差為d1 ，則 a15 為首項， a60 為第

24、4 項.a60a153d1208 3dd14a75a60d120424方法 5：an為等差數(shù)列，(15, a15 ), (60, a60 ), (75, a75 ) 三點共線a60a15a75a6020 8a7520246015756045a7515【名師指引】 給項求項問題，先考慮利用等差數(shù)列的性質(zhì)，再考慮基本量法.題型 2 已知前 n 項和 Sn 及其某項，求項數(shù) .【例 2】 已知 Sn 為等差數(shù)列 an 的前 n 項和， a4 9, a96, Sn 63 ，求 n ；若一個等差數(shù)列的前 4 項和為 36，后 4 項和為 124，且所有項的和為 780，求這個數(shù)列的項數(shù) n .【解題思路

25、】 利用等差數(shù)列的通項公式 ana1 (n 1) d 求出 a1 及 d ，代入 Sn可求項數(shù) n ；利用等差數(shù)列的前 4 項和及后 4 項和求出 a1an ，代入 Sn 可求項數(shù) n .-11-a13d9【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項為 a1 ，公差為 d ，則8da1 18,d3a16Sn18n3 n(n1)63n16, n272a1a2 a3a436, anan 1an 2an3 124a1ana2an 1a3an 2a4an 34(a1 an )160a1an40Snn(a1an )78020n780n392【名師指引】 解決等差數(shù)列的問題時，通?？紤]兩種方法：基本量法；利用等差數(shù)列的性質(zhì)

26、.題型 3 求等差數(shù)列的前n 項和【例 3】已知 Sn 為等差數(shù)列an 的前 n 項和， Sn12nn2 .求 a1a2a3；求 a1a2a3a10 ；求 a1a2a3an .【解題思路】 利用 Sn 求出 an ，把絕對值符號去掉轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題.【解析】 4.Sn 12nn2 ，當(dāng) n 1 時， a1S112 1 11，當(dāng) n2時， anSnSn1(12nn2 )12(n1)(n1) 2132n ，當(dāng) n1時，13 2 111 a1 ，an13 2n .由 an132n 0 ，得 n13 ， 當(dāng) 1 n6 時， an0 ；當(dāng) n7 時， an0 .2 a1a2a3a1a2a3S31

27、233227 ； a1a2a3a10a1a2a3a6 (a7a8a9a10 )2S6S102(12662 )(1210 102 )52 ；當(dāng) 1n6 時， a1a2a3ana1a2a3an12nn2 ，-12-當(dāng) n7 時， a1a2a3ana1a2a3a6(a7a8an )2S6Sn2(12 662 )(12nn2 )n212n72.【名師指引】 含絕對值符號的數(shù)列求和問題，要注意分類討論.【新題導(dǎo)練】1. 已知 an 為等差數(shù)列，amp, anq（ m, n, k 互不相等），求 ak .【解析】 amanakanpqakqakp( kn)q(mk)mnknmnknmn2. 已知 Sn 為

28、等差數(shù)列 an的前 n 項和， a11, a47, Sn100，則 n.【解析】 設(shè)等差數(shù)列的公差為 d ，則 da4a1 7124131 n(nSn n1)2100n10.23. 已知 5 個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為 5 ，平方和為 165，求這 5 個數(shù) .【解析】 設(shè)這 5 個數(shù)分別為 a2d , ad , a, ad , a 2d. 則(a 2d ) (a d ) a (a d ) ( a2d ) 5a 1(a2d )2(ad ) 2a 2(a d) 2(a2d )21655a 210d 2165解得 a 1, d4當(dāng) a1, d4時，這5個數(shù)分別為：7,3,1,5,9；當(dāng) a1, d

29、4時，這 5 個數(shù)分別為： 9,5,1,3, 7.4. 已知 Sn 為等差數(shù)列 an的前 n 項和， S10100, S10010 ，求 S110 .1110a145d100a150【解析】方法 ：設(shè)等差數(shù)列的公差為 d ，則1100a14950d101099d100S110110a11109d110；1102方法 2：S100 S1090(a11a100 )90a11a10022S110110(a1a110 )110( a11a100 )110 .22考點 2證明數(shù)列是等差數(shù)列【例 4】已知 Sn 為等差數(shù)列 an 的前 n 項和， bnSn( nN ) .n求證：數(shù)列 bn是等差數(shù)列 .-13-【解題思路】 利用等差數(shù)列的判定方法定義法；中項法 .【解析】 方法 1：設(shè)等差數(shù)列 an的公差為 d ， Snna1 1 n(n1)d ，2bnSna11 ( n 1) dn2bn 1bna11 nd a11 ( n 1)dd （常數(shù)）222數(shù)列 bn是等差數(shù)列 .方法 2：bnSna11 (n1) d ，n2bn 1a11 nd ， bn 2a11 (n1)d22bn 2bna11 (n 1