曲線與方程及圓錐曲線的綜合應(yīng)用

1、1曲線與方程一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x，y)0的實數(shù)解建立了如下關(guān)系：(1)_；(2)_，那么這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫方程的曲線曲線上點的坐標(biāo)都是這個方程的解曲線上點的坐標(biāo)都是這個方程的解以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點2常見的軌跡(1)在平面內(nèi)，到兩定點的距離相等的點的軌跡是_；(2)平面內(nèi)到角兩邊距離相等的點的軌跡是_；(3)平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡是以定_；(4)平面內(nèi)到定直線的距離等于某一定值的點的軌跡是_連連結(jié)兩定點的線段的垂直平分線結(jié)兩定點的線段的垂直平分線這個角的這個角的平分

2、線平分線點為圓心，定長為半徑的圓點為圓心，定長為半徑的圓與這條直線平行的兩條直線與這條直線平行的兩條直線1方程4x2y24x2y0表示的曲線是 ()A一個點B兩條互相平行的直線C兩條互相垂直的直線D兩條相交但不垂直的直線解析：由4x24x1y22y10，得(2x1)2(y1)20，所以(2xy)(2xy2)0.所以2xy0或2xy20.曲線為兩條相交但不垂直的直線答案：D答案：A3已知A(0,7)、B(0，7)、C(12,2)，以C為一個焦點作過A、B的橢圓，橢圓的另一個焦點F的軌跡方程是 ()解析：由橢圓的定義：|AC|AF|2a|BC|BF|.因為|AC|13，|BC|15，所以13|AF

3、|15|BF|，所以|AF|BF|2，所以F點的軌跡是以A、B為兩焦點的雙曲線的下支答案：A4設(shè)圓(x1)2y21的圓心為C，過原點作圓的弦OA，求OA中點B的軌跡方程1用直接法求曲線方程是解析幾何中最重要的方法解題的一般步驟是：建系，設(shè)點；列式；代入；化簡，證明2定義法：如果動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可依定義寫出軌跡方程3代入法：如果動點P(x，y)依賴于另一個動點Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲線上，則可先列出關(guān)于x、y、x1、y1的方程組，利用x、y表示x1、y1 ，把x1、y1代入已知曲線方程即得所求4參數(shù)法：如果動點P(x，y)的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到，可考

4、慮將x、y用一個或幾個參數(shù)來表示，消去參數(shù)即得其軌跡方程5交軌法：寫出動點所滿足的兩個軌跡方程后，組成方程組，消參即可得解，此法常適用于求兩動直線交點的軌跡方程6求曲線的方程與求軌跡是有不同要求的，若是求軌跡則不僅要求出方程，而且還需說明和討論所求軌跡是什么樣的圖形，在何處，即圖形的形狀、位置、大小都需要說明、討論清楚求“軌跡”時首先要求出“軌跡方程”，然后說明方程的軌跡圖形，最后“補(bǔ)漏”和“去掉增多”的點若軌跡有不同的情況，應(yīng)分別討論，以保證它的完整性7描繪曲線的圖形要注意曲線范圍的研究及曲線的對稱性，或利用基本的曲線圖形8解析幾何與向量的交匯要緊緊抓住點的坐標(biāo)，利用平面向量的坐標(biāo)表示法，將

5、問題中的向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，再根據(jù)解析幾何中已有的知識與方法求解考點一曲線與方程的概念【案例1】若曲線l上的點的坐標(biāo)滿足f(x，y)0，則下列說法正確的是 ()A曲線l的方程是f(x，y)0B方程f(x，y)0的曲線是lC坐標(biāo)不滿足方程f(x，y)0的點都不在曲線上D坐標(biāo)滿足方程f(x，y)0的點都在曲線上關(guān)鍵提示：考查曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系(即時鞏固詳解為教師用書獨有即時鞏固詳解為教師用書獨有)解析：(方法1)上述說法寫成命題的形式為“若點M(x，y)是曲線l上的點，則M點的坐標(biāo)適合方程f(x，y)0”其逆否命題為“若點M的坐標(biāo)不適合方程f(x，y)0，則M點不在曲線上”，所以選C.(方法

6、2)本題亦可考慮采用特值法作直線l：y1.考查l與f(x，y)y210的關(guān)系知A、B、D三種說法均不正確選C.答案：C點評：(1)判斷曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系有兩種方法：等價轉(zhuǎn)換和特值討論它們使用的依據(jù)是曲線的純粹性和完備性(2)處理“曲線與方程”的概念題，可采用直接法(如上述題解)，也可采用特殊值法【即時鞏固1】已知定點P(x0，y0)不在直線l：f(x，y)0上，則方程f(x，y)f(x0，y0)0表示一條 ()A過點P且垂直于l的直線B過點P且平行于l的直線C不過點P但垂直于l的直線D不過點P但平行于l的直線解析：顯然f(x0，y0)f(x0，y0)0，故排除C、D，又兩直線平行，故B正確答

7、案：B考點二直接法求曲線方程【案例2】(2009海南、寧夏)已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點，焦點在x軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.(1)求橢圓C的方程；關(guān)鍵提示關(guān)鍵提示：求出橢圓的方程后，對：求出橢圓的方程后，對進(jìn)行分類討論進(jìn)行分類討論考點三定義法求曲線方程（軌跡）【案例3】已知動圓M恒過定點B(2,0)，且與定圓C：(x2)2y24相切，求動圓圓心M的軌跡方程關(guān)鍵提示：找準(zhǔn)幾何關(guān)系，用曲線定義解答解：定圓圓心C(2,0)，半徑為r2.設(shè)動圓圓心為M(x，y)，半徑為R，當(dāng)兩圓外切時，|MC|Rr|MB|r，即|MC|MB|2，當(dāng)兩圓內(nèi)切時，|MC|Rr|MB|r，即|MB|MC|2，【即時鞏固3】如圖，已知圓A：(x2)2y21與點A(2,0)，B(2,0)，分別求出滿足下列條件的動點P的軌跡方程(1)PAB的周長為10；(2)圓圓P與圓與圓A外切外切(P為動圓圓心為動圓圓心)且過點且過點B.考點四代入法求曲線方程關(guān)鍵提示：求出點P的軌跡是圓，因此點P關(guān)于直線y2(x4)的對稱點Q的軌跡仍是圓，所以只求對稱圓的圓心即可；或求出點P的軌跡，設(shè)Q點的坐標(biāo)為(u，v)，利用對稱性，建立x、y與u、v的關(guān)系，將x、y代入點P的軌跡可求點Q的軌