空間解析幾何與向量代數(shù)PPT課件

1、第七章空間解析幾何與向量代數(shù) 通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系把空間幾何圖形和代數(shù)方程聯(lián)系起來(lái)把空間幾何圖形和代數(shù)方程聯(lián)系起來(lái). .空間解析幾何：空間解析幾何：向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. . 本章知識(shí)也為討論多元函數(shù)微積分立下幾何本章知識(shí)也為討論多元函數(shù)微積分立下幾何基礎(chǔ)?；A(chǔ)。第一節(jié)空間直角坐標(biāo)系、 向量及其線性運(yùn)算 第七七章 一、空間直角坐標(biāo)系及點(diǎn)的坐標(biāo)一、空間直角坐標(biāo)系及點(diǎn)的坐標(biāo)過(guò)空間一定點(diǎn)過(guò)空間一定點(diǎn)O，作三條相互垂直的數(shù)軸按，作三條相互垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.xoy面面yoz面面zox面面xyo

2、z空間的點(diǎn)空間的點(diǎn)M有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11),(zyxxyzo)0 , 0 ,(x)0 , 0(y), 0 , 0(z)0 ,(yx), 0(zy), 0 ,(zx過(guò)空間中任一點(diǎn)過(guò)空間中任一點(diǎn)M作三個(gè)平面分別垂直于作三個(gè)平面分別垂直于x軸、軸、y軸和軸和z軸，它們與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)依次為軸，它們與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)依次為P、Q、R，這三點(diǎn)在各自坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)依次為，這三點(diǎn)在各自坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)依次為x, y, z.RPQ M.),(的空間直角坐標(biāo)的空間直角坐標(biāo)稱(chēng)為點(diǎn)稱(chēng)為點(diǎn)Mzyxxyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定

3、定理理知知,222212NMPNPMd 空間兩點(diǎn)間的距離空間兩點(diǎn)間的距離,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM .)()()(21221221221zzyyxxMMd 空間中兩點(diǎn)間的距離公式空間中兩點(diǎn)間的距離公式特別的，特別的，的的距距離離與與坐坐標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn))0 , 0 , 0(),(ozyxMOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M例例 1 1 求證以求證以)1 , 3 , 4(1M、)2 , 1 , 7(2M、)3 , 2 , 5(3M三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形.證證: 221MM,14)12()31()47(222

4、232MM, 6)23()12()75(222 213MM, 6)31()23()54(222 32MM,13MM 結(jié)論成立結(jié)論成立.向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：1M2M 模為模為1 1的向量的向量. .零向量：零向量：模為模為0 0的向量的向量. .0向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .單位向量：?jiǎn)挝幌蛄浚憾?、向量的概念二、向量的概念|a21MM| | |或或零向量的方向可以零向量的方向可以任意規(guī)定任意規(guī)定. .如位移、力、速度等如位移、力、速度等. .幾何上以一條有方向的線段表示，幾何上以一條有方向的線段表示，其長(zhǎng)度表示向量的大小

5、其長(zhǎng)度表示向量的大小. .a21MM或或ae大小相等且方向相同的向量視為大小相等且方向相同的向量視為相等相等。規(guī)定：規(guī)定：ab向量的平行：向量的平行：兩向量方向相同或相反兩向量方向相同或相反. .ba （起點(diǎn)可以不一樣）（起點(diǎn)可以不一樣）三、向量的線性運(yùn)算三、向量的線性運(yùn)算1. 1. 加法加法或或按照按照三角形法則三角形法則: :根據(jù)力學(xué)中力與速度的合成，向量求和根據(jù)力學(xué)中力與速度的合成，向量求和可按照平行四邊形法則規(guī)定可按照平行四邊形法則規(guī)定:abba abba 向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）交換律：）交換律：.abba （2 2）結(jié)合律：）結(jié)合律：cba

6、cba )().(cba 性質(zhì)：性質(zhì)：. 22112121bababbaa ，則則，如如果果11ba 1a2a1b2b22ba abcba cb)(cbacba )(, 0 a 與與a同向，同向，|aa , 0 0 a , 0 a 與與a反向，反向，aa2a21 2.2.向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法注意：注意：（向量的伸縮）（向量的伸縮）向量與數(shù)的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：向量與數(shù)的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）結(jié)合律：）結(jié)合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(向量的減法：向量的減法：)( ba abb cba 負(fù)向量：負(fù)向量：a a )1(.的負(fù)向量

7、的負(fù)向量稱(chēng)為稱(chēng)為aba 例例2. 設(shè)設(shè) M 為為MBACD解解: :ABCD 對(duì)角線的交點(diǎn)對(duì)角線的交點(diǎn),ba,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2.,MDMCMBMAba表示與試用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD.0:ababa ，使使得得唯唯一一的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)充充分分必必要要條條件件是是：存存在在的的平平行行于于，那那末末向向量量設(shè)設(shè)向向量量定定理理如果兩個(gè)向量平行，則它們之間必存在數(shù)乘關(guān)系如果兩個(gè)向量平行，則它們之間必存在數(shù)乘關(guān)系. .證明：證明：必要性必要性,/ab設(shè)設(shè),ab 取取同同向向時(shí)時(shí)與與當(dāng)當(dāng)ab取取負(fù)負(fù)值值，反反向向時(shí)時(shí)與與 a

8、b.ab .同同向向與與則則ab a 且且.)(baab 向量經(jīng)過(guò)數(shù)乘運(yùn)算后與原向量平行。向量經(jīng)過(guò)數(shù)乘運(yùn)算后與原向量平行。反之，反之，a 取取正正值值， 充分性顯然充分性顯然. .的唯一性的唯一性 ，設(shè)設(shè)ab ，又設(shè)又設(shè)ab 兩式相減，得兩式相減，得，0)( a ，即即0 a ，0 a，故故0 . 即即同同方方向向的的單單位位向向量量，表表示示與與非非零零向向量量設(shè)設(shè)aeaaeaa |.|1 aaaaea 所以一個(gè)非零向量除以它的模就得到與所以一個(gè)非零向量除以它的模就得到與原向量同方向的單位向量原向量同方向的單位向量. .由上述定理可知，由上述定理可知，向量的夾角向量的夾角OAB類(lèi)似可定義向量

9、與軸類(lèi)似可定義向量與軸, , 軸與軸的夾角軸與軸的夾角. . ).,( ba記作記作. )0(, 的夾角的夾角與與為向量為向量，稱(chēng)，稱(chēng)，作，作，任取空間一點(diǎn)，任取空間一點(diǎn)、設(shè)有兩非零向量設(shè)有兩非零向量baAOBbOBaOAOba 空間一點(diǎn)在軸上的投影空間一點(diǎn)在軸上的投影u AA 向量在軸上的投影向量在軸上的投影空間一向量在軸上的投影空間一向量在軸上的投影A uABB , )(值值投投影影上上的的在在軸軸為為，稱(chēng)稱(chēng)使使得得，存存在在數(shù)數(shù)同同方方向向的的單單位位向向量量，則則為為與與軸軸設(shè)設(shè)uABeBAue e.)(的的模模再再帶帶上上正正或或負(fù)負(fù)號(hào)號(hào)向向量量就就是是其其投投影影值值上上的的投投影

10、影在在軸軸簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的的說(shuō)說(shuō)，BAuAB . 投投影影向向量量在在軸軸上上的的稱(chēng)稱(chēng)為為，則則、分分別別為為上上的的投投影影在在軸軸、設(shè)設(shè)ABBABAuBA .PrABju記作記作（符號(hào)由投影向量與軸符號(hào)由投影向量與軸u 是同向還是反向而定是同向還是反向而定）關(guān)于向量投影的性質(zhì)關(guān)于向量投影的性質(zhì)(1)(1)：ABjuPr cos| AB 證證:uABA B B ABjuPrABju Pr cos| AB u .PrPr)(Pr2121ajajaajuuu AA BB CC u1a2a關(guān)于向量投影的性質(zhì)關(guān)于向量投影的性質(zhì)(2)(2)：四、向量四、向量的坐標(biāo)的坐標(biāo)正如在物理學(xué)中力和速度的分解一樣，向量

11、正如在物理學(xué)中力和速度的分解一樣，向量也可以分解，由此引進(jìn)向量的坐標(biāo)概念。也可以分解，由此引進(jìn)向量的坐標(biāo)概念。 設(shè)設(shè)a是是以以),(1111zyxM為為起起點(diǎn)點(diǎn)、),(2222zyxM為為終終點(diǎn)點(diǎn)的的向向量量，xyzo 1MPNQR 2Mxyzo 1MPNQR 2Ma21MM 21NMNM RMQMPM111 kajaiazyx kzzjyyixx)()()(121212 .,21121212的的坐坐標(biāo)標(biāo)稱(chēng)稱(chēng)為為向向量量MMzzyyxx ., 12121221zzyyxxMM 記記作作軸軸正正向向的的單單位位向向量量分分別別表表示示沿沿zyxkji,向量沿坐標(biāo)軸方向的分解向量沿坐標(biāo)軸方向的分解

12、向量的坐標(biāo)就是向量在三條坐標(biāo)軸上的投影值。向量的坐標(biāo)就是向量在三條坐標(biāo)軸上的投影值。. ,量量在在三三條條坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸上上的的分分向向稱(chēng)稱(chēng)為為akajaiazyxijk容易證明容易證明, ,向量與其坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)向量與其坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng). . 特別的，如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)特別的，如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)O，則，則 ,zyx 與其終點(diǎn)與其終點(diǎn)M 的坐標(biāo)一致的坐標(biāo)一致. .xyzo),(zyxMoOM所以要求一個(gè)向量的坐標(biāo)，所以要求一個(gè)向量的坐標(biāo)，可將其起點(diǎn)移至坐標(biāo)原點(diǎn)，可將其起點(diǎn)移至坐標(biāo)原點(diǎn)，直接求終點(diǎn)的坐標(biāo)即可直接求終點(diǎn)的坐標(biāo)即可. . 利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算, zyxaaaa

13、 設(shè)設(shè), ,zyxbbbb ; kajaiaazyx 即即;kbjbibbzyx 根據(jù)向量加法的交換律、結(jié)合律，數(shù)乘的根據(jù)向量加法的交換律、結(jié)合律，數(shù)乘的結(jié)合律、分配律，結(jié)合律、分配律，ba 則則a , zzyyxxbabababa 即即.,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 所以對(duì)向量進(jìn)行加減和數(shù)乘運(yùn)算，只需對(duì)所以對(duì)向量進(jìn)行加減和數(shù)乘運(yùn)算，只需對(duì)向量的各個(gè)坐標(biāo)進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算向量的各個(gè)坐標(biāo)進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算. .，相相當(dāng)當(dāng)于于時(shí)時(shí)，向向量量前前述述當(dāng)當(dāng)向向量量ababa / 0 zzyyxxababab , zyxzyxaaabbb 即即

14、.zzyyxxababab （當(dāng)分母為零時(shí)分子也為零）（當(dāng)分母為零時(shí)分子也為零）兩個(gè)向量平行的充要條件是其對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)成比例兩個(gè)向量平行的充要條件是其對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)成比例.解：解： AM,222zzyyxxMB ，的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)),(zyxMABMxyzo, 222111zzyyxxzzyyxx . 1),(),( . 3222111MBAMMzyxBzyxA ，使使得得，在在直直線線上上求求點(diǎn)點(diǎn)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)以以及及和和已已知知兩兩點(diǎn)點(diǎn)例例MBAM ,111zzyyxx 111212121zzzyyyxxxM為中點(diǎn)時(shí)，為中點(diǎn)時(shí)，,221xxx ,221yyy .221zzz )( )()(21

15、2121zzzzyyyyxxxx , zyxaaaa 設(shè)設(shè)222| zyxaaaa 則則向量模的坐標(biāo)表示式向量模的坐標(biāo)表示式z向量的方向向量的方向非零向量與三條坐標(biāo)軸正向的夾角稱(chēng)為非零向量與三條坐標(biāo)軸正向的夾角稱(chēng)為向量的向量的方向角方向角，xyo 1M 2M 向量的方向角的余弦稱(chēng)為向量的向量的方向角的余弦稱(chēng)為向量的方向余弦方向余弦. . . 、記作記作zxyo 1M 2M |cosaax |cosaay cos|,|,|aaaaaazyx ,|1zyxaaaa cos,cos,cos 因此以向量的方向余弦為坐標(biāo)的向量就是因此以向量的方向余弦為坐標(biāo)的向量就是與原向量同方向的單位向量。與原向量同方

16、向的單位向量。|aaz .ae 平平行行的的單單位位向向量量。的的模模、方方向向角角及及與與求求向向量量和和已已知知兩兩點(diǎn)點(diǎn)例例212121 , )0,3,1()2,2,2( . 4MMMMMM解解: :20 23 ,21 ,2,1,1 222)2(1)1( 2 ,21cos ,21cos 22cos ,32 ,3 .43 21MM 21MM平平行行的的單單位位向向量量與與21MM22,1,1 解：解：設(shè)設(shè)2P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為),(zyx,21 x21 , 2 x20 y22 , 2 y221 PP2)3()02()12(222 z, 2 4 zz或或).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(|cosaax |cosaay 要點(diǎn)要點(diǎn):第一節(jié) 空間直角坐標(biāo)系、 向量及其線性運(yùn)算空間直角坐標(biāo)系及點(diǎn)的坐標(biāo)空間直角坐標(biāo)系及點(diǎn)的坐標(biāo):空間兩點(diǎn)間的距離空間兩點(diǎn)間的距離:),(zyxxyzoxzy M21MM212212212)()()(zzyyxx 兩個(gè)向量平行的充要條件是它們之間存在數(shù)乘關(guān)系兩個(gè)向量平行的充要條件是它們之間存在數(shù)乘關(guān)系.非零向量除以它的模就得到與原向量同方向的單位向量非零向量除以它的模就得到與原向量同方向的單位向量. .向量及