2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第7講　高效演練分層突破 (4)

1、基礎(chǔ)題組練1在相距 2 km 的 a，b 兩點(diǎn)處測量目標(biāo)點(diǎn) c，若cab75，cba60，則 a，c 兩點(diǎn)之間的距離為()a 6 kmb 2 kmc 3 kmd2 km解析：選 a如圖，在abc 中，由已知可得acb45，所以acsin 602sin 45，所以 ac2 232 6(km)2 如圖， 測量河對岸的塔高 ab 時(shí)可以選與塔底 b 在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn) c 與 d，測得bcd15，bdc30，cd30，并在點(diǎn) c 測得塔頂 a 的仰角為 60，則塔高ab 等于()a5 6b15 3c5 2d15 6解析：選 d在bcd 中，cbd1801530135.由正弦定理得bcsin 3

2、030sin 135，所以 bc15 2.在 rtabc 中，abbctanacb15 2 315 6.3一艘海輪從 a 處出發(fā)，以每小時(shí) 40 海里的速度沿南偏東 40的方向直線航行，30分鐘后到達(dá) b 處，在 c 處有一座燈塔，海輪在 a 處觀察燈塔，其方向是南偏東 70，在 b處觀察燈塔，其方向是北偏東 65，那么 b，c 兩點(diǎn)間的距離是()a102海里b103海里c203海里d202海里解析：選 a如圖所示，易知，在abc 中，ab20，cab30，acb45，根據(jù)正弦定理得bcsin 30absin 45，解得 bc10 2(海里)4如圖，從氣球 a 上測得正前方的河流的兩岸 b，c

3、 的俯角分別為 75，30，此時(shí)氣球的高是 60 m，則河流的寬度 bc 等于()a240( 31)mb180( 21) mc120( 31) md30( 31) m解析：選 c因?yàn)?tan 15tan(6045)tan 60tan 451tan 60tan 452 3，所以 bc60tan 6060tan 15120( 31)(m)5.如圖， 某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為 120的扇形 aob， c 是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于 ao 的小路 cd已知某人從 o 沿 od 走到 d 用了 2 分鐘，從 d 沿著 dc 走到 c 用了 3 分鐘若此人步行的速度為每分鐘 50 米，

4、則該扇形的半徑的長度為()a505米b507米c5011米d5019米解析：選 b設(shè)該扇形的半徑為 r 米，連接 co.由題意，得 cd150(米)，od100(米)，cdo60，在cdo 中，cd2od22cdodcos 60oc2，即 15021002215010012r2，解得 r507.6海上有 a，b 兩個(gè)小島相距 10 n mile，從 a 島望 c 島和 b 島成 60的視角，從 b島望 c 島和 a 島成 75的視角，那么 b 島和 c 島間的距離是_ n mile.解析：如圖，在abc 中，ab10，a60，b75，c45，由正弦定理，得absin cbcsin a，所以 b

5、cabsin asin c10sin 60sin 455 6(n mile)答案：5 67一船自西向東勻速航行，上午 10 時(shí)到達(dá)燈塔 p 的南偏西 75，距燈塔 68 海里的 m處，下午 2 時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的 n 處，則此船航行的速度為_海里/小時(shí)解析：如圖，由題意知mpn7545120，pnm45.在pmn 中，mnsin 120pmsin 45，所以 mn68322234 6(海里)又由 m 到 n 所用的時(shí)間為 14104(小時(shí))，所以此船的航行速度 v34 6417 62(海里/小時(shí))答案：17 628如圖，在abc 中，已知 m 為邊 bc 上一點(diǎn)，bc4bm，amc3，

6、am2，amc 的面積為 3 3，則 cm_；cosbac_解析：因?yàn)樵赼mc 中，amc3，am2，amc 的面積為 3 3，則有 3 312amcmsinamc122cm32，解得 cm6.因?yàn)閎c4bm，所以 bm2，bc8，因?yàn)閍mbamc23，所以由余弦定理可得ab am2bm22ambmcosbma222222212 2 3，ac am2cm22amcmcosamc2262226122 7，所以 cosbacab2ac2bc22abac12286422 32 7217.答案：62179在平面四邊形 abcd 中，adc90，a45，ab2，bd5.(1)求 cosadb；(2)若

7、dc2 2，求 bc解：(1)在abd 中，由正弦定理得bdsinaabsinadb.由題設(shè)知，5sin 452sinadb，所以 sinadb25.由題設(shè)知，adb90，所以 cosadb1225235.(2)由題設(shè)及(1)知，cosbdcsinadb25.在bcd 中，由余弦定理得bc2bd2dc22bddccosbdc258252 22525.所以 bc5.10在abc 中，a，b，c 分別是角 a，b，c 的對邊，(2ac)cos bbcos c0.(1)求角 b 的大小；(2)設(shè)函數(shù) f(x)2sin xcos xcos b32cos 2x，求函數(shù) f(x)的最大值及當(dāng) f(x)取得

8、最大值時(shí)x 的值解：(1)因?yàn)?2ac)cos bbcos c0，所以 2acos bccos bbcos c0，由正弦定理得 2sin acos bsin ccosbcos csin b0，即 2sin acos bsin(cb)0，又 cba，所以 sin(cb)sin a所以 sin a(2cos b1)0.在abc 中，sin a0，所以 cos b12，又 b(0，)，所以 b3.(2)因?yàn)?b3，所以 f(x)12sin 2x32cos 2xsin2x3 ，令 2x32k2(kz)，得 xk512(kz)，即當(dāng) xk512(kz)時(shí)，f(x)取得最大值 1.綜合題組練1(2020安

9、徽宣城二模)在abc 中，角 a，b，c 成等差數(shù)列且對邊分別為 a，b，c，若babc20，b7，則abc 的內(nèi)切圓的半徑為()a 3b7 33c2d3解析：選 a因?yàn)榻?a，b，c 成等差數(shù)列，所以 2bac，又 abc，所以 b3.因?yàn)閎abcaccos b20，所以 ac40.所以 sabc12acsin b10 3.由余弦定理得 cos b（ac）22acb22ac（ac）280498012，所以 ac13，設(shè)abc 的內(nèi)切圓的半徑為 r，則 sabc12(abc)r10r，所以 10 310r，解得 r 3，故選 a2如圖所示，一座建筑物 ab 的高為(3010 3)m，在該建筑物

10、的正東方向有一座通信塔 cd在它們之間的地面上的點(diǎn) m(b，m，d 三點(diǎn)共線)處測得樓頂 a，塔頂 c 的仰角分別是 15和 60，在樓頂 a 處測得塔頂 c 的仰角為 30，則通信塔 cd 的高為()a30 mb60 mc30 3 md40 3 m解析：選 b在 rtabm 中，amabsinamb3010 3sin 153010 36 2420 6(m)過點(diǎn)a 作 ancd 于點(diǎn) n，如圖所示易知manamb15，所以mac301545.又amc1801560105，所以acm30.在amc 中，由正弦定理得mcsin 4520 6sin 30，解得 mc40 3(m)在 rtcmd 中，

11、cd40 3sin 6060(m)，故通信塔 cd 的高為 60 m.3 (創(chuàng)新型)(2020河北衡水三模)在等腰abc 中， bac120， ad 為邊 bc 上的高，點(diǎn) e 滿足ad3ae，若 abm，則 be 的長為_解析：因?yàn)閍bc 是等腰三角形，bac120，adbc，所以abc30，bad60，又因?yàn)?abm，所以 ad12m，由ad3 ae，得 ae16m，在abe 中，abm，ae16m，bae60，所以由余弦定理，得 be2ab2ae22abae cosbaem2136m22m16mcos603136m2，所以 be316m.答案：316m4已知abc 中，ac 2，bc 6

12、，abc 的面積為32，若線段 ba 的延長線上存在點(diǎn) d，使bdc4，則 cd_解析： 因?yàn)?ac 2， bc 6， abc 的面積為3212acbcsinacb12 2 6sinacb，所以 sinacb12，所以acb6或56，若acb56，bdc4456，與三角形內(nèi)角和定理矛盾，所以acb6，所以在abc 中，由余弦定理可得ab ac2bc22acbccosacb262 2 632 2，所以 abac，所以b6，所以在bcd 中，由正弦定理可得 cdbcsinbsinbdc61222 3.答案： 35(應(yīng)用型)如圖所示，經(jīng)過村莊 a 有兩條夾角 60的公路 ab，ac，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域建一工廠 p，分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉庫 m，n(異于村莊 a)，要求pmpnmn2(單位：千米)如何設(shè)計(jì)，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn))?解：設(shè)amn，在amn 中，mnsin 60amsin（120）.因?yàn)?mn2，所以 am4 33sin(120)在apm 中，cosampcos(60)ap2am2mp22ammpcosamp163sin2(120)4