高等數(shù)學期末復習- 多元函數(shù)微分學

1、高等數(shù)學期末復習第九章 多元函數(shù)微分學一、內(nèi)容要求1、會求簡單二元函數(shù)定義域2、會求多二元函數(shù)表達式和值3、會求簡單二元函數(shù)的極限4、掌握二元函數(shù)偏導數(shù)定義，性質(zhì)，能確識別二元函數(shù)偏導數(shù)定義形式，得出偏導數(shù)正確表達5、會求二元函數(shù)偏導數(shù)值：求偏導函數(shù)，代入點求值6、會求二元函數(shù)微分值：求偏導函數(shù)，代入點求微分表達式7、會按一元函數(shù)求導法則求直接函數(shù)的偏導數(shù)8、會由輪換對稱性確定多元函數(shù)對稱元導數(shù)9、會用鏈式規(guī)則求抽象形式多元函數(shù)的偏導數(shù)10、會求多元函數(shù)全微分11、會求多元隱函數(shù)的偏導數(shù)12、會求二元函數(shù)駐點，判定二元函數(shù)極值的存在性13、能觀察出簡單多元函數(shù)極值情況14、能應用多元函數(shù)求極值

2、方法解決簡單應用問題15、會求空間曲面的切平面、法線方程16、會求空間曲線的切線、法平面方程17、會求多元函數(shù)的方向?qū)?shù)18、會求多元函數(shù)的梯度二、例題習題1、二元函數(shù)的定義域是( ) A. B. C. D. 解：使函數(shù)有意義，只要，即，所以，選B. （內(nèi)容要求1）2、函數(shù)的定義域為 ；解：使函數(shù)有意義，只要，所以填（內(nèi)容要求1）3、設(shè)則( ).(A) (B) (C) (D) 解：令，則，于是即由函數(shù)與自變量記號選取無關(guān)性有。所以選D。（內(nèi)容要求2）4、設(shè)，則 ；解：，所以填。（內(nèi)容要求2）5、 ( )；A. B. C. D. 解：所以選A。（內(nèi)容要求3）6、 ；解：所以填0。（內(nèi)容要求3）7

3、、 ；解：，所以填2。（內(nèi)容要求3）8、函數(shù)在點處存在偏導數(shù)，則 ( )；A B C D解：由偏導數(shù)定義，所以選C。（內(nèi)容要求4）9、 函數(shù)在點處存在偏導數(shù)，則 ( )；A B C D解：由偏導數(shù)定義，所以選B。（內(nèi)容要求4）10、 函數(shù)在點處存在偏導數(shù)，則 ( )；A B C D解：由偏導數(shù)定義，所以選A。（內(nèi)容要求4）11、函數(shù)在點處偏導數(shù)存在是在點處連續(xù)的( )；A充分必要條件 B必要條件 C充分條件 D既不充分也不必要條件解：選D。（內(nèi)容要求4）12、設(shè)函數(shù)，則( ).(A) 1 (B) (C) (D) 解：，所以，所以選C。（內(nèi)容要求5）13、設(shè)，則( ).(A) (B) (C) (

4、D) 解：，所以，所以選C。（內(nèi)容要求5）14、，則 解：，所以，故，所以填。（內(nèi)容要求6）15、設(shè)，則 解：，所以，故，所以填。（內(nèi)容要求6）16、設(shè)，則( )；A. B. C. D. 解：，所以選D。（內(nèi)容要求7）17、 設(shè)，則( ).(A) (B) (C) (D) 解：，所以選A。（內(nèi)容要求7）18、設(shè)，則( ). (A) (B) (C) (D) 解：，所以選D。（內(nèi)容要求7）19、設(shè)，則( )；A. B. C. D. 解：，所以選D. （內(nèi)容要求7）20、設(shè)， 解：，所以填。（內(nèi)容要求7）21、 若函數(shù)，則 解：，所以填。（內(nèi)容要求7）22、設(shè)，驗證。解：，將上述導數(shù)代入式子左端得0，

5、所以等式成立。（內(nèi)容要求7）23、設(shè)，求. 解：由在表達式中的對稱性，。（內(nèi)容要求8）24、設(shè)，求解：由在表達式中的對稱性，所以，。（內(nèi)容要求8）25、設(shè)，求 解：，由在表達式中的對稱性，所以，（內(nèi)容要求8）26、 設(shè)，求.解：，由在表達式中的對稱性，。（內(nèi)容要求8）27、設(shè)，驗證-=0.解：由在表達式中的對稱性，將上述各導數(shù)代入式子左端得0，所以等式成立。（內(nèi)容要求8）28、設(shè)，求全導數(shù).解：。（內(nèi)容要求9）29、，求及全微分.解： ，全微分為。（內(nèi)容要求9）30、設(shè),其中可微，則 解：，所以，所以填.（內(nèi)容要求9）31、設(shè)，其中有一階連續(xù)偏導數(shù)，求. 解：量（內(nèi)容要求9）32、 設(shè)，其中有

6、一階連續(xù)偏導數(shù)，求. 解：。（內(nèi)容要求9）33、 有連續(xù)偏導數(shù)，求解：，所以，（內(nèi)容要求9）34、設(shè)則的全微分( ). (A) (B) (C) (D) 解： 所以，所以選A。（內(nèi)容要求10）35、函數(shù)的全微分為 解：，所以。所以填。（內(nèi)容要求10）36、設(shè)，則( ).(A) (B) (C) (D) 解：，所以選B。（內(nèi)容要求11）37、設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，則( ).(A) (B) (C) (D) 解：，所以選B。（內(nèi)容要求11）38、設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，則有( ).(A) (B) (C) (D) 解：，同理，所以選A。（內(nèi)容要求11）39、設(shè)方程確定了二元函數(shù)，則 解：，所以填。（

7、內(nèi)容要求11）40、 設(shè)方程確定了二元函數(shù)，則 解：所以填。（內(nèi)容要求11）41、設(shè)方程確定了二元函數(shù)，則 ;解：，所以填。（內(nèi)容要求11）42、設(shè)方程確定了二元函數(shù)，則 ;解：，所以填。（內(nèi)容要求11）43、設(shè)方程確定了二元函數(shù)，則 ;解：，所以填。（內(nèi)容要求11）44、設(shè)函數(shù)，則 ( )(A) 不是的駐點 (B) 是的駐點，但非極值點 (C) 是的極小值點 (D) 是的極大值點解：因為滿足，所以是駐點，又有，是的極大值點。故選D。（內(nèi)容要求12）45、設(shè)，則它在點(1,0)處( ) A.取得極大值 B.無極值 C.取得極小值 D.無法判斷是否有極值解：，所以無駐點，不存在偏導數(shù)不存的點，故

8、選B。（內(nèi)容要求12）46、設(shè)，則它在點(2，-2)處( ) A.取得極大值 B.無極值 C.取得極小值 D.無法判斷是否有極值解：，故選A。（內(nèi)容要求12）47、 函數(shù)在駐點處 ( )(A) 取到極小值 (B) 取到極大值 (C) 取不到極值 (D) 無法判斷是否有極值解：故選A。（內(nèi)容要求12）48、 二元函數(shù)在處( );A. 無法判斷是否有極值 B. 取不到極值 C. 取到極大值 D. 取到極小值解：，故選C。（內(nèi)容要求12）49、 二元函數(shù)的極小值點為( );A. B. C. D. 解：，故選C。（內(nèi)容要求12）50、 二元函數(shù)的極大值點為( );A. B. C. D. 解：，故選D。

9、（內(nèi)容要求12）51、 函數(shù)的極大值為 ；解：顯然在（0，0）處取極大值3，所以填3。（內(nèi)容要求13）52、 函數(shù)的極小值為 解：顯然在（0，0）處取極小值5，所以填5。（內(nèi)容要求13）53、某養(yǎng)殖場飼養(yǎng)兩種魚，若甲種魚放養(yǎng)（萬尾），乙種魚放養(yǎng)（萬尾），收獲時兩種魚的收獲量分別為：和，（），求使產(chǎn)魚總量最大的放養(yǎng)數(shù).解：產(chǎn)魚總量，所以解得，由實際問題，產(chǎn)魚總量最大的放養(yǎng)數(shù)是甲種魚放養(yǎng)（萬尾），乙種魚放養(yǎng)（萬尾）（內(nèi)容要求14）54、曲面在點的切平面方程為( ).(A) (B) (C) (D) 解：，所以，在點的法向量為，所以在點的切平面方程為，整理得。所以選A。（內(nèi)容要求15）55、曲面在點的

10、法線方程為( ).(A) (B) (C) (D) 解：由前題已求得在的法向量為，所以選C。（內(nèi)容要求15）56、 曲面在點處的切平面方程為( ).(A) (B) (C) (D) 解：令，則，由此得處法向量為，所以得切平面方程為，所以選C。（內(nèi)容要求15）57、曲面在點處的法線方程為( ).(A) (B) (C) (D) 解：令，則，由此得處法向量為，所以法線方程為，所以選A。（內(nèi)容要求15）58、曲面在點處的切平面方程為 ， 法線方程為 解：令，由此得處法向量為，切平面方程為法線方程為。（內(nèi)容要求15）59、曲線，在對應于點處的切線方程是( ).(A) (B) (C) (D) 解：，在點處的切向量為，所以切線方程為C。所以選C。（內(nèi)容要求16）60、曲線在點處的切線方程為， 法平面方程為 ;解：，所以切向量為，切線方程為，法平面方程為（內(nèi)容要求16）61、在曲線上求出其切線平行于平面的切點坐標.解：設(shè)切點處參數(shù)為t，由，得切點處切向量為。又平面的法向量為，于是，故切點坐標為或。（內(nèi)容要求16）62、函數(shù)在點P(1,0)處從點P(1,0)到Q(2,-1)的方向的方向?qū)?shù)為( )A. B. C. D.解：點P(1,0)處從點P(1,0