《高等數(shù)學(xué)》教案

1、高等數(shù)學(xué)授課教案第一講高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)介紹、函數(shù)頁腳教學(xué)目的了解新數(shù)學(xué)認識觀，掌握基本初等函數(shù)的圖像及性質(zhì)；熟練復(fù)合函 數(shù)的分解。重 難 點|:數(shù)學(xué)新認識，基本初等函數(shù)，復(fù)合函數(shù)教學(xué)程序上數(shù)學(xué)的新認識一函數(shù)概念、性質(zhì)（分段函數(shù)）一基本初等函數(shù)一 復(fù)合函數(shù)一初等函數(shù)一例子（定義域、函數(shù)的分解與復(fù)合、分段函數(shù)的圖像） 授課提要：前言：本講首先是高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)介紹，其次是對中學(xué)學(xué)過的函數(shù)進行 復(fù)習(xí)總結(jié)（函數(shù)本質(zhì)上是指變量間相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型,是事物普遍聯(lián)系的定量 反映。高等數(shù)學(xué)主要以函數(shù)作為研究對象,因此必須對函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì) 有深刻的理解）。一、新教程序言1、為什么要重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（1）文化基礎(chǔ)一

2、一數(shù)學(xué)是一種文化，它的準確性、嚴格性、應(yīng)用廣泛性，是 現(xiàn)代社會文明的重要思維特征，是促進社會物質(zhì)文明和精神文明的重要力量；（2）開發(fā)大腦一一數(shù)學(xué)是思維訓(xùn)練的體操，對于訓(xùn)練和開發(fā)我們的大腦（左 腦）有全面的作用；（3）知識技術(shù)一一數(shù)學(xué)知識是學(xué)習(xí)自然科學(xué)和社會科學(xué)的基礎(chǔ)，是我們生活 和工作的一種能力和技術(shù)；（4）智慧開發(fā)一一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的是培養(yǎng)人的思維能力，這種能力為人的一 生提供持續(xù)發(fā)展的動力。2、對數(shù)學(xué)的新認識（1）新數(shù)學(xué)觀一一數(shù)學(xué)是一門特殊的科學(xué)，它為自然科學(xué)和社會科學(xué)提供思 想和方法，是推動人類進步的重要力量；（2）新數(shù)學(xué)教育觀一一數(shù)學(xué)教育（學(xué)習(xí)）的目的：數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方 法，培養(yǎng)人的

3、科學(xué)文化素質(zhì)，包括發(fā)展人的思維能力和創(chuàng)新能力。（3）新數(shù)學(xué)素質(zhì)教育觀一一數(shù)學(xué)教育（學(xué)習(xí)）的意義：通過“數(shù)學(xué)素質(zhì)”而 培養(yǎng)人的“一般素質(zhì)”。見教材“序言”二、函數(shù)概念1、函數(shù)定義:變量間的一種對應(yīng)關(guān)系(單值對應(yīng))。(用變化的觀點定義函數(shù))，記：y = /(x)(說明表達式的含義)(1)定義域：自變量的取值集合(D)。(2)值域：函數(shù)值的集合，即y|y = f(x),x£。例1、求函數(shù)y = ln(l-/)的定義域？2、函數(shù)的圖像:設(shè)函數(shù)y = /(x)的定義域為D,則點集(x,y)|)，= /(x),x£。 就構(gòu)成函數(shù)的圖像。例如：熟悉基本初等函數(shù)的圖像。3、分段函數(shù):對自變

4、量的不同取值圍，函數(shù)用不同的表達式。例如：符號函數(shù)、狄立克萊函數(shù)、取整函數(shù)等。分段函數(shù)的定義域:不同自變量取值圍的并集。例2、作函數(shù)/")=卜''"<°的圖像？2x, x > 0例3、求函數(shù)/(a=卜、的定義域及函數(shù)修(-1)J(O)J？b x<0三、基本初等函數(shù)甌:五種基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像、性質(zhì)。四、復(fù)合函數(shù)：設(shè)y=f(u),u=g(x),且與x對應(yīng)的u使y=f(u)有意義,則y=fg(x) 是x的復(fù)合函數(shù)，u稱為中間變量。說明卜(1)并非任意幾個函數(shù)都能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。如：y = nu,u =一/就不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。

5、(2)復(fù)合函數(shù)的定義域：各個復(fù)合體定義域的交集。(3)復(fù)合函數(shù)的分解從外到進行；復(fù)合時，則直接代入消去中間變量即可。例 5、設(shè)/(x) = xg(x)= 2利(g(x),g(/(x)?例6、指出下列函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)(或簡單函數(shù))構(gòu)成？(1) y = In (sin x2)(2) y = e'x (3) y = >/l + arctan2 x五、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次復(fù)合、四則運算而成的函數(shù)，且用一 個表達式所表示。遮：(1) 一般分段函數(shù)都不是初等函數(shù)，但)，=忖是初等函數(shù)；(2)初等函數(shù)的一般形成方式：復(fù)合運算、四則運算。思考題1、確定一個函數(shù)需要有哪幾個基本要

6、素？定義域、對應(yīng)法則2、思考函數(shù)的幾種特性的幾何意義？奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性3、任意兩個函數(shù)是否都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)？你是否可以用例子說明？不能一位旅客住在旅館里，圖15描述了他的一次行動，請你根據(jù)圖形給縱坐標賦予某一 個物理量后，再敘述他的這次行動.你能給圖15標上 具體的數(shù)值，精確描述這位旅客的這次行動并用一個 函數(shù)解析式表達出來嗎？五函數(shù)本質(zhì)上是指變量間相依關(guān)系的數(shù) 學(xué)模型,是事物普遍聯(lián)系的定量反映；復(fù)合函 數(shù)反映了事物聯(lián)系的復(fù)雜性；分段函數(shù)反映事 物聯(lián)系的多樣性。作業(yè)|： P4 (A： 2-3) ； P7 (A： 2-3) 課堂練習(xí)(初等函數(shù))【A組】1、求下列函數(shù)的定義域

7、？(l)y = 7?TT Q)，= /0) y = bg2(x-l) (4) y = -L- + ln(4-x2)2、判定下列函數(shù)的奇偶性？(1) y = f(x) + f(-x)(2),=屋+1),=”川5為自然數(shù))3、作下列函數(shù)的圖像？ X2 _ 1(1) y = :-(2) 丁 =，尸(3) y = |sinA-|x-1114、分解下列復(fù)合函數(shù)？(1) y = yx2 +1 (2) y = esm ' (3) y =1(4)y = In2 (cos x)Vl-sin3x【B組】1、證明函數(shù)y = ln(x + Jx2+i)為奇函數(shù)。2、將函數(shù))，=卜-1| + |21-1|改寫為

8、分段函數(shù)，并作出函數(shù)的圖像？3、設(shè)/（丹，）=+一,利（x）? x 廠4、設(shè)/*） =一，求/"（x）, /«?1-X數(shù)學(xué)認識實驗初等函數(shù)圖像認識1、事函數(shù)：（如 y = x,y = X'）2、指數(shù)與對數(shù)函數(shù)：（如y = In x ）ax 35、分段函數(shù)：（y = N，y = sgnX）3、三角函數(shù)與反三角函數(shù)：（y = cosx,y = arccosx4多項式函數(shù)：（y =一N -3x + 3 ） 3第二講 導(dǎo)數(shù)的概念（一）、極限與導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的：復(fù)習(xí)極限的概念及求法：理解導(dǎo)數(shù)的概念，掌握用定義求導(dǎo)數(shù)方法。重 難 點|:求極限，導(dǎo)數(shù)定義及由定義求導(dǎo)法教學(xué)程序卜極限的

9、定義及求法（例）一導(dǎo)數(shù)的引入（速度問題）一導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)與極限一基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（定義法）一例子（簡單） 授課提要.前言在前面的教學(xué)中，我們已討論了變量間的關(guān)系（函數(shù)），本節(jié)將復(fù)習(xí)函數(shù) 的變化趨勢（極限），在此基礎(chǔ)上討論函數(shù)的變化率問題（即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）。導(dǎo)數(shù) 是高數(shù)的重點,它的本質(zhì)是極限（比值的極限）,在現(xiàn)實中有極豐富的應(yīng)用。一、理論基礎(chǔ)極限（復(fù)習(xí)）1、極限的概念（略講函數(shù)在某點的極限定義）2、極限的四則運算法則（略）3、求函數(shù)的極限（幾類函數(shù)的極限）若/（X）為多項式，則出例1:求下列極限（1） Iim（AJ +2x-l）（2） lim（x2 +2x-l）（3） lim（x2 +2x-l）

10、x-0x-2（2）若卷為有理分式且g（x0）wO,則=（代入法）八,3"g（x） g（x0）例2：求下列極限.x +1.廠2x + 2.廠1（ lim lim門、lim 7 2X-1 J。，d+3-x + 1/（一（3）若分式g（x）,當(dāng)x f/時,/。0）= ?（演）=。，則用約去零因子法求極限例3：求下列極限.x" - 1. J x + 83. x" + 2x 3 Inn o' hm lim3 I X-1 I X-1 I X-1fM(4)若分式同，當(dāng)XT 8時，分子分母都是無窮大，則適用無窮小分出法 求極限。例4：求下列極限, r一1+ 2x 1x 1

11、 lim；(o lun； (q lun-W J8 21 3X 5x2-1 18 2廠一 13、兩個重要極限(1)lim ' = ilim(1 + )x = esS.lim(1 + x)x = eV 1 7 KO X、乙'ATR xi)說明：其中X可以是"(X)的形式，且當(dāng)x -0時，”(x) - O。例5；求下列極限r(nóng) sin 3xr sin 3x1 小 3、1窸丁 (2)7 吧(l + 3x)x 蚓(1 + ?二、導(dǎo)數(shù)定義（復(fù)習(xí)增量的概念）引例1、速度問題（自由落體運動5 = 32產(chǎn)）引例2、切線問題（曲線y = /）以上兩個事例具體含義各不相同，但從抽象的數(shù)量關(guān)系

12、來看，都是要求函數(shù) y關(guān)于自變量x在某一點工。處的變化率，即計算函數(shù)增量與自變量增量比值的極 限，這種特殊的極限就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解決問題的思路：1、自變量x作微小變化及，求出函數(shù)在自變量這個小段的平均變化率y =,作為點與處變化率的近似值；Av2、對了求為-0的極限lim包，若它存在，這個極限即為點與處變化率的 上 to zk精確值。定義:設(shè)函數(shù)y = /5）在與點及附近有定義，當(dāng)不在4點取得增量加時，相 應(yīng)函數(shù)取得增量），= /（%+-）-/*。），若當(dāng)時，比值包的極限存在， Ax則稱此極限值為/（X）在X。處的導(dǎo)數(shù)或微商。記八X。）或# =/，即 r /（X。+-）-/（%）'/

13、（凡）=lim= Inn aiu zkvax AxW： （1）比值包是函數(shù)/（x）在L%,x°+A、1上的平均變化率；而廣（X。）是M/（X）在/處的變化率，它反映函數(shù)在點X。隨自變量變化的快慢程度；（2）若!吧0三不存在（包括8），則稱“X）在X。點不可導(dǎo)；若/（X）在（a, b）每點可導(dǎo)，則稱函數(shù)在（a,b）可導(dǎo)，記尸（幻，稱 為導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)。（4）/（x）是x的函數(shù)，而/（Xo）是一個數(shù)值，/（x）在點X。處的導(dǎo)數(shù)/（Xo）就是導(dǎo)函 數(shù)/（X）在點Xo處的函數(shù)值o三、導(dǎo)數(shù)與極限的關(guān)系導(dǎo)數(shù)是一種特殊（比值）的極限，即有導(dǎo)數(shù)-玲有極限，反之不成立。四、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（定義）

14、由定義知求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的步驟：（三步源） （1）求增量；（2）求比值；（3）求極限。例6、由定義求函數(shù)y = C的導(dǎo)數(shù)？例7、由定義求函數(shù)y = sinx的導(dǎo)數(shù)?（推導(dǎo)） 思考題1、 lim K是否存在，為什么？3收%2、若曲線y= Y在（X。,），。）處切線斜率等于3 ,求點（看,%）的坐標。, /兀 1SU1（+ x）-l3、已知（sinx），=cosx,利用導(dǎo)數(shù)定義求極限lim。0探究題：從求變速直線運動物體的瞬間速度問題解決方法中，你對“極限法” 有什么體會？近似轉(zhuǎn)化為精確的數(shù)學(xué)方法小 結(jié)I:導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)從微觀(局部)上研究非均勻量(如：速度、密度、電流、電壓等)的變化率問題，是處理非均勻量

15、的“除法”；其思想方法：(1)在小 圍以“勻”代“不勻”或“不變”代“變”，獲得近似值；(2)利用極限思想使“近似值”轉(zhuǎn)化為“精確值”。從函數(shù)的觀點看，導(dǎo)數(shù)是描述函數(shù)的局部線性形 態(tài)，即可導(dǎo)函數(shù)表示的曲線在局部都可以近似為一條直線(切線)，憑著切線的 斜率，可以研究函數(shù)的整體性質(zhì)(導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的單調(diào)性、極值等)。作 業(yè)|： P22 (A： 1-3； B： 3-4)課堂練習(xí)(導(dǎo)數(shù)的概念一)【A組】1、求下列極限小 r (X + 1)2X-1)2 Gr I /o r 工"(1) lun(2) hm (3) lun z (2x + 3)3廠一1 '-*x 2a- -x + 3.arc

16、s in x/八八 carc cost(4) hm(5) hm(l + 2x)x (6) hm.io 2xd2x322、求極限lim 0 + 1)3、求極限：+ 產(chǎn)"？ eahis(2x + 3)-x x4、已知 lim (-+ - x) = 1,求 a 的值？2 X + 15、用導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)/(x) = -1在x=l處的導(dǎo)數(shù)？6、設(shè)物體的運動方程為$ ="+3,求物體在t=2秒和t=3秒間的平均速度？ (2)求物體在t=2秒時的瞬時速度？【B組】1、設(shè)/*) =，求極限吧:fx) = ex2、設(shè)函數(shù)/(x) = lim(l +)y(xwO)，求"M2)? 2

17、一 8f3、證明導(dǎo)數(shù)公式：(/)' = 6N4、一藥品進入人體t小時的效力E = I(%+ 3/一/)0</<4.5,求t=2,3,4時27的效力E的變化率?5、設(shè)/W = < 3%3，X-則/(外在x = 1 處Ax2,x > 1A、左右導(dǎo)數(shù)都存在B、左導(dǎo)數(shù)存在，右導(dǎo)數(shù)不存在C、右導(dǎo)數(shù)存在，左導(dǎo)數(shù)不存在D、都不存在6.若Hm二/)=4 (4為常數(shù))，試判斷下列命題是否正確。全部f x-a(1)/(乃在點x = "處可導(dǎo)；(2) /(X)在點x = a處連續(xù)；(3) /(%) 一 f(a) = A(x-a) + o(x - a)；數(shù)學(xué)認識實驗：兩個重要

18、極限的圖像認識1、極限：lim ?由 ' =.7 x2、極限：lim(l + )l =e .lx x3、等價無窮小的直觀認識：(X»0,x - sinx tanx )第三講導(dǎo)數(shù)的概念(二)教學(xué)目的：熟悉導(dǎo)數(shù)基本公式；理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求切線方程。重 難 點：基本導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義(求切線方程)教學(xué)程序:復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)定義一基本導(dǎo)數(shù)公式一例子(求導(dǎo)數(shù))一導(dǎo)數(shù)的幾何意 義一例子(切線方程)一導(dǎo)數(shù)的物理意義(例子)授課提要：一、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1、求)，=/的導(dǎo)數(shù)？(由導(dǎo)數(shù)的定義推導(dǎo))于是我們有公式:(Cy = O,(xaY = ax"-1;(sinx)'

19、 = cosx同樣，由定義可得基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：(cosx)'= -sinx; (In x = ; (ex = exx二、導(dǎo)數(shù)的運算法則(U,v為可導(dǎo)函數(shù))1、代數(shù)和：(士口)，= '土/2、數(shù)乘：(0)' = %/例2、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) y = 2x2 +3x-l(2) y = x2 +(3) y = 3sinx-l (4) y = x2yxx例3、求函數(shù)在給定點的導(dǎo)數(shù)值？(1) y = tan x, x = tt (2) y = 2e' + 3x + 2, x = 1三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義(作圖說明)給添廣(%)表示曲線y二f(x)在點(x0,f(x

20、。)的切線斜率。例4、求曲線)，=6-上在點(1,0)處的切線方程？尸例5、設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且例/一 八1二)=1,求曲線y=f(x)在點 I 2x(l,f(D)處的切線斜率？導(dǎo)數(shù)定義及幾何意義四、導(dǎo)數(shù)的物理意義結(jié)論:設(shè)物體運動方程為S = s«),則丁表示物體在時刻t的瞬間速度, 例6、設(shè)物體的運動方程為s = /+2r + 3,求物體在時刻t=l時的速度？ 例7、求曲線、=1/-一工一3上一點，使過該點的切線平行于直線2x-y + 2 = 0o x = 35Kx = -1 例8、設(shè)某產(chǎn)品的成本滿足函數(shù)關(guān)系：C(x) = /+x 3(x為產(chǎn)量)，求x=2時 的邊際成本，并說明

21、其經(jīng)濟意義。思考題|： /'(%)與/(%)'有無區(qū)別？ "()=(磯。，"(%)' =。1探究題I：導(dǎo)數(shù)(X。)的值可不可以為負值？舉例說明?？梢孕〗Y(jié):導(dǎo)數(shù)的美學(xué)意義：局部線性之美(y =(x()(x-Xo)+ /(4)。它將 可導(dǎo)曲線在局部線性化，它是由函數(shù)局部性質(zhì)研究函數(shù)整體性質(zhì)的工具和方法。作業(yè)：P25 （A： 1） ； P28 （A： 1, 3）課堂練習(xí)(導(dǎo)數(shù)概念二)【A組】1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) y = X' (2)y =(3)V = 2sin X (4) y =(5)y = x2、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1 .23(1) y = +

22、 x2 - 3x' (2) y =-(3) y = x + lnx (4) y = ex - 2x3、求函數(shù)y = "+2x在x=l處的導(dǎo)數(shù)值？4、設(shè) f(x) = x2 + 2sin x + 3,卻，(0),/()?25、設(shè)物體的運動方程為s = 2/+3/-1,求時刻t=3時的速度？6、拋物線y = /在何處切線與以軸正向夾角為：，并且求該處切線的方程.【B組】1、一球體受力在斜面上向上滾動，在t秒末離開初始位置的距離為s =%-尸，問其初速度為多少？何時開始向下滾動？X2 + 12、已知曲線)，=r-與y = l + lnx相交于點(1, 1),證明兩曲線在該點處 相切

23、，并求出切線方程?I數(shù)學(xué)認識實驗|:導(dǎo)數(shù)的幾何意義和美學(xué)價值(1)在x=0處比較：曲線y = sinx與切線y=x；(2)在x=l處比較：曲線)，=/+1與切線)，= 2x。第四講 求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則(一)教學(xué)目的|：掌握基本導(dǎo)數(shù)公式與導(dǎo)數(shù)運算法則，會求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。重難點上基本導(dǎo)數(shù)公式與法則教學(xué)程序|：基本公式一運算法則一例子一二階導(dǎo)數(shù)的定義及求法授課提要：一、基本導(dǎo)數(shù)公式由導(dǎo)數(shù)的定義，我們可以得到如下基本導(dǎo)數(shù)公式：(cy = o； (x)z = 1; (xay = axa-x (?) = " (nxy = - X(sin x = cosx; (cosxY = - sin x;

24、(tan x = sec2 x; (cot x = -esc2 x二、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則設(shè)U、V為可導(dǎo)函數(shù)，則1、(h ± v) =u ±vr2、(ku) = kuk 豐 0)tHf f4 ( ll ，一/, N=u v + MV4、；一=、(v 豐 0)V) V-例1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2-x2(1) y = 3x2 -x + 1 (2) y = - (3) y = In x - ex (4) y = ex cosx x例2、求函數(shù)在給定點的導(dǎo)數(shù)值？(1) y = tan x, x =兀 (2) y = 2/+3x + 2, x = 1例 3、設(shè) y = / In x,求證

25、：區(qū)'- 2y = x2例4、已知曲線y = xln«的切線與直線2x + 2y + 3 = 0垂直，求此切線方程?三、二階導(dǎo)數(shù)r定義：若導(dǎo)函數(shù)尸(幻再求導(dǎo)數(shù)，稱為/“)的二階導(dǎo)數(shù)。記：/"(X)2、求法：由定義知，求二階導(dǎo)數(shù)的方法與求一階導(dǎo)數(shù)的方法一致。例5、求下列二階導(dǎo)數(shù)1(1) y = 3a 2 - x + 1 (2) y =: (3) y = In x + ex (4) y = xex x3、二階導(dǎo)數(shù)的物理意義設(shè)物體的運動規(guī)律為：S = 5(0 ,則S"表示物體在時刻t的加速度。例6、設(shè)物體的運動方程為：s = 3/-2f + 2,求t=2時的速度

26、和加速度？思考題卜1.思考下列命題是否成立？若/(X)，g(x)在點X。處都不可導(dǎo)，則/(x) + g(x)點X。處也一定不可導(dǎo).x<0,x > 0,答：命題不成立./ °， 如：/(%)=<X,f(x), g(x)在x =0處均不可導(dǎo)，但其和函數(shù)/(x) + g(x)= x在x = 0處可導(dǎo).(2)若f(x)在點八處可導(dǎo),g(x)在點X。處不可導(dǎo)，則/(x) + g(x)在點處一定 不可導(dǎo).答：命題成立.原因：若/'(x) + g(x)在見處可導(dǎo)，由/(X)在X。處點可導(dǎo)知 g(x) ="(“) + g(x) 一。(X)在點處也可導(dǎo),矛盾.探究題

27、卜某產(chǎn)品的需求方程和總成本函數(shù)分別為尸+ 0.1x = 80, C(x) = 5OOO+2Ox,其 中x為銷售量，戶為價格。求邊際利潤，并計算x = 150和x = 400時的邊際利 潤，解釋所得結(jié)果的經(jīng)濟意義。導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟意義小結(jié)卜導(dǎo)數(shù)的物理意義更深層次反映了導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)：研究非勻速物體運動的 變化率。S”)指路程對時間的變化率，/指速度對時間的變化率。二階導(dǎo)數(shù)的 幾何意義：反映曲線的凹向。作業(yè)P30 (A： 1-2)小知識卜數(shù)學(xué)的三次危機第一次數(shù)學(xué)危機：無理數(shù)的產(chǎn)生。(單位正方形的對角線長) 第二次數(shù)學(xué)危機：微積分的產(chǎn)生和完善。(極限和無窮小的定義) 第三次數(shù)學(xué)危機：集合論的產(chǎn)生。(羅素悖論)

28、課堂練習(xí)(導(dǎo)數(shù)公式與法則一)【A組】1、求下列導(dǎo)數(shù)2(1) y = 3x2 - In x + 3(2) y = (3) y = xhi x (4) y = (sin x)2x22、曲線)，= /在何處有水平切線？ x=-2/33、已知曲線)，= xln«的切線與直線2x+2y + 3 = 0垂直，求此切線方程？ e 4、求下列二階導(dǎo)數(shù)(1) y = 3x2 -Inx (2) y = (3) y = xhi xx【B組】1、設(shè)曲線)，=X”在點(1,1)處的切線與X軸的交點為(XnO),求極限”吧/(%)?2、若/(O) = O,lim&2 = 3,求/''(0

29、)? 13、設(shè)/(%) = 2,求3n “包十加一 回一2)? _2Xh4、已知/(x) = x7(x),奴x)二階連續(xù)可導(dǎo)，求/"(0) ? 2*(0)5、設(shè)某種汽車剎車后運動規(guī)律為5 = 192-0.4，假設(shè)汽車作直線運動，求 汽車在t= 4秒時的速度和加速度。數(shù)學(xué)認識實驗：函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的圖像比較（y = x3,y，= 31,y = 6x）第五講求導(dǎo)法則（二）、連續(xù)與導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的：了解函數(shù)的連續(xù)性的概念，理解連續(xù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。重難點：基本導(dǎo)數(shù)公式，連續(xù)的幾何直觀、連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系 教學(xué)程序復(fù)習(xí)基本導(dǎo)數(shù)公式、法則一 連續(xù)概念（極限定義）一 連續(xù)的條件初等函數(shù)的連續(xù)性一可導(dǎo)與連續(xù)（例

30、）一連續(xù)函數(shù)的極限（例子） 授課提要.一、復(fù)習(xí)基本導(dǎo)數(shù)公式和法則舉例：（略）二、連續(xù)的概念（作圖直觀理解）1、定 義:設(shè)函數(shù)y = /'（x）在x。點及附近有定義，當(dāng)時，有 /（x）-/（/）,則稱f（x）在X。點連續(xù)。陋：連續(xù)是一種特殊的極限。連續(xù)玲有極限，反之不成立。例1、試證），=兇在x=O處連續(xù)？三、函數(shù)連續(xù)的條件（1）f（x）在X。點及附近有定義（2 ） f（x）在X。點的極限存在（3 ）極限值等于函數(shù)值。例2、討論函數(shù)尸卜r 20在x=0處的連續(xù)性？l,x < 0四、初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)在定義區(qū)間都是連續(xù)的。其圖像是一條連綿不斷的曲線。五、可導(dǎo)與連續(xù)1、可導(dǎo)與連續(xù)

31、的圖象特征(1)連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連綿不斷的曲線。(作圖示例)(2)可導(dǎo)函數(shù)的圖像不僅連綿不斷，并且曲線具有平滑性(無尖點、折點)2、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理：若函數(shù)f(X)在X。點可導(dǎo)，則f(x)在點X。連續(xù)；反之，結(jié)論不成立。例3、試證函數(shù))，=卜inx|在x=0點連續(xù)但不可導(dǎo)。例4、試證函數(shù))，=療在x=0點連續(xù)但不可導(dǎo),但切線存在。3、極限、連續(xù)、可導(dǎo)之間的關(guān)系可導(dǎo)今連續(xù)。有極限；反之不一定成立。如/(x)=' 在x=0處。六、連續(xù)函數(shù)的極限若 f (x)在 Xo點連續(xù),則 lim f(x) = f(xQ)if例5、求下列極限.ln(l + x)(1) liin x2 (2) l

32、im cosx(3) 11111 -2' I。 A1 -cosx例6、討論/(x) =，一在x=0處的連續(xù)性？x2 +hx>0思考題1 .如果/*)在X。處連續(xù)，問I/(x) I在X。處是否連續(xù)？連續(xù)2 .如果/*)在/處可導(dǎo)，問在凡處是否可導(dǎo)？不一定3 .求函數(shù)/(刈=的間斷點，并判斷其類型。(X - l)x施題作圖說明函數(shù)不可導(dǎo)點的類型。不連續(xù)點、尖點、折點正窗：連續(xù)函數(shù)的美學(xué)意義：和諧與奇異之美。連續(xù)體現(xiàn)的是自然和諧、社 會發(fā)展的生生不息；間斷則表現(xiàn)為不規(guī)則和與眾不同，體現(xiàn)了自然界的豐富多彩 和社會發(fā)展中的跳躍性。作 業(yè)P34 (A： 1-2)；復(fù)習(xí)題(2-5)課堂練習(xí)(求

33、導(dǎo)公式與法則二)【A組】1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 1X- 14 1) y = 2x2 +3x-(2) y = x +- + nx (3) y = xlnx (4) y = -xx + 2、求函數(shù)y =，/Inx在x=l處的導(dǎo)數(shù)值？3、求曲線y = °二；2'十1在點(-1, 0)處的切線方程？攵=2尸+ 234、試定義f(0)的值，使函數(shù)/*) =三9二1在x=0處連續(xù)？ "(0) = L x25、設(shè)=問a為何值時，函數(shù)在x=0處連續(xù)？ 2a-ex ,x<0【B組】1、作函數(shù)y =卜'"I的圖像？1,X<12、設(shè)函數(shù)f(x)在x=2處連續(xù)

34、，且lim”? = 2,求/'？ 2 12%23、設(shè)f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，/= 2J(2) = 1,求lim "刈葭/ 1212 X 2r2 r < 14、設(shè)/（x）= . '. 一 ，問電b為何值時，函數(shù)f（x）處處連續(xù)、可導(dǎo)？ ax + b,x>.5、x=l是函數(shù)），=立二的（B ） X-1（A）連續(xù)點（B）可去間斷點（C）跳躍間斷點（D）無窮間斷點*6、若f（x）在0, a上連續(xù)，且f（0）=f（a）,試證：方程/（幻=/（、+3）在 2（0, a）至少有一個實根。提示：作新函數(shù)，在0二上使用零點存在定理2數(shù)學(xué)認識實驗：不可導(dǎo)點的類型2、不連續(xù)點為不可

35、導(dǎo)點:第六講定積分的概念教學(xué)目的：了解定積分的概念，理解定積分的幾何意義。重難點：作為面積的定積分概念教學(xué)程序：提出問題一解決問題（思想）一定積分定義一定積分的幾何意義 （例子）一定積分的性質(zhì)（簡單）授課提要：前言：在自然科學(xué)、工程技術(shù)和經(jīng)濟學(xué)的許多問題中，經(jīng)常會遇到各種平面 圖形的面積計算。對于三角形、四邊形及直多邊形和圓的面積，可以用初等數(shù)學(xué) 的方法計算，但由任一連續(xù)圍成的圖形的面積就不會計算。下面討論由連續(xù)曲線 所圍成的平面圖形的面積的計算方法。一、問題引入1、曲邊梯形的定義所謂曲邊梯形是指有三條直線段,其中兩條相互平行，笫三條與這兩條相互 垂直，第四條邊為一條連續(xù)曲線所圍成的四邊形。（

36、如圖所示）2、引例：如何求曲線），=/,工=0/ = 1,），= 0所圍成的面積？（特殊曲邊梯形） （1）分析問題若將曲邊梯形與矩形比較，差異在于矩形的四邊都是直的，而曲邊梯形有一 條邊是曲的。設(shè)想I:用矩形近似代替曲邊梯形。為了減少誤差，把曲邊梯形分成許多小曲 邊梯形，并用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積。當(dāng)分割越細，所得的近 似值越接近準確值，通過求小矩形面積之和的極限，就求得了曲邊梯形得面積。(2)解決問題(思路)第一步：分割第二步：近似代替第三步：求和第四步：取極限二、定積分的定義現(xiàn)實中許多實例，盡管實際意義不同，但解決問題的方法是一樣的：按“父 割取近似,求和取極限”的方法，將所

37、求的量歸結(jié)為一個和式極限。我們稱這種 “和式極限”為函數(shù)的定積分。定義：f= lini £ /' ©)(說明定積分中各符號的稱謂)由定積分的定義知，以上實例可以表示成定積分：面積A = 公說明卜定積分是一個特殊的和式極限，因此，它是一個常量.它只與被積函 數(shù)f(x)、積分區(qū)間nb有關(guān)，而與積分變量用何字母表示無關(guān)。三、定積分的幾何意義(作圖)當(dāng)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)時，定積分可分成三種形式：1、若在a,b上，/(x) >0,則定積分表示由曲線f(x),直線x=a,x=b,y=0所圍成的曲邊梯形的面積A,即小=A2、若在a,b上，/(a) <0,則定積

38、分表示由曲線f(x),直線x=a,x=b,y=0所圍 成的曲邊梯形的面積A的相反數(shù)，即f/(x)公=-A3、若在a,b上，f(x)可正可負，則總積分表示x軸上方圖形的面積Ai與下方圖形的面積A?之差，即公=4-4結(jié)論 定積分的幾何意義：“有號面積”，即4 =，/")降。例1、用定積分幾何意義判定下列積分的正負：(1 ) £ exdx (2) J * sin xdxy例2、用定積分表示由曲線y=x?+l,直線x=l,x=3和y=0所圍成的圖形面積？四、定積分的性質(zhì)(簡略)M油&Qfib(1) f(x)dx = 0(2) f(x)dx = - | f(x)dx (3)

39、dx = b-aJaJa 'JbJa(4)積分中值定理：設(shè)函數(shù)/U)在以Q, b為上下限的積分區(qū)間上連續(xù)，則在Q, b之間至少存在 一個。(中值)，使 bfMdx =fib-a)y=M 積分中值定理有以下的幾何解釋：若/x)在。，切上連 續(xù)且非負，定理表明在。，上至少存在一點多使得以 m，3為底邊、曲線廠am為曲邊的曲邊梯形的而積，與同 底、高為火鄉(xiāng)的矩形的面積相等，如圖所示.因此從幾何角 度看，大與可以看作曲邊梯形的曲頂?shù)钠骄叨?；從函?shù)值 角度上看，大鄉(xiāng)理所當(dāng)然地應(yīng)該是#x)在。，句上的平均值.萬因此積分中值定理這里解決了如何求一個連續(xù)變化量的平均值問題.1、用定積分的定義計算定積

40、分cdh其中C為一定常數(shù)。矩形的面積2、如何表述定積分的幾何意義？根據(jù)定積分的幾何意義求下列積分的值:(1) 1 1 xdx. (2) J!R2 -x2dx, (3) Jcos.xdY, (4):忖吐 睬藕：用定積分的符號、定義、結(jié)果、方法等說明“什么是定積分” ？小結(jié)卜定積分的本質(zhì)：從宏觀(整體)研究非均勻量的“改變量”問題。是 處理非均勻量的“乘法”；其思想方法：在小圍以“不變”代“變”，獲得近 似值；(2)利用極限思想使“近似值”轉(zhuǎn)化為“精確值”。其中，“分”是為了“勻”的需要，而“求和”是整體量的要求。作業(yè)|： P40 (A： 1-3)課堂練習(xí)(定積分的概念)【A組】一、判定正誤：1、

41、定積分f'/(x)八表示曲邊梯形的面積。(F )2、定積分£/*)八的值與被積函數(shù)f(x)、積分區(qū)間a,b及積分變量x有關(guān)。F3、jjnAt/x>0 ( T )4、£/(x)t/Az = /(x) ( F )二、用定積分表示面積：(1)曲線y = 直線x = 一1, x = 1及)，=。所圍成的平面？(2)由方程/+ y 2 = 4所確定的圓的面積？三、用定積分的定義計算定積分jcdx,其中C為一定常數(shù)?！綛組】一、由定積分的幾何意義計算：£7?=7公？ ?二、由定積分的兒何意義求直線y = 2x + l,x = l,x = 2,y = 0所圍成的平

42、面圖 形的面積？三、用定積分的定義求曲線丁 = /+1» = 1=2,)，= 0所圍成的平面圖形的 面積？數(shù)學(xué)認識實驗：定積分思想的幾何直觀1、函數(shù)丁 = /在0,1上所圍成的面積分析: (1)步長為0.1的分割。(n=10)(2)步長為0. 05的分割。(n=20)/第七講定積分與導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的：掌握原函數(shù)的概念及N-L公式。重 難 點：作為路程的定積分、微積分基本定理教學(xué)程序:復(fù)習(xí)定積分概念(和式極限)一原函數(shù)一N-L公式(求路程) 推導(dǎo)一NL公式(計算方法)一定積分的計算(簡單)授課提要：前言：定積分是一個重要的概念，如果用定義來計算，計算復(fù)雜且不易，所 以必須尋找新的計算方法。

43、下面將研究定積分與導(dǎo)教的關(guān)系。一、原函數(shù)的概念定義：若在某一區(qū)間上有尸(x) = /(x),則稱F(x)是f(x)的一個原函數(shù)。如：已知(/)' = 2x,所以一是2x的一個原函數(shù)，同理，/+i也是它的原函 數(shù)。(說明：原函數(shù)不唯一)*二、變上限函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，且則稱函數(shù)/(/),為交上底函或二記p(x) = /«)， o它有如下性質(zhì):(l)p()= O, ()= £'/力；(2)若/(x)在a,b上連續(xù)，則p(x)在a,b上可導(dǎo)，且有p'(x) =/(x)。由性質(zhì)(2)及原函數(shù)的定義知，p(x)是f(x)的一個原函數(shù)。定理(原函數(shù)

44、存在定理)若f(x)在a,b上連續(xù)，則其原函數(shù)一定存在，且原 函數(shù)可表示為尸a 7f sin tdt例 1、求一(f cos2/Jr) ? 例 2、求lim 業(yè)_； ？dx J。J。三、N-L公式(直觀推導(dǎo))設(shè)一輛汽車作變速直線運動(如圖)，從時刻a到b,求其經(jīng)過的路程？(1)若已知路程函數(shù)s = s(f),則s = s(b)-s(a)；(2)若已知速度函數(shù)吁uQ),則由定積分有5 =。)， = s()-s(a)；(3) s(t)與v有如下關(guān)系:sf(t) = v(r),即s(t)是v的一個原函數(shù)。一般地，有如下定理：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則 f(x

45、)dx=F(b)-F(a)邈：(DN - L公式揭示了定積分與原函數(shù)(不定積分)間的聯(lián)系，給 定積分的計算提供了有效而簡便的方法。(2)由定義知求定積分的步聚求原函數(shù)求原函數(shù)的增量例3、求下列定積分：(1) £x'dx (2) £ sinay/x (3) J (3x2 + )tZx例4、求由曲線)，=$111%，直線x=0, x= Ji , y=0所圍成的圖形面積?例5、求曲線y = / + l,x = l,x = 2,y = 0所圍成的平面圖形的面積？例6、設(shè)物體的速度y = 2sin3求時段0,句的距離?1、 .(sin fd”?答：因為J；sin/出是以x為自

46、變量的函數(shù)，故，sinfdLO.2、 (J：/(x)dA)' = ?答：因為J：/(x)也是常數(shù)，故(J：/(x)dx)' = O.3、 f = ?dv J Q答：因為J，(X)dA-的結(jié)果中不含X,故/j：/'(X)dA =O.4、 f cos/2dv = ?dx J。答：由變上限定積分求導(dǎo)公式，知 cosrdr = cosx2. dxJn小結(jié)：NL公式的意義：將矛盾的“微分”與“積分”統(tǒng)一起來，是哲學(xué)中 的“對立統(tǒng)一”規(guī)律的具體表現(xiàn)，是微觀與宏觀的辨證統(tǒng)一。其美學(xué)價值：宏觀 上的統(tǒng)一之美。作業(yè)|： P46 (A： 1) ； (B： 1) 課堂練習(xí)(定積分與導(dǎo)數(shù))【A

47、組】1、計算下列定積分：(1) 2(3x2 +- + 2)dx (2)(ex + cos2 -)dx (3)(x + -)2dx xM2x(4)J1百八(;5) j'7x(1 + xdx (6) J'"| sinxI dx2、求曲線y = 1,x = l,x = 2,y =。所圍成的圖形的面積？ x3、設(shè)，(2x + A)"x = 3,求 k 的值？4、設(shè)：/«), = ln(/+1),求/*)?兩邊求導(dǎo)數(shù)【B組】1、2、3、設(shè) 6 + /(f), = 2x，求 a 的值？ 3求導(dǎo)數(shù)：”"? *%osx dx屈*4、利用定積分的性質(zhì)求極限

48、:lim f 二 Jx? iJul+X（估值定理、夾值定理）用定積分求極限：蚓,(，1 + - + 1 + 2 +. + ,1 + -) ( £ Vi + xdx )*5、證明方程31呂=。在©D有唯一實根。*6、設(shè)f（x）在0, 4上連續(xù)，且工-"（在 =%-仃，則f（2）= 1/4。教學(xué)認識實劍定積分：£戶山=。的幾何直觀第八講 習(xí)題課（導(dǎo)數(shù)與定積分）教學(xué)目的：系統(tǒng)化本單元容，掌握基本概念與方法。一、基本概念及方法：1、極限的概念，求極限的方法；2、導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)公式及運算法則3、導(dǎo)數(shù)的幾何、物理及經(jīng)濟意義4、定積分的概念，定積分的幾何、物理意義（

49、經(jīng)濟意義）5、用N-L公式求定積分二、基本題型：1、求下列極限/、 x2 4-X-1,、 x2 +2x-3/、 X2 +x-l /、 sin3x(1) hm (2) hm (3) Inn彳(4) Iimi 2xi x-1i 2廠J。2x2、求下列導(dǎo)數(shù)(3) y = + Inx + sinxx(3) y = (x-)2x(1) y = 2x2 -x + 2(2) y = 2ex -cosx3、求下列導(dǎo)數(shù)r2 4)(1) y = : (2) y = sin- x-lnxx 24、求下列積分(1) J (2x-)dx(2) £ (2sinx-l)i/x5、求曲線y = i+l在點(1, 2

50、)處的切線方程？6、求S = 2產(chǎn)一。+ 3在t=2時的速度?7、設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)C(x) = gx3+x-1,求其邊際成本?8、求曲線y = / +Lx = 0,x = 2,y =。所圍成的圖形的面積？9、已知物體的速度為】，(/) = 2cos/,求時段0，經(jīng)過的路程？2r < 1 c210 設(shè)/'(x) = 4 ' 一，求f f(x)dx?可加性lx.x > 111、設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，則曲線y=f(x),直線x=a, x=b及y=0所圍成的曲邊梯形的面積為 o f(x)dx三、提示與提高：1、無窮小的定義與性質(zhì)定 義：若 lim a(x) = 0(l

51、im a(x) = 0),則稱 tz(x)當(dāng)x f x。“ 一 °°)時為無窮小。 X+o.V->X性質(zhì):有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮小。例1、求極限lim - , lim ?D X x X2、無窮小的比較：(略)當(dāng) x f 0 時,有 x與 s in x9 tan x9 arcs in x9 arctan x, ln(l + x), e" -1 等價;當(dāng)x - 0時，-ax與中+ ax -1等價;等-與1 - cos 等價；例2、當(dāng)x -0時，比較l-cosx與的階？23、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(1)有界定理；(2)最值定理；(3)零點定理；(4)介值定理

52、例3、設(shè)例x)在0, 2上連續(xù),且例0)=f(2),證明方程/。) = x + l)在0, 1 上至少有一實根。4、函數(shù)間斷點的分類(略)5、定積分的性質(zhì)(1)f/(x)4x = °； £/(x)Jx = -£/(x)t/x(2)若在a, b上有 /(a) > g(x),則 £ f(x)dx > £ g(x)dx特別地，若在a,b上有/(xRO,則，/(x)dxNO(3 )對任意實數(shù) C 有 j/(x)dx = £ /(x)Ja + £/W(4)設(shè)函數(shù)f (x)在a, b上的最大、最小值分別為M、m,則有mb 一

53、 4)«/(x)dx < M - a)(5)設(shè)f(x)在連續(xù)，則其在a, b上的平均值h - a例3、比較大?。?/dx與1/(/X例 4、求定積分：Cf(x)dX,其中=J()l,x< 1例5、求/(x) = 31 - 2x在區(qū)間1, 3上的平均值？第九講求導(dǎo)法則(三)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)(一)教學(xué)目的：掌握基本導(dǎo)數(shù)公式和四則運算法則，會求一般函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。重 難 點：四則運算法則、復(fù)合函數(shù)的連鎖法則 教學(xué)程序：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(復(fù)習(xí))一>導(dǎo)數(shù)四則運算法則一>例子 授課提要：前面我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念及簡單函數(shù)求導(dǎo)，本節(jié)將系統(tǒng)學(xué)習(xí)函數(shù)求導(dǎo)方法。一、復(fù)習(xí)基本初等函

54、數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(重點)(板書略)二、復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)四則運算法則(更直)&，="LVV-X 1(3) y = xn x (4) y =x + 1設(shè)u(x),v(x)為可導(dǎo)函數(shù)，則(1) (u±v = u ±vf (2) (y)'= “、+ /例1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) y = 2.r +3x-l y = x2 +- + U1Xx例2、求)，=匕口的導(dǎo)數(shù)？(由商的導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo))于是有 (tan X)' = sec2 x同理： (cot x)' = -esc2 x(secx)r = secxtanx;(cscx)z = -cscxcotx 例3、求函

55、數(shù)y在工=巳處的導(dǎo)數(shù)值？1 + cosx 2例4、求過點(1, 2)且與曲線y = 2x-/相切的直線方程？三、復(fù)習(xí)復(fù)合函數(shù)的概念及分解詢:復(fù)合函數(shù)分解一般從外向分解，分解至基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)即可例5、分解下列函數(shù)(1) y = (2x-Y)'(2) y = siii(2x-l) (3) y = hi(ln(2x -1)四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè))，= /(x)是關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)，則半=2x半或y；=/( )/0)ax an dx畫：(1)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，首先分清楚函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu),求出每一層次簡 單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再使用連鎖法則,就得到復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；(2)復(fù)合函數(shù)的分解一般按由外向的順序進行。例6、求下列導(dǎo)數(shù)(先分解后求導(dǎo))(1) y = sin3x (2) y = (2x + V)3 (3) y = Z+, (4) y = x2e2x+i例 7、設(shè) y = /(x)在 可導(dǎo)，且 /'(Xo) = 2 ,記0。)= f(x() + at),其中 a 為常數(shù)，求力？例8、設(shè)/(/) = 1山【/(±±2£,求人1)?5e3 X思考題卜1、設(shè))，= /,求？利用指數(shù)恒等式:X =2、設(shè) y = /(),= sin/,求色？蟲=2xcos/"(sinx2) dx dr小結(jié)I:掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的連鎖法則；對復(fù)合函數(shù)求