高中數(shù)學(xué)-數(shù)列求和及數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法和技巧1

1、大瀝高級(jí)中學(xué)論文 數(shù)列求和的基本方法和技巧關(guān)鍵詞：數(shù)列求和 通項(xiàng)分式法 錯(cuò)位相減法 反序相加法 分組法 分組法 合并法一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差數(shù)列求和公式： 2、 等比數(shù)列求和公式：例 求和1x2x4x6x2n+4(x0)解：x0該數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為x2的等比數(shù)列而且有n+3項(xiàng)當(dāng)x21 即x±1時(shí) 和為n+3評(píng)注： (1)利用等比數(shù)列求和公式當(dāng)公比是用字母表示時(shí)，應(yīng)對(duì)其是否為1進(jìn)行討論，如本題若為“等比”的形式而并未指明其為等比數(shù)列，還應(yīng)對(duì)x是否為0進(jìn)行討論 (2)要弄清數(shù)列共有多少項(xiàng)，末項(xiàng)不一定是第n項(xiàng) 對(duì)應(yīng)

2、高考考題：設(shè)數(shù)列1，（1+2），（1+2+），的前頂和為，則的值。 二、錯(cuò)位相減法求和錯(cuò)位相減法求和在高考中占有相當(dāng)重要的位置，近幾年來(lái)的高考題其中的數(shù)列方面都出了這方面的內(nèi)容。需要我們的學(xué)生認(rèn)真掌握好這種方法。這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列. 求和時(shí)一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比；然后再將得到的新和式和原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和，這種方法就是錯(cuò)位相減法。例 求和：（）解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n1的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè). （

3、設(shè)制錯(cuò)位）得 （錯(cuò)位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得： 注意、1 要考慮 當(dāng)公比x為值1時(shí)為特殊情況 2 錯(cuò)位相減時(shí)要注意末項(xiàng) 此類題的特點(diǎn)是所求數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘。對(duì)應(yīng)高考考題：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，且。（）求的通項(xiàng)； （）求的前n項(xiàng)和。三、倒序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè).例 求證：證明： 設(shè). 把式右邊倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得 （反序） 又由可得 . +得 （反序相加） 四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或

4、常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其中中一個(gè)是等差數(shù)列，另一個(gè)是等比數(shù)列，求和時(shí)一般用分組結(jié)合法。例：求數(shù)列的前n項(xiàng)和；分析：數(shù)列的通項(xiàng)公式為，而數(shù)列分別是等差數(shù)列、等比數(shù)列，求和時(shí)一般用分組結(jié)合法；解 ：因?yàn)椋?（分組）前一個(gè)括號(hào)內(nèi)是一個(gè)等比數(shù)列的和，后一個(gè)括號(hào)內(nèi)是一個(gè)等差數(shù)列的和，因此 五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1） （2）（3） （4）（5）例 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：設(shè) （裂項(xiàng)）則 （裂項(xiàng)求和） 小結(jié)：此類變

5、形的特點(diǎn)是將原數(shù)列每一項(xiàng)拆為兩項(xiàng)之后，其中中間的大部分項(xiàng)都互相抵消了。只剩下有限的幾項(xiàng)。 注意： 余下的項(xiàng)具有如下的特點(diǎn) 1余下的項(xiàng)前后的位置前后是對(duì)稱的。 2余下的項(xiàng)前后的正負(fù)性是相反的。 練習(xí) 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和. 六、合并法求和針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.例 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.解：設(shè)由等比數(shù)列的性質(zhì) （找特殊性質(zhì)項(xiàng)）和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 得 （合并求和） 10數(shù)列的求和方法多種多樣，它在高考中的重要性也顯而易見(jiàn)。我們的學(xué)生在學(xué)習(xí)中必須要掌握好幾種最基本的方法，

6、在解題中才能比較容易解決數(shù)列問(wèn)題。數(shù)列通項(xiàng)公式的十種求法一、公式法例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，得，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說(shuō)明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。二、累加法例2 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例3 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通

7、項(xiàng)公式。例四已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，得，則，故因此，則評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。三、累乘法例5 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以，則，故所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例6 （2004年全國(guó)I第15題，原題是填空題）已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)樗杂檬绞降脛t故所以由，則，又知，則，代入得。所以，的通項(xiàng)公式為評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，從而可得當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。四、待定系數(shù)法例7 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)將代入式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入式得由及式得，則，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，故。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例8 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)將代入式，得整理得。令，則，代入式得由及式，得，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，因此，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例9 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè) 將代入式，得，則等