2021年江蘇高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第2章第9節(jié)函數(shù)與方程

1、1第九節(jié)函數(shù)與方程最新考綱結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，判斷元二次方程根的存在性與根的個數(shù).必備知識填充J1. 函數(shù)的零點函數(shù)零點的定義對于函數(shù) y= f(x)(x D),把使 f(x) = 0 的實數(shù) x 叫做函數(shù) y= f(x)(x D)的零占八、(2) 三個等價關(guān)系方程 f(x) = 0 有實數(shù)根？函數(shù) y= f(x)的圖象與 x 軸有交點?函數(shù) y=f(x)有零 占八、(3) 函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)如果函數(shù) y = f(x)在區(qū)間a, b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a) f(b)v0，那么，函數(shù) y= f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)有零點，即存在

2、 c (a, b)，使得 f(c) =0，這個 c 也就是方程 f(x) = 0 的根.2. 二次函數(shù) y= ax2+ bx+ c(a0)的圖象與零點的關(guān)系 0= 0X 0rI卩二次函數(shù) y= ax2+ bxd /+ c (a 0)的圖象pfr與 x 軸的交點血 0)，(x20)(xi.0)無交點零點個數(shù)210常用結(jié)論有關(guān)函數(shù)零點的 3 個結(jié)論(1) 若連續(xù)不斷的函數(shù) f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則 f(x)至多有一個零點.護(hù)參思皎與坍打除雙基方點2(2) 連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號.(3) 連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號.學(xué)情自測驗收

3、一、思考辨析(正確的打“V”，錯誤的打“x”)(1) 函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與 x 軸的交點.()(2) 函數(shù) y=f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則 f(a) f(b)v0.()(3) 若函數(shù) f(x)在(a，b)上單調(diào)且 f(a) f(b)v0,則函數(shù) f(x)在a，b上有且只有一個零點.()二次函數(shù) y= ax2+ bx+ c 在 b24acv0 時沒有零點.()答案(1)X(2)x(3)x V二、教材改編1.已知函數(shù) y=f(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且有如下的對應(yīng)值表：x123456y124.4337424.536.7123.6貝 U 函數(shù) y=f(x)在

4、區(qū)間1,6上的零點至少有()A. 2 個B . 3 個C. 4 個D . 5 個B f(2) f(3)v0, f(3) f(4)v0, f(4) f(5)v0,故函數(shù) f(x)在區(qū)間1,6內(nèi)至少有 3 個零點.2.函數(shù) f(x) = In x+ 2x 6 的零點所在的區(qū)間是()A. (0,1)B . (1,2)C. (2,3)D. (3,4)C 由題意得 f(1) = ln 1 + 2 6= 4v0, f(2) = ln 2 + 4 6= ln 2 2v0,f(3) = ln 3 + 6 6= ln 3 0,f(4) = ln 4 + 8 6= ln 4 + 2 0,3 f(x)的零點所在的區(qū)

5、間為(2,3).43 函數(shù) f(x) = ex+ 3x 的零點個數(shù)是_.11由已知得 f (x) = ex+ 30,所以 f(x)在 R 上單調(diào)遞增，又 f(- 1)=-3DV0, f(0)= 1 0,因此函數(shù) f(x)有且只有一個零點.11x、，、4.函數(shù) f(x) = x 2 的零點個數(shù)為121作函數(shù) y1= x 和 y2=由圖象知函數(shù) f(x)有 1 個零點.總結(jié)常打雖課堂考點探究破解高亦毓難考點 1函數(shù)零點所在區(qū)間的判定判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法(1) 解方程法，當(dāng)對應(yīng)方程易解時，可直接解方程.(2) 零點存在性定理.(3)數(shù)形結(jié)合法，畫出相應(yīng)函數(shù)圖象，觀察與x 軸交點來判斷，或轉(zhuǎn)化為

6、兩個函數(shù)的圖象在所給區(qū)間上是否有交點來判斷.旳圧遜 1函數(shù) f(x)= In x疋的零點所在的區(qū)間為()A. (0,1)B . (1,2)C. (2,3)D. (3,4)1B由題意知函數(shù) f(x)是增函數(shù)，因為 f(1)V0,f(2)= In 2丁In 2 In . e 0,所以函數(shù) f(x)的零點所在的區(qū)間是(1,2).故選 B.2 的圖象如52.若 avbvc，則函數(shù) f(x)= (x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a)的兩個零點分別位于區(qū)間()A (a, b)和(b, c)內(nèi)B. (乂, a)和(a, b)內(nèi)C.(b,和(c,+x)內(nèi)D.( , a)和(c

7、,+x)內(nèi)A tavbvc,二 f(a)=(ab)(ac)0,f(b)=(bc)(ba)v0,f(c)=(ca)(cb)0,由函數(shù)零點存在性判定定理可知：在區(qū)間(a, b)(b, c)內(nèi)分別存在一個零點；又函數(shù) f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個零點，因此函數(shù) f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a, b), (b, c)內(nèi)，故選 A.k k+13 .已知函數(shù) f(x) = In x + 2x 6 的零點在 2 (歩 Z)內(nèi)，那么 k=15 tf(x)= - +20,x(0,+x),f(x)在 x(0,+)上單調(diào)遞增，x555且 f2 = In 2 1v0, f(3) = In 30, . f(x)的

8、零點在 2，3 內(nèi)，則整數(shù) k= 5.EU 平f(a) f(b)v0 是連續(xù)函數(shù) y= f(x)在閉區(qū)間a, b上有零點的充分不必 要條件.(2)若函數(shù) f(x)在a, b上是單調(diào)函數(shù)，且 f(x)的圖象連續(xù)不斷，貝Uf(a) f(b)v0?函數(shù) f(x)在區(qū)間a, b上只有一個零點.考點 2 函數(shù)零點個數(shù)的判斷観那函數(shù)零點個數(shù)的討論，基本解法有(1) 直接法，令 f(x) = 0,在定義域范圍內(nèi)有多少個解則有多少個零點.(2) 定理法，禾 U 用定理時往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等.(3) 圖象法，一般是把函數(shù)分拆為兩個簡單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點個 數(shù)得出函數(shù)的零點個數(shù).6酸斜刃(1

9、)(2019 全國卷川)函數(shù) f(x)= 2sin x sin 2x 在0,2n勺零點個數(shù)為7In xx2+ 2x, x0,2x+1*0的零點個數(shù)為()C. 2(3) 設(shè)函數(shù) f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng) x0 時，f(x) = ex+x-3,則 f(x) 的零點個數(shù)為()(1)B(2)D(3)C(1)由 f(x) = 2sin x sin 2x=2sin x 2sin xcos x=2sinx(1cos x)=0 得 sin x=0 或 cos x=1,二 x=knkZ,又vx0,2 x=0,n2n即零點有 3 個，故選 B.(2) 依題意，在考慮 x 0 時可以畫出函數(shù) y= ln

10、 x 與 y= x2 2x 的圖象(如圖),可知兩個函數(shù)的圖象有兩個交點，當(dāng)x 0 時，令 f(x) =ey= ex和 y令 f(x) = 2x|log0.5x19定有 2 個交點，因此函數(shù) f(x)有 2 個零點.故選 B.2, x0,2已知函數(shù) f(x)=,u門 若 f()= 2, f(- 1)= 1,則函數(shù)x+bx+c,xW0,g(x) = f(x) + x 的零點個數(shù)為_ .c= 2,3 依題意得1 b+ c= 1,b 4,由此解得c- 2.由 g(x) 0 得 f(x) + x 0,x 0,該方程等價于2+ x 0,xW0,或2x24x2+x0.解得 x 2,解得 x 1 或 x 2

11、.因此，函數(shù) g(x) f(x) + x 的零點個數(shù)為 3.考點 3 函數(shù)零點的應(yīng)用観 3根據(jù)函數(shù)零點的情況求參數(shù)的 3 種常用方法(1) 直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確 定參數(shù)范圍.(2) 分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決.(3) 數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖 象，10然后數(shù)形結(jié)合求解.芒自.根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)酸斜刃 已知函數(shù) f(x) |x2+ 3x|, x R，若方程 f(x) a|x 1| 0 恰有 4個互 異的實數(shù)根，則實數(shù) a 的取值范圍是_ .(0,1)U(9,+x)設(shè) yi= f(x)

12、= |X2+ 3x|, y2= a|x 1|,在同一直角坐標(biāo)系中作出yi=X+ 3x|,y2= a|x1|的圖象如圖所示.1y,-,=ld+3!d-3-2-101亠由圖可知 f(x) a|x 1|= 0 有 4 個互異的實數(shù)根等價于 yi= |x2+ 3x|與 y2= a|x1|的圖象有 4 個不同的交點且 4 個交點的橫坐標(biāo)都小于 1,2y = x 3x,所以有兩組不同解，y= a 1 x消去 y 得 x2+ (3 a)x+ a= 0 有兩個不等實根，所以= (3 a)? 4a0, 即卩a 10a + 90,解得 av1 或 a9.又由圖象得 a0,0vav1 或 a9.蘭評 由函數(shù)的零點個

13、數(shù)求參數(shù)的值或范圍的策略已知函數(shù)的零點個數(shù)，一般利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，這時圖形一定要準(zhǔn)確，這種數(shù)形結(jié)合的方法能夠幫助我們直觀解題.考向 2 根據(jù)函數(shù)有無零點求參數(shù)0, x0則使函數(shù) g(x) = f(x) + x m 有零點的實11數(shù) m 的取值范圍是_ .(%, 0u(1,+)函數(shù) g(x) = f(x) + x m 的零點就是方程 f(R + x= mx, x0觀察它與直線 y= m 的交點，得知當(dāng) mW0 或 m 1 時，有交點，即函數(shù) g(x)=f(x)+ x m 有零點.IS 疔半 函數(shù)有無零點問題？函數(shù)圖象與 X 軸有無公共點問題.才 I-, -i 根據(jù)零點的范圍求參數(shù)瑟斜刃 若函數(shù) f(x)= (m 2)x2+ mx+ (2m + 1)的兩個零點分別在區(qū)間(一 1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，則 m 的取值范圍是_ .1 14，2依題意，結(jié)合函數(shù) f(x)的圖象分析可知 m 需滿足m2,f10V0,f 1 f 2V0,m 2,即m2m+