2021年江蘇高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第7章第6節(jié)立體幾何中的向量方法

1、i第六節(jié) 立體幾何中的向量方法最新考綱能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾 角的計(jì)算問(wèn)題，了解向量方法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用.必備知識(shí)填充J1. 異面直線所成的角設(shè) a, b 分別是兩異面直線 li, |2的方向向量，則a 與 b 的夾角a, bll與 l2所成的角0范圍0va, bv nn0|=jajbj2.直線與平面所成的角設(shè)直線 l 的方向向量為 a,平面a的法向量為 n,直線 l 與平面a所成的角0,貝Usin0=|cos a,n|=3.二面角(1) 如圖，AB, CD 是二面角al-B的兩個(gè)面內(nèi)與棱 l 垂直的直線，則二面角的大小0=AB, CD.(2) 如圖，

2、ni, n2分別是二面角al-B的兩個(gè)半平面a, B的法向量，則二面角的大小0滿足|cos0=|cosni, n2|，二面角的平面角大小是向量 ni與 n2的夾角(或其補(bǔ)角).知識(shí)拓展護(hù)參冬獨(dú)與坍打除雙基方點(diǎn)Ja=nJJaJJ2點(diǎn)到平面的距離43如圖所示，已知 AB 為平面a的一條斜線段，n 為平面a的法向量，貝 U B 到平面a的距離為|Bb|= AB/1一、思考辨析(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X”)(1) 兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.()(2) 直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.()(3) 兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角.()nn兩

3、異面直線夾角的范圍是 0，2，直線與平面所成角的范圍是 0,，二 面角的范圍是0，n()答案(1)X(2)X(3)X V二、教材改編1.已知向量 m, n 分別是直線 I 和平面a的方向向量和法向量，若 cos m，1n= 2，則 I 與a所成的角為()A. 30B. 60C. 120D. 1501A 由于 cos m，n= 2，所以_3_ _J0 門_30= 10 0,7 BiM 與 DiN 所成角的余弦值為.故選 A.4.如圖，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC-AiBiCi的底面邊長(zhǎng)為 2,側(cè)棱長(zhǎng)為 2 .2，則 ACi與側(cè)面 ABBiAi所成的角為_ .n如圖，以 A 為原點(diǎn)，以

4、 AB, Afe（AE 丄 AB）, AAi所在直線分別為 x 軸、y軸、z 軸（如圖）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) D 為 AiBi的中點(diǎn),則 A(0,0,0), Ci(i，3, 2 .：2), D(i,0,2，ACi= (i，.：3, 2 .：2), AD =(i,0,2./ CiAD 為 ACi與平面 ABBiAi所成的角,i, J3,聖i,0,22 _3竝xV9=2，n又/ CiAD 0, 2 ,/ CiAD= 6.cos/ CiAD =ACiAD|ACi|AD|8_+ 課堂考點(diǎn)探究 找囲甌書踐雀9考點(diǎn) 1 求異面直線所成的角E總 用向量法求異面直線所成角的一般步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直

5、線建立空間直角坐標(biāo)系.確定異面直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量.(3) 利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值.(4) 兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對(duì)值.酸陽(yáng)| (2017 全國(guó)卷U)已知直三棱柱 ABC-AiBiCi中，/ ABC= 120 AB二 2, BC= CC1= 1,則異面直線 AB1與 BC1所成角的余弦值為()C 在平面 ABC 內(nèi)過(guò)點(diǎn) B 作 AB 的垂線，以 B 為原點(diǎn)，以該垂線，BA,BB1所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 B-xyz，則 A(0,2,0),B1(0,0,1), C12，1，C173,10cos A

6、B1,EBC1_AB1BC1_2_F0AB1| |B(C1|5X25故選 C.1.本例條件換為： “直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB_ BC_ AA1, / ABC_90母題探究點(diǎn) E, F 分別是棱 AB, BB1的中點(diǎn)”，則直線 EF 和 BC1所成的角是_1160 以 B 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 BC 為 x 軸，BA 為 y 軸，BBi為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.設(shè) AB= BC = AAi= 2,貝 U Ci(2,0,2), E(0,1,0), F(0,0,1),二 EF=(0，-1,1)，BCi=(2,0,2)，二 EF BCi=2,2 1石X廠 2 二 2,則 EF 和

7、 BCi所成的角是 602.本例條件換為：“直三棱柱 ABC-AiBiCi中，底面為等邊三角形，AAi=AB, N, M 分別是 AiBi, AiCi的中點(diǎn)”，貝UAM 與 BN 所成角的余弦值 為 .10 如圖所示，取 AC 的中點(diǎn) D，以 D 為原點(diǎn)，BD, DC, DM 所在直線分別為 x 軸、y 軸、z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè) AC = 2,則 A(0,- 1,0),M(0,0,2), B( :3, 0,0), N所以町， 心器 倍也-10 cos所以 AMl= (0,1,2), BN =12nEU 平兩異面直線所成角的范圍是旅 0, 2，兩向量的夾角a的范圍是0 ,n,當(dāng)異面

8、直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，就是該異面直線的夾角；當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí)，其補(bǔ)角才是異面直線的夾角.教師備選例題如圖，四邊形 ABCD 為菱形，/ ABC- 120, E, F 是平面 ABCD 同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE 丄平面 ABCD，DF 丄平面 ABCD，BE-2DF，AE 丄 EC.(1) 證明：平面 AEC 丄平面 AFC;(2) 求直線 AE 與直線 CF 所成角的余弦值.解(1)證明：女口圖所示，連接 BD，設(shè) BDAAC- G，連接 EG, FG，EF.在菱形 ABCD 中，不妨設(shè) GB- 1.由/ ABC- 120 可得 AG -GC- 3.由 BE 丄平面

9、ABCD，AB- BC-2,可知 AE- EC.又 AE 丄 EC,所以 EG- .3,且 EG 丄 AC.在 RtAEBG 中,可得 BE- ,2,故 DF在 RtAFDG 中，可得 FG-13在直角梯形 BDFE 中，由 BD = 2, BE=2DF =孑，可得 EF= 弩，從 而 EG1 2+FG2= EF2，所以 EG 丄 FG.又 ACAFG= G，AC, FG?平面 AFC，所以 EG 丄平面 AFC.因?yàn)?EG?平面 AEC，所以平面 AEC 丄平面 AFC.(2)如圖，以 G 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 GB，GC 所在直線為 x 軸、y 軸，|GB|為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系 G

10、-xyz,1 求證：BD 丄平面 PAC;2 若 PA_AB，求 PB 與 AC 所成角的余弦值.14由(1)可得 A(0,.3, 0), E(1,0,、，F(xiàn) 1, 0,于,C(0, .3 0),所以 AE= (1，.3 . 2)， CF = 1， 3.所以直線 AE 與直線 CF 所成角的余弦值為Ek 紜 如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，F(xiàn)A 丄平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形,AB_2，ZBAD_60所以 AC 丄 BD.因?yàn)?PA 丄平面 ABCD，所以 FAXBD.又因?yàn)?ACnPA=A,所以 BD 丄平面 PAC.設(shè) ACnBD=O.因?yàn)? BAD= 60 PA= AB= 2

11、,所以 BO= 1, AO = CO= 3.如圖，以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則 P(0, .3, 2), A(0, .3, 0), B(1,0,0), C(0,；3, 0). 所以 PB= (1 , .3,2),AC= (0,2 .3, 0).故 cos AE，CFAE CF _3AE|CF|315設(shè) PB 與 AC 所成角為 9,則PBAC _6_ _ J6|PB|AC|2-2X2 34(1)法一：分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角).(2)法二：通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的角(夾角為鈍

12、角時(shí)取其補(bǔ)角)，取其余角就是斜線和平面所成的角.酸加(2019 深圳模擬)已知四棱錐 P-ABCD，底面 ABCD 為菱形，PD =PB, H 為 PC 上的點(diǎn)，過(guò) AH 的平面分別交 PB, PD 于點(diǎn)M, N,且 BD /平面AMHN.(1) 證明：MN 丄 PC;(2) 當(dāng) H 為 PC 的中點(diǎn)，F(xiàn)A= PC= 3AB，PA 與平面 ABCD 所成的角為 60求 AD 與平面 AMHN 所成角的正弦值.解(1)證明：連接 AC、BD 且 ACABD = 0,連接 PO.因?yàn)?ABCD 為菱形，所以 BD 丄 AC,cos9=即 PB 與 AC 所成角的余弦值為二6.誤爲(wèi)臨利用向量法求線面

13、角的 2 種方法16因?yàn)?PD = PB,所以 PO 丄 BD,因?yàn)?ACAPO = O 且 AC、PO?平面 FAC,所以 BD 丄平面 PAC,因?yàn)?PC?平面 PAC,所以 BD 丄 PC,因?yàn)?BD /平面 AMHN ,且平面 AMHNA平面 PBD= MN ,所以 BD / MN , MN 丄平面 PAC,17所以 MN 丄 PC.由(1)知 BD 丄 AC 且 P0 丄 BD,因?yàn)镻A=PC,且 0 為 AC 的中點(diǎn),所以 P0 丄 AC,所以 P0 丄平面 ABCD,所以 PA 與平面 ABCD 所成的角為/ PAO,所以/ PAO= 60 所以 AO = 2PA,PO23PA,

14、以 OA, OD, OP 分別為 x, y, z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè) PA=2,所以 0(0,0,0),A(1,0,0),B 0,彳，0,C(-1,0,0),D0,f,0,P(0,0,.3), H |, 0,寧,所以 0,晉，0 ,AH= 3, 0,寧,AD= -1,扌 0 .設(shè)平面 AMHN 的法向量為 n = (x, y, z),2 *33 y 二, 即3 血 c*+亍=0,n BD= 0,所以 一nAH=0,因?yàn)?PA= ,3AB18z= 2,3,所以 n = (2,0,2.3),19設(shè) AD 與平面 AMHN 所成角為 9,所以 AD 與平面 AMHN 所成角的正弦值為-43.京疔申 若求線面角的余弦值，要注意利用平方關(guān)系sin3 49+cos2(A1求出其值不要誤認(rèn)為直線的方向向量與平面的法向量所成夾角的余弦值即為所求.洋(2019 浙江高考)如圖，已知三棱柱 ABC-AiBiCi，平面 AiACCi丄平 面ABC,/ ABC = 90 / BAC= 30 AiA= AiC = AC, E, F 分別是 AC, AiBi的中點(diǎn).3 證明：EF 丄 BC;4 求直線 EF 與平面 AiBC 所成角的余弦值.解法一：(幾何法)(1)連接 Ai