奧數(shù)專題——裂項法含答案

1、奧數(shù)專題裂項法(一)同學們知道：在計算分數(shù)加減法時，兩個分母不同的分數(shù)相加減，要先通分化成同分 母分數(shù)后再訃算。(一)閱讀思考例如丄一丄=丄，這里分母3. 4是相鄰的兩個自然數(shù)，公分母正好是它們的乘積,3412把這個例題推廣到一般情況，就有一個很有用的等式：£ _ _J_ =川 + 1_ 川n n + 1 n(n + 1) n(n + 1)n+-n_1n(n + 1) n(n + 1)即丄=一!一n n + 1 n(n + 1)1 1 1或=n(n + 1) n n + 1下而利用這個等式，巧妙地訃算一些分數(shù)求和的問題?！镜湫屠}】例仁計算:1 1 1 11-+H1985x1986

2、1986x1987 1987x19881994x19951 1 1+1995x19961996x19971997分析與解答:1111985x 1986I 19851198611986x 1987I 19861198711987x 1988198719881 111994x1995199419951 111995x 19961 19951199611996x199719961997上而12個式子的右而相加時，很容易看岀有許多項一加一減正好相互抵消變?yōu)?,這 一來問題解起來就十分方便了。1 1 1 1 11111985x1986 1986x1987 1987x19881995x 1996 1996

3、x 19971+ 1997111111 1 1 1=+1F +11985 1986 1986 1987 1987 19881995 1996 19961 1 _ 1_ 1997 +1997 _ 1985像這樣在計算分數(shù)的加、減時，先將其中的一些分數(shù)做適當?shù)牟鸱?，使得其中一部分分?shù)可以相互抵消，從而使計算簡化的方法，我們稱為裂項法。例乙 心： 廿1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3+ + 100公式的變式1 _ 21 + 2+ +n n x (n- 1)1 _ 21Tx21 _ 21+2_231 _ 21 + 2 + 3 一 3x41 _ 2l + 2 + 3 + 44x51 _ 21 +

4、 2+ + 100 一 100x1011 1 1 1_ +H+ +11 + 21 + 2 + 31 + 2+ + 1002 2 2 2 2=+ +1x2 2x3 3x499x100 100x10111 1 1 1=2 x (+ +)1x2 2x3 3x499x100 100x101111111111=2 x (1 +)2 2 3 3 499 100 100 1011=2x(1-)101100ToT200101£101中這兩個< >例3.設符號>代表不同的自然數(shù)，問算式卜占符號所代表的數(shù)的數(shù)的積是多少？分析與解：減法是加法的逆運算，*+士就變成卜士，與 前而提到的等式

5、丄-丄 =一!一相聯(lián)系，便可找到一組解，即- = - + n n +1 n(n +1)6742另外一種方法設小 兒y都是自然數(shù)，且xHy,當丄=丄+丄時，利用上而的變加為減的想法, n x y得算式=丄。nx y這里丄是個單位分數(shù)，所以x n 定大于零，假泄兀一門=0,則x = n + t,代 y入上式得一-一=丄，即y = + /1.n(n +1) yt又因為y是自然數(shù)，所以f 一泄能整除川，即F是於的約數(shù)，有“個就有"個y,這一來我們便得到一個比丄-厶 =一! 更廣泛的等式，即當x = n + t , n n + 1 nn + 1)y = + /?> /是$的約數(shù)時，一定有

6、- = - + -.即tn x y1 1 _ /n n + t n(n + t)上而指岀當x = n + t, y = + llf f是“2的約數(shù)時，一定有丄=丄+丄，這里 tn x y燈=6 j=36, 36 共有仁 2, 3, 4. 6, 9, 12, 18, 36 九個約數(shù)。當/ = 1 時，x = 7, y = 42當 t = 2 時，% = 8, y = 24當f=3時，x = 9，y = 18當=4時，x = 10, y = 15當r=6時，x = 12, y = 10當r=9時，x = 15, y = 10當r = 12時，x=18, y = 9當r = 18時，x = 24,

7、y = 8當7 = 36時，x = 42, y = 7故（）和所代表的兩數(shù)和分別為49, 32, 27, 25。【模擬試題】（答題時間：20分鐘）二.嘗試體驗：1.計算：111 1 111111201x2 2x3 3x498x99 99x100r11111111111113 6101521283645556678911053.已知兀、y是互不相等的自然數(shù)，當=-+丄時，求x + y。18 x y22222222 +Z+丄11202+ 240H1 1+ 36【試題答案】1.計算：1 11 1 111F 11x2 2x3 3x498x99 99x10011111 11 1 1=11112 2 3

8、3 498 99 99 100100_ 99"100r 11111111111112. i I算:+ + + + + + + + + + + +3 6101521283645556678911052=+ + + + + + + + T + +61220304256729011013215618221011 1 11 11 1 12x33x44x55x66x77x88x99x1010x11 1 1 1+)11x12 12x13 13x14 14x15 15x160 J 1、2 16丄8783. 已知兒y是互不相等的自然數(shù)，當- = - +丄時，求x + y。18 x yx + y的值為：75, 81, 96, 121, 147, 200, 36仁因為18的約數(shù)有1, 2, 3, 6, 9, 18,共6個，所以有卩 J)1818x(l + l)1 1+2 1 118 " 18x(l + 2) " 542754 + 27 = 8111 + 311=11818x(l + 3)722472 + 24 = 961 1 + 6 1 118 " 18x(l + 6) " 1262121 + 126=14711 + 911=+ 1818x(l + 9)1802020+180 = 2001 1 + 18 1 1=1