平面向量的坐標(biāo)表示

1、平面向量的坐標(biāo)表示共線向量的坐標(biāo)表示課 型：新授課課 時(shí)：1課時(shí)一、教材分析1. 前面學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)表示，實(shí)際是平面向量的代數(shù)表示.在引入了 平面向量的坐標(biāo)表示后可使向量完全代數(shù)化 ，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，這就可以 使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量運(yùn)算 .2. 本小節(jié)主要是運(yùn)用向量線性運(yùn)算的交換律、結(jié)合律、分配律，推導(dǎo)兩個(gè)向量的和的坐標(biāo)、差的坐標(biāo)以及數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算 .推導(dǎo)的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用向量線性 運(yùn)算的交換律、結(jié)合律和分配律.3. 引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示后，向量的線性運(yùn)算可以通過坐標(biāo)運(yùn)算來實(shí)現(xiàn) ，一個(gè)自然的想法是向量的某些關(guān)系，特別是向量的平行、垂直,是否也能通過坐標(biāo)來研 究呢？前面

2、已經(jīng)找出兩個(gè)向量共線的條件（如果存在實(shí)數(shù)，使得a b,那么a與b共線）,本節(jié)則進(jìn)一步地把向量共線的條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示.這種轉(zhuǎn)化是比較容易的，只要將向量用坐標(biāo)表示出來，再運(yùn)用向量相等的條件就可以得出平面 向量共線的坐標(biāo)表示.要注意的是，向量的共線與向量的平行是一致的.二、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能目標(biāo)進(jìn)一步掌握平面向量正交分解及其坐標(biāo)表示；會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、 減及數(shù)乘運(yùn)算；會(huì)推導(dǎo)并熟記兩向量共線時(shí)坐標(biāo)表示的充要條件.2、過程與方法在平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上得到平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及向量平行 的坐標(biāo)表示；最后通過講解例題，鞏固知識(shí)結(jié)論，能利用兩向量共線的坐標(biāo)表示 解決有關(guān)綜合問題，培養(yǎng)學(xué)

3、生應(yīng)用能力.3、情感態(tài)度與價(jià)值觀通過學(xué)習(xí)向量共線的坐標(biāo)表示，讓學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)形結(jié)合的思想；使學(xué)生認(rèn)識(shí) 事物之間的相互聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生辨證思維能力；培養(yǎng)學(xué)生勇于創(chuàng)新的精神.、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.難點(diǎn)：對(duì)平面向量共線的坐標(biāo)表示的理解.四、教學(xué)過程1、創(chuàng)設(shè)情境前面，我們學(xué)習(xí)了平面向量可以用坐標(biāo)來表示，并且向量之間可以進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算。這就為解決問題提供了方便。我們又知道共線向量的條件是當(dāng)且僅當(dāng)有一 個(gè)實(shí)數(shù)，使得ab，那么這個(gè)條件是否也能用坐標(biāo)來表示呢？復(fù)習(xí)引入：平面向量的坐標(biāo)表示分別取與X軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底.任作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)

4、數(shù)x、y，使得":背a xi yj把(x,y)叫做向量a的(直角)坐標(biāo)，記作a (x, y)"產(chǎn)：其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)， 特別地，i (1,0)，j (0,1)，0(0,0).因此，我們有必要探究一下這個(gè)問題：兩向量共線的坐標(biāo)表示。2、新知探究(1)問題1:我們研究了平面向量的坐標(biāo)表示,現(xiàn)在已知a (x1, y-! ),b (x2, y2), 你能得出a b, a b, a的坐標(biāo)表示嗎？活動(dòng)：教師讓學(xué)生通過向量的坐標(biāo)表示來進(jìn)行兩個(gè)向量的加、減運(yùn)算,教師可以讓學(xué)生到黑板去板書步驟.可得：a b (x1i%j)(x?iy?j)區(qū) X2)i(y1 y

5、?) j即a b (x1X2,%y?)a b (x1i yj) g y?)(x1 x?，( y?"a b (xi X2，% y)a(Xiiyi j)Xii% j 即 a ( Xi, yj結(jié)論：兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)等于兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差；數(shù)乘向量的坐標(biāo)等于數(shù)乘上向量相應(yīng)坐標(biāo)的積例 1:已知 a =(2 ,1)， b =(-3 ,4)，求 a +b， a- b，3a +4b .解：a b (2,1)( 3,4)(2 3,1 4)( 1,5)a b (2,1) ( 3,4)(2 ( 3),1 4) (5, 3)3a 4b 3(2,1) 4( 3,4) (6,3)( 12,16)(6

6、 12,3 16)( 6,19)rrr r r r練習(xí)：已知 a =(-2 ,4)，b=(1 ,2)，求 a + b，-3 a -2 b .(2)問題2：如何用坐標(biāo)表示兩個(gè)共線向量？若a(x-!,y1),b(x2,y2),那么上亙是向量a,b共線的什么條件？活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生類比直線平行的特點(diǎn)來推導(dǎo)向量共線時(shí)的關(guān)系此處教師要對(duì)探究困難的學(xué)生給以必要的點(diǎn)撥：設(shè)a (X1,yj,b (X2, y?),其中 b實(shí)數(shù)，使得a如果用坐標(biāo)表示，可寫為(X1,yj0.我們知道，a,b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在b(X2, y2).X1X2y1y2消去后得x1 y2 x2 y10.這就是說，當(dāng)且僅當(dāng)x°2 X

7、2y10時(shí)向量a,b ( b 0)共線.又我們知道x°2 X2y10與x°2 X2 y1 x是等價(jià)的，但這與“ 上 是不等價(jià)的.X-Ix2因?yàn)楫?dāng) x1x20時(shí)，x1 y2 x2y10成立，但必池均無意義.X1x2因此 上 y2是向量a,b共線的充分不必要條件X! x2注: 1°消去 時(shí)不能兩式相除，T yiy有可能為0,而b 0,二x1,y2中至少有一 個(gè)不為0.2°充要條件不能寫成上 空(t Xi,X2有可能為0).a bXi y2X2 yi 0X1 x23°從而向量共線的充要條件有兩種形式：a / b (b 0)3、典型例題例 1 已知 a

8、 (4,2), b (6, y)，且 a / b，求 y. 解： ab ,二 4y 2 60 .二 y 3 .點(diǎn)評(píng)：利用平面向量共線的充要條件直接求解變式訓(xùn)練：已知平面向量a (1,2) ,b ( 2,m)，且a/b，則2舌3b等例2:已知A( 1, 1) , B(1,3) , C(2,5)，試判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系.解:在平面直角坐標(biāo)系中做出 A、B、C 點(diǎn)共線，下面給出證明.uuuLULT AB (1 ( 1),3 ( 1) (2,4)，AC又 2 6 3 4 0，uuu UULT AB / AC .直線AB、直線AC有公共點(diǎn)A點(diǎn)評(píng)：若從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量共線變式訓(xùn)練2:若A(

9、x，-1)例3:設(shè)點(diǎn)P是線段P1P2上的一點(diǎn)B(1，3)，q2，5)R、點(diǎn)，觀察圖形我們猜想 A、B、C三(2 ( 1),5 ( 1)(3,6)， A，B，C三點(diǎn)共線則這兩個(gè)向量的三個(gè)頂點(diǎn)共線.三點(diǎn)共線，貝U x的值為P2的坐標(biāo)分別是(X1, yJ(X2, y2).(1)當(dāng)點(diǎn)P是線段RP2的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).x解：(1)如圖(1)由向量的線性運(yùn)算可知0P1(On Op；)XiX2yiy2所以，點(diǎn)p的坐標(biāo)為寧，寧(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，有兩種情況，即FP pp；或PP22PF2 .如果PiP pp；(圖2(2),那么OP 0P1PiP0P1OR(OP2OPi)-Op,丄葩332x1 x2 2y1y2即點(diǎn)P的坐標(biāo)為:2xi X2 2yi y2同理如果麗2雨時(shí)（圖（3）,那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為：寧 A尹點(diǎn)評(píng)：此題實(shí)際上給出了線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式和線段三等分點(diǎn)坐標(biāo)公式 .4、課堂小結(jié) 熟悉平面向量共線充要條件的兩種表達(dá)形式； 會(huì)用平面向量平行的充要條件的坐標(biāo)形式證明三點(diǎn)共線和兩直線平行； 明白判斷兩直