平面向量的坐標表示

1、平面向量的坐標表示共線向量的坐標表示課 型：新授課課 時：1課時一、教材分析1. 前面學習了平面向量的坐標表示，實際是平面向量的代數表示.在引入了 平面向量的坐標表示后可使向量完全代數化 ，將數與形緊密結合起來，這就可以 使很多幾何問題的解答轉化為學生熟知的數量運算 .2. 本小節(jié)主要是運用向量線性運算的交換律、結合律、分配律，推導兩個向量的和的坐標、差的坐標以及數乘的坐標運算 .推導的關鍵是靈活運用向量線性 運算的交換律、結合律和分配律.3. 引進向量的坐標表示后，向量的線性運算可以通過坐標運算來實現 ，一個自然的想法是向量的某些關系，特別是向量的平行、垂直,是否也能通過坐標來研 究呢？前面

2、已經找出兩個向量共線的條件（如果存在實數，使得a b,那么a與b共線）,本節(jié)則進一步地把向量共線的條件轉化為坐標表示.這種轉化是比較容易的，只要將向量用坐標表示出來，再運用向量相等的條件就可以得出平面 向量共線的坐標表示.要注意的是，向量的共線與向量的平行是一致的.二、教學目標1、知識與技能目標進一步掌握平面向量正交分解及其坐標表示；會用坐標表示平面向量的加、 減及數乘運算；會推導并熟記兩向量共線時坐標表示的充要條件.2、過程與方法在平面向量坐標表示的基礎上得到平面向量線性運算的坐標表示及向量平行 的坐標表示；最后通過講解例題，鞏固知識結論，能利用兩向量共線的坐標表示 解決有關綜合問題，培養(yǎng)學

3、生應用能力.3、情感態(tài)度與價值觀通過學習向量共線的坐標表示，讓學生領悟到數形結合的思想；使學生認識 事物之間的相互聯系，培養(yǎng)學生辨證思維能力；培養(yǎng)學生勇于創(chuàng)新的精神.、教學重點、難點 重點：平面向量的坐標運算.難點：對平面向量共線的坐標表示的理解.四、教學過程1、創(chuàng)設情境前面，我們學習了平面向量可以用坐標來表示，并且向量之間可以進行坐標運算。這就為解決問題提供了方便。我們又知道共線向量的條件是當且僅當有一 個實數，使得ab，那么這個條件是否也能用坐標來表示呢？復習引入：平面向量的坐標表示分別取與X軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底.任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實

4、數x、y，使得":背a xi yj把(x,y)叫做向量a的(直角)坐標，記作a (x, y)"產：其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標， 特別地，i (1,0)，j (0,1)，0(0,0).因此，我們有必要探究一下這個問題：兩向量共線的坐標表示。2、新知探究(1)問題1:我們研究了平面向量的坐標表示,現在已知a (x1, y-! ),b (x2, y2), 你能得出a b, a b, a的坐標表示嗎？活動：教師讓學生通過向量的坐標表示來進行兩個向量的加、減運算,教師可以讓學生到黑板去板書步驟.可得：a b (x1i%j)(x?iy?j)區(qū) X2)i(y1 y

5、?) j即a b (x1X2,%y?)a b (x1i yj) g y?)(x1 x?，( y?"a b (xi X2，% y)a(Xiiyi j)Xii% j 即 a ( Xi, yj結論：兩個向量的和與差的坐標等于兩個向量相應坐標的和與差；數乘向量的坐標等于數乘上向量相應坐標的積例 1:已知 a =(2 ,1)， b =(-3 ,4)，求 a +b， a- b，3a +4b .解：a b (2,1)( 3,4)(2 3,1 4)( 1,5)a b (2,1) ( 3,4)(2 ( 3),1 4) (5, 3)3a 4b 3(2,1) 4( 3,4) (6,3)( 12,16)(6

6、 12,3 16)( 6,19)rrr r r r練習：已知 a =(-2 ,4)，b=(1 ,2)，求 a + b，-3 a -2 b .(2)問題2：如何用坐標表示兩個共線向量？若a(x-!,y1),b(x2,y2),那么上亙是向量a,b共線的什么條件？活動:教師引導學生類比直線平行的特點來推導向量共線時的關系此處教師要對探究困難的學生給以必要的點撥：設a (X1,yj,b (X2, y?),其中 b實數，使得a如果用坐標表示，可寫為(X1,yj0.我們知道，a,b共線，當且僅當存在b(X2, y2).X1X2y1y2消去后得x1 y2 x2 y10.這就是說，當且僅當x°2 X

7、2y10時向量a,b ( b 0)共線.又我們知道x°2 X2y10與x°2 X2 y1 x是等價的，但這與“ 上 是不等價的.X-Ix2因為當 x1x20時，x1 y2 x2y10成立，但必池均無意義.X1x2因此 上 y2是向量a,b共線的充分不必要條件X! x2注: 1°消去 時不能兩式相除，T yiy有可能為0,而b 0,二x1,y2中至少有一 個不為0.2°充要條件不能寫成上 空(t Xi,X2有可能為0).a bXi y2X2 yi 0X1 x23°從而向量共線的充要條件有兩種形式：a / b (b 0)3、典型例題例 1 已知 a

8、 (4,2), b (6, y)，且 a / b，求 y. 解： ab ,二 4y 2 60 .二 y 3 .點評：利用平面向量共線的充要條件直接求解變式訓練：已知平面向量a (1,2) ,b ( 2,m)，且a/b，則2舌3b等例2:已知A( 1, 1) , B(1,3) , C(2,5)，試判斷A、B、C三點之間的位置關系.解:在平面直角坐標系中做出 A、B、C 點共線，下面給出證明.uuuLULT AB (1 ( 1),3 ( 1) (2,4)，AC又 2 6 3 4 0，uuu UULT AB / AC .直線AB、直線AC有公共點A點評：若從同一點出發(fā)的兩個向量共線變式訓練2:若A(

9、x，-1)例3:設點P是線段P1P2上的一點B(1，3)，q2，5)R、點，觀察圖形我們猜想 A、B、C三(2 ( 1),5 ( 1)(3,6)， A，B，C三點共線則這兩個向量的三個頂點共線.三點共線，貝U x的值為P2的坐標分別是(X1, yJ(X2, y2).(1)當點P是線段RP2的中點時，求點P的坐標;(2)當點P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標.x解：(1)如圖(1)由向量的線性運算可知0P1(On Op；)XiX2yiy2所以，點p的坐標為寧，寧(2)如圖，當點P是線段P1P2的一個三等分點時，有兩種情況，即FP pp；或PP22PF2 .如果PiP pp；(圖2(2),那么OP 0P1PiP0P1OR(OP2OPi)-Op,丄葩332x1 x2 2y1y2即點P的坐標為:2xi X2 2yi y2同理如果麗2雨時（圖（3）,那么點P的坐標為：寧 A尹點評：此題實際上給出了線段的中點坐標公式和線段三等分點坐標公式 .4、課堂小結 熟悉平面向量共線充要條件的兩種表達形式； 會用平面向量平行的充要條件的坐標形式證明三點共線和兩直線平行； 明白判斷兩直