高等數(shù)學(xué)教學(xué)教案§5 7反常積分

1、六六老師數(shù)學(xué)網(wǎng)專(zhuān)用資料： http:/y66.80.hk qq：745924769 tel#167;5. 7 反常積分授課次序34教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題§5. 7 反常積分教學(xué)方法當(dāng)堂講授，輔以多媒體教學(xué)教學(xué)重點(diǎn)反常積分教學(xué)難點(diǎn)反常積分的概念與計(jì)算參考教材同濟(jì)大學(xué)編高等數(shù)學(xué)（第6版）自編教材高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程作業(yè)布置高等數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)雙語(yǔ)教學(xué)函數(shù)：function；極限：limit；定積分：definite integral課堂教學(xué)目標(biāo)1 了解反常積分的概念2 會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單反常積分。教學(xué)過(guò)程1無(wú)窮限反常積分的概念（20min）；2無(wú)窮限反常積分的計(jì)算（

2、25min）；3無(wú)界函數(shù)反常積分的定義（20min）4無(wú)界函數(shù)反常積分的計(jì)算（25min）教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容§5. 7 反常積分一、無(wú)窮限的反常積分 定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, +¥)上連續(xù), 取b>a . 如果極限 存在, 則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間a, +¥)上的反常積分, 記作, 即. 這時(shí)也稱(chēng)反常積分收斂. 如果上述極限不存在, 函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間a, +¥)上的反常積分就沒(méi)有意義, 此時(shí)稱(chēng)反常積分發(fā)散. 類(lèi)似地, 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-¥, b 上連續(xù), 如果極限(a<b)存在, 則稱(chēng)此極限為函數(shù)f

3、(x)在無(wú)窮區(qū)間(-¥, b 上的反常積分, 記作, 即. 這時(shí)也稱(chēng)反常積分收斂. 如果上述極限不存在, 則稱(chēng)反常積分發(fā)散. 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-¥, +¥)上連續(xù), 如果反常積分和都收斂, 則稱(chēng)上述兩個(gè)反常積分的和為函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間(-¥, +¥)上的反常積分, 記作, 即. 這時(shí)也稱(chēng)反常積分收斂. 如果上式右端有一個(gè)反常積分發(fā)散, 則稱(chēng)反常積分發(fā)散. 定義1¢ 連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, +¥)上的反常積分定義為. 在反常積分的定義式中, 如果極限存在, 則稱(chēng)此反常積分收斂; 否則稱(chēng)此反常積分發(fā)散. 類(lèi)似地,

4、連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-¥, b上和在區(qū)間(-¥, +¥)上的反常積分定義為. 反常積分的計(jì)算: 如果F(x)是f(x)的原函數(shù), 則 . 可采用如下簡(jiǎn)記形式: . 類(lèi)似地 , . 例1 計(jì)算反常積分. 解 . 例2 計(jì)算反常積分 (p是常數(shù), 且p>0). 解 . 提示: . 例3 討論反常積分(a>0)的斂散性. 解 當(dāng)p=1時(shí), . 當(dāng)p<1時(shí), . 當(dāng)p>1時(shí), . 因此, 當(dāng)p>1時(shí), 此反常積分收斂, 其值為; 當(dāng)p£1時(shí), 此反常積分發(fā)散. 二、無(wú)界函數(shù)的反常積分 定義2 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b上連續(xù)

5、, 而在點(diǎn)a的右鄰域內(nèi)無(wú)界. 取e>0, 如果極限存在, 則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x)在(a, b上的反常積分, 仍然記作, 即. 這時(shí)也稱(chēng)反常積分收斂. 如果上述極限不存在, 就稱(chēng)反常積分發(fā)散. 類(lèi)似地, 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b)上連續(xù), 而在點(diǎn)b 的左鄰域內(nèi)無(wú)界. 取e>0, 如果極限存在, 則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x)在a, b)上的反常積分, 仍然記作, 即. 這時(shí)也稱(chēng)反常積分收斂. 如果上述極限不存在, 就稱(chēng)反常積分發(fā)散. 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上除點(diǎn)c(a<c<b)外連續(xù), 而在點(diǎn)c的鄰域內(nèi)無(wú)界. 如果兩個(gè)反常積分與都收斂, 則定義. 否則, 就稱(chēng)反常積

6、分發(fā)散. 瑕點(diǎn): 如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)a的任一鄰域內(nèi)都無(wú)界, 那么點(diǎn)a稱(chēng)為函數(shù)f(x)的瑕點(diǎn), 也稱(chēng)為無(wú)界 定義2¢ 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b上連續(xù), 點(diǎn)a為f(x)的瑕點(diǎn). 函數(shù)f(x)在(a, b上的反常積分定義為. 在反常積分的定義式中, 如果極限存在, 則稱(chēng)此反常積分收斂; 否則稱(chēng)此反常積分發(fā)散. 類(lèi)似地,函數(shù)f(x)在a, b)(b為瑕點(diǎn))上的反常積分定義為. 函數(shù)f(x)在a, c)È(c, b (c為瑕點(diǎn))上的反常積分定義為 . 反常積分的計(jì)算: 如果F(x)為f(x)的原函數(shù), 則有 .可采用如下簡(jiǎn)記形式: . 類(lèi)似地, 有 , 當(dāng)a為瑕點(diǎn)時(shí),; 當(dāng)b為瑕點(diǎn)時(shí),. 當(dāng)c (a<c<b )為瑕點(diǎn)時(shí), . 例4 計(jì)算反常積分. 解 因?yàn)? 所以點(diǎn)a為被積函數(shù)的瑕點(diǎn). . 例5 討論反常積分的收斂性. 解 函數(shù)在區(qū)間-1, 1上除x=0外連續(xù), 且. 由于, 即反常積分發(fā)散, 所以反常積分發(fā)散. 例6 討論反常積分的斂散性. 解 當(dāng)q=1時(shí), . 當(dāng)q&