八年級(jí)勾股定理培優(yōu)題型歸納總結(jié)

1、勾股定理培優(yōu)題型歸納總結(jié)一、巧解幾何圖形折疊問題折疊圖形的主要特征是折登前后的兩個(gè)圖形繞著折線翻折能夠完全重合，解答折疊,問題就 是巧用軸對(duì)稱及全等的性質(zhì)解答折疊中的變化規(guī)律.利用勾股定理解答折疊問題的一般步驟:運(yùn)用折疊圖形的性質(zhì)找出相等的線段或角：(2)在圖形中找到一個(gè)直角三角形，然后設(shè)圖形中某一線段的長(zhǎng)為x,將此直角三角形,的三邊 長(zhǎng)用數(shù)或含有x的代數(shù)式表示出來：(3)利用勾股定理列方程求出x： (4)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算解決問題.考點(diǎn)1、巧用對(duì)稱法求折疊中圖形的面積1、將長(zhǎng)方形A8CO沿直線刀。折卷，使點(diǎn)C落在點(diǎn)。處，BC交AD于E, AO=8, A8=4,A E /、0求而積.來【解析】由題意

2、易知AO8G，N2=N3.,: ABCD 與A BCD 關(guān)于直線 8D對(duì)稱，AZ1 = Z2.，N1 = N3.：.EB=ED.設(shè) 則 EO=x, AE=AO-ED=8一工在 Rd A8E 中，AB2+AE2=BE2,42+(8 - x)2=/.，x=5.ZD£=5.ZS=S£d=£UB=1x5x4=10.考點(diǎn)2、巧用全等法求折疊中線段的長(zhǎng)1、如圖是一直角三角形紙r片，NA = 30。，BC=4cm,將其折疊，使點(diǎn)。落在斜邊上的點(diǎn)。處，折痕為3。，如圖，再將圖沿OE折疊，使點(diǎn)A落在。C的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)水處,如圖，則折痕。上的長(zhǎng)為（8A. - cm B.24cm C.

3、 2娘cm D. 3 cm【答案】AJ考點(diǎn)3,巧用折疊探究線段之間的數(shù)立關(guān)系1、如圖，將長(zhǎng)方形ABCO沿直線上尸折疊，使點(diǎn)。與點(diǎn)A重合，折痕交A。于點(diǎn)E,殳BC于點(diǎn)F，連接(1)求證：AE=AF=CE=CF(2)設(shè) AE=n, ED=b, DC=c,請(qǐng)寫出一個(gè)小b, G三者之間。的數(shù)量關(guān)系式.證明：由題怠知，AF=CF, AE=CE, /AFE=/CFE,又四邊形A8CO是長(zhǎng)方形，故AD/BC, ：. ZAEF= ZCFE.：. NAFE= ZAEF. ：.AE=AF=EC=CF.(2)【解析】由題意知,AE=EC=cb E,D=b, DC=c,由 NQ=90。知,ED2+DC2 = CE2,

4、即分+/=/考點(diǎn)4、巧用方程思想求折疊中線段的長(zhǎng)1、如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E是邊。的中1s點(diǎn),將 ADE沿AE對(duì)折侄 AFE, 延長(zhǎng)EF交BC于點(diǎn)G,連接AG.求證：b ABGWAFG： 2）求8G的長(zhǎng).(1)證明：在正方形 A5CO 中，AD=AB, ZD=ZB=90°.將 ADE 沿 AE 對(duì)茄至 AFE, ：.AD=AF, ZD=ZAFE=90°.：.AB=AFf N8=NAFG=90。,又AG=AG, AR/a ABGRtA AFG(HL).(2)【解析】ABG烏 AAEG, ：BG產(chǎn)FG.設(shè) BG=FG=x,則 GC=6；v, 口E 為 CO 的中點(diǎn)

5、，：.CE=DE=EF=3, ，EG=3+x，在 RfZkCEG 中，32+(6-x)2=(3+x)2,解得x=2,，BG=2.專題二、勾股定理求最短路徑長(zhǎng)度問題求最短距離的問題，第一種是通過.計(jì)算比較解最短問題：第二種是平面圖形，將分散的條 件通過幾何變換(平移或軸對(duì)稱)進(jìn)行集中，然后借助勾股定理解決；第三種是立體圖形，將 立體圖形展開為平面圖形，在平面圖形中將路程轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，然后借助直角三角 形利.用勾股定理求出最短路程(距離), 考點(diǎn)1、通過計(jì)算比較解最短問題1、小明聽說“武黃城際列車”已經(jīng)開通，便設(shè)計(jì)了如下問題：如圖，以往從黃石A坐客車到 武昌客運(yùn)站8, 現(xiàn)在可以在黃石A坐“武

6、黃城際列車”到武漢青山站C,再從青山站。坐市 內(nèi)公共汽車到武昌.客運(yùn)站3.設(shè)A8=80妨j, BC=20km, NABC= 120。.請(qǐng)你幫助小明解決以 下問題：(1)求A,。之間的距離.(參考數(shù)據(jù)：21=4.6)(2)若客車的平均速度是60 km/h,市內(nèi)的公共汽車的平均速度為40 h小，“武黃城際列車” 的平均速度為180h小，為了在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)武昌客運(yùn)站，小明應(yīng)選擇哪種乘車方案？請(qǐng) 說明理由.(不計(jì)候車時(shí)間)【解析】(1)如圖，過點(diǎn)C作AB的垂線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)£V ZABC= 120°,，NBCE=300,在 Ra C8E 中，9：BC=20knu ：.BE=

7、0km.由勾股定理可得CE= 10小km.在 Rd ACE 中，9：AC2=AE2+CE2=(AB+BE)2 + CE2=8 100+300=8 400, ，AC=20Vi=20x4.6=92(k).(2)選擇乘“武黃城際列車”.理由如下：乘客車所需時(shí)間為群電)，乘“武黃城際列車”所需時(shí)間約為需+于島的.志選擇乘“武黃城際列車”.2、如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有極少數(shù)人從A走到8,為了避免拐角C走''捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他J門僅僅少走了 步路(假設(shè)2步為1。，卻踩傷了花草.【答案】4考點(diǎn)2、用平移法求平面中最短問題1、如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分

8、別是50o，30cm, 0cni, A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn),A點(diǎn)上有一只壁虎,它想到3點(diǎn)去吃可口的食物,請(qǐng)你想一想，這只壁虎從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階而爬到5點(diǎn)，至少需爬()A. 13 cm B. 40 cm C. 130 cm D. 169 cm【解析】將臺(tái)階而展開，連接A8,如圖，線段AB即為壁虎所爬的最短路線.因?yàn)?3c=30x3+10x3=120Q)，AC =50 cm.在ABC 中，根據(jù)勾股定理,得ABZnAC+BnlGgOO,所以A8= 130cn所以壁虎至少爬行130cn 2、如圖，己知N8=N.C=NO=NE=90。，且 AB=CO=3, 3c=4, DE=EF=2,則 A

9、E的長(zhǎng)足【答案】10 考點(diǎn)3、用對(duì)稱法求平面中最短問題1、如圖，正方形A8CQ的邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)M在OC上且0M=2, N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，求ON+MN最小值【解析】如圖所示，：正方形是軸對(duì)稱圖形，點(diǎn)8與點(diǎn)D是關(guān)于直線AC為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn) ，連接BN, BD,則直線AC即為8。的垂直平分線，:.BN=ND.,:.DN+MN=BN+MN.連接8M交AC于點(diǎn)P, ,點(diǎn)N為AC上的動(dòng)點(diǎn)，由三角形兩邊之和大于第三邊， 知當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí)，DN+MN=BP+PM=BM, ON+MN的最小值為8M的長(zhǎng)度.:四邊形 A5CO 為正方形，8C=CO=8, CM=8-2 = 6,ZBCM=90°, AM

10、=MbC2+CM2=、82+62=10,即 DN+MN 的最小值為 10.2、高速公路的同一側(cè)有A, 8兩城鎮(zhèn)，如圖，它.們到高速公路所在直線MN的距離分別為AA'=2k，BB'=4 km, A'8'=8 h”,要在高速公路上AA比'之間建一個(gè)出口 P,使A, B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小.求這個(gè)最短距離.【解析】如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)C,連接AC交MN于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即為所建的出口.此時(shí)A, 3兩城鎮(zhèn)到出口 P的距離之和最小，最短距離為AC的長(zhǎng).作AO_L8夕于點(diǎn)。，在 RdADC 中，AD=AB=8ki, DC=6 km., .MC=/AD2+

11、DC2= 10 km. 這個(gè)最短距離為10考點(diǎn)4、用展開法求回柱中的最短問題2如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為/高為2, AB, CO分別是兩底面的直徑.若一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā)，沿圓柱側(cè)面爬行到。點(diǎn)，則小蟲爬行的最短路線的長(zhǎng)度是(結(jié)果保留根號(hào)).7 / z z / 【解析】將圓柱體的側(cè)面沿AO剪開并鋪平得長(zhǎng)方形/VVOD,連接AC,如圖.線段AC就 21是小蟲爬行的最短路線.48=,2仍2=2.在由 ABC中，由勾股定理得從。2=八鼠+8。2= 22+22=8,."。=m=2班.考點(diǎn)5、用展開法求圓錐中的兼短問題已知：如圖，觀察圖形回答下而的問題：(1)此圖形的名稱為.(2)請(qǐng)你與同伴一

12、起做一個(gè)這樣的物體，并把它沿AS剪開，鋪在桌而上，則它的側(cè)面展開圖 是一個(gè).(3)如果點(diǎn)。是SA的中點(diǎn)，在A處有一只蝸牛，在C處恰好有蝸牛想吃的食品，但它又不 能直接沿AC爬到。處，只能沿此立體圖形的表而爬行，你能在側(cè)而展開圖中畫出蝸牛爬行 的最短路,線嗎？(4)SA的長(zhǎng)為10,側(cè)而展開圖的圓心角為90。，請(qǐng)你求出蝸牛爬行的最短路程.SaAAC【解析】（1）圓錐（2）扇形 把此立體圖形的側(cè)面展開，如圖所示，AC為蝸牛爬行的最短路線（4）在RaASC中，由勾股定理，得從。=1。2+52= 125,，AC=yi芯=54，故蝸牛爬行的最短潞程為54.考點(diǎn)6、用展開法求正方體中的最短問題 如圖,，一個(gè)正方體木柜放在墻角處（與墻而和地面均沒有隙），有一只螞蟻從柜角A處沿著 木柜表面爬到柜角G處.請(qǐng)你在正方體木柜的表面展開圖中畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑: 當(dāng)正方體木柜的棱長(zhǎng)為4時(shí)，求螞蟻爬過的最短路徑的長(zhǎng).解析】（1）螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖的AC1和AG.如佟I,（4+4） 2+42=4書.所以螞蟻爬過的最短路徑的長(zhǎng)是44.考點(diǎn)7、用展開法求長(zhǎng)方體中的選短問題如圖，長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別是12 cm, 8 cm, 30。%在AB的中點(diǎn)。處有一滴蜜糖,一只小蟲從E處沿盒子表面爬到。處去吃，求小蟲爬行的最