輸電線路導(dǎo)線束的振動(dòng)

1、輸電線路導(dǎo)線束的振動(dòng)摘要本文論述了在簡(jiǎn)諧激振力作用下，電纜束所作出的反應(yīng)。它顯示了由間隔彈性矩陣表達(dá)的間隔棒特征將怎樣利用特定類型的固有模式以及過多的間隔棒剛度將對(duì)靠近間隔棒線夾的電纜造成怎樣的急劇彎曲應(yīng)變。本文將會(huì)分析間隔棒阻尼器的表現(xiàn)并會(huì)論述如何優(yōu)化他們的特征。基本的分析技術(shù)讓我們假想a個(gè)緊繃的電纜的一個(gè)檔距，它由n-1個(gè)間隔棒連接而成，因此形成了n個(gè)次檔距，并且每個(gè)次檔距都有一個(gè)不同的長(zhǎng)度Li.沿一個(gè)次檔距i距離為x的電纜在廣義截面上的物理?xiàng)l件是通過以下參數(shù)進(jìn)行評(píng)估的：位移量y，旋轉(zhuǎn)量，時(shí)刻M以及作用在那個(gè)橫截面上的力Q的合力。為了對(duì)每個(gè)子導(dǎo)線進(jìn)行評(píng)估，以上參數(shù)將沿一個(gè)方向進(jìn)行表達(dá)出來，

2、我們必須用兩個(gè)正交的參考平面對(duì)每個(gè)子導(dǎo)線進(jìn)行評(píng)估。如果把每個(gè)次檔距標(biāo)記為i（i=1,2,3n)進(jìn)行評(píng)估，每個(gè)電纜通過端點(diǎn)（=1,2，3a)進(jìn)行評(píng)估并且每個(gè)參考平面的下標(biāo)為s(s=1,2,32a),那么將表達(dá)子導(dǎo)線的位移，并且是沿參考平面s次檔距i且距離為x。在其它三個(gè)參數(shù)上會(huì)使用相同的計(jì)號(hào)，。因此很明顯，評(píng)估一個(gè)橫截面上的物理?xiàng)l件需要8個(gè)參數(shù)，評(píng)估a個(gè)子導(dǎo)線束的截面需要8a個(gè)參數(shù)。如果我們使用傳統(tǒng)的矩陣術(shù)語(yǔ)，一個(gè)成分是8a個(gè)參數(shù)的，的狀態(tài)向量，并且可以評(píng)估導(dǎo)線束在次檔距i的廣義橫截面x上的物理?xiàng)l件。用矩陣表示法：=.它顯示當(dāng)x=0時(shí)，怎樣用傳遞矩陣來獲得次檔距i的一個(gè)廣義橫截面x的所有參數(shù)。為

3、了把狀態(tài)向量從x=Li的次檔距i的末端轉(zhuǎn)移到下一個(gè)x=0的次檔距（i+1)的起點(diǎn)，在間隔棒連接點(diǎn)必須用一個(gè)傳遞矩陣：=.這樣一個(gè)點(diǎn)矩陣僅取決于間隔棒的特征并且如果在整個(gè)檔距上使用相同的間隔棒,那么可以評(píng)估如下的積矩陣:D=.并且因此:=.如果兩個(gè)檔距端點(diǎn)用線夾固定：=0=0.并且如果兩個(gè)檔距端點(diǎn)是可以轉(zhuǎn)動(dòng)的，則：=0=0.因此，對(duì)于夾緊或回轉(zhuǎn)的檔距終端，表達(dá)式將給出一個(gè)具有4a個(gè)變量的4a個(gè)方程的齊次線性系統(tǒng)。場(chǎng)傳遞矩陣是從一個(gè)振動(dòng)電纜的運(yùn)動(dòng)方程中得到的，因此包含頻率。因此，導(dǎo)線束的共振頻率是這些4a個(gè)方程的中提到的系統(tǒng)行列式為0的部分，這就是所謂的頻率行列式。在獲得了所有的共振頻率以后，就可

4、以通過傳遞矩陣，點(diǎn)矩陣以及廣義狀態(tài)向量來評(píng)估狀態(tài)向量成分的相對(duì)大小，這就是沿檔距任意位置上的導(dǎo)線束系統(tǒng)的變形以及相關(guān)參數(shù)。雖然在數(shù)字計(jì)算機(jī)上使用Fortran語(yǔ)言可以很容易的把上述矩陣表示出來，但是為了使它適用于正常輸電線路上發(fā)現(xiàn)的大多數(shù)條件，仍需要一系列的簡(jiǎn)化與修改。詳細(xì)說明了作者為了獲得一個(gè)可靠與合適的計(jì)算方法而必須面對(duì)的各種各樣的困難。特細(xì)說明，如果除了靠近次檔距端點(diǎn)的地方，忽略掉其他沿檔距的電纜的抗彎剛度EJ，那么在計(jì)算中不會(huì)出現(xiàn)明顯的誤差。此外還發(fā)現(xiàn)，間隔棒的抗彎剛度對(duì)導(dǎo)線束的共振頻率以及固有模式變形的影響很小，忽略這些參數(shù)的可能性是因?yàn)橹辽贆n距的一大部分減少了計(jì)算機(jī)的時(shí)間以及所需數(shù)

5、據(jù)的量。用來檢查計(jì)算機(jī)結(jié)果準(zhǔn)確性的實(shí)驗(yàn)測(cè)試，顯示存在百分之十的誤差，作者認(rèn)為造成這種現(xiàn)象的原因是在測(cè)試中，很難再現(xiàn)計(jì)算中所假設(shè)的精確的物理?xiàng)l件。在下面的文章中，將始終假設(shè)導(dǎo)線束的子導(dǎo)線是相同的，也就是說，它們會(huì)有相同的質(zhì)量m，抗彎剛度EJ，將承受相同的拉伸載荷s。雖然針對(duì)不同的電纜情況，基本的分析技術(shù)仍然有效，但是在這種情況下，一些簡(jiǎn)化的使用可能沒有更多的用途。在實(shí)踐中，導(dǎo)線束組成的電纜幾乎具有相同的物理特性，并且在拉伸載荷下的細(xì)微差別太小，所以不會(huì)對(duì)結(jié)果造成太大的影響。二分裂導(dǎo)線主振型讓我們假定兩根電纜的一個(gè)檔距，將它放置在一個(gè)可以使其垂直成形的條件下（圖1）。一些彈性間隔棒聯(lián)接這些電纜，同

6、時(shí)形成了一系列的次檔距Li.對(duì)該系統(tǒng)的分析，可以大大的簡(jiǎn)化此前所采用的分析方法。子導(dǎo)線實(shí)際上是非耦合的，如果振蕩發(fā)生在垂直于平面的方向并且這個(gè)平面包含兩個(gè)子導(dǎo)線和間隔棒，也就是在水平面上。對(duì)于子導(dǎo)線在該方向上的單位位移，間隔棒的反應(yīng)力基本是由其他子導(dǎo)線的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度決定的，考慮到通常的次檔距長(zhǎng)度，這些位移是可以忽略不計(jì)的。如果為了簡(jiǎn)單起見，我們假設(shè)間隔棒沒有重量，導(dǎo)線束在水平方向上發(fā)生振動(dòng)，并且導(dǎo)線束的共振頻率與振動(dòng)模態(tài)和一個(gè)單一的緊繃的電纜重合。如果我們考慮的振蕩發(fā)生在一個(gè)垂直平面上，那么耦合是間隔棒的重要特征。如果將間隔棒的縱向剛度稱為,即使間隔棒產(chǎn)生單位彈性身長(zhǎng)所需的力。并且將間隔棒的彎曲剛

7、度計(jì)作，即使一個(gè)間隔棒末端產(chǎn)生單位旋轉(zhuǎn)做需要的力矩。與其他剛性?shī)A緊，間隔棒點(diǎn)矩陣如表1所示。如果我們忽略了電纜的彎曲剛度，那么作為結(jié)果，間隔棒的抗彎剛度，間隔棒的點(diǎn)矩陣將如表2所示。在第一種情況下，頻率決定因素有8行8列，在第二種情況下，有4行和4列。像之前一樣，可以很容易的得到共振頻率和電纜的變形。為了說明這些計(jì)算結(jié)果，圖2顯示了前24個(gè)振動(dòng)模型的共振頻率和變形程度。這24個(gè)模型取自由兩根鋼芯鋁絞線組成的一段檔距。這兩根鋼芯鋁絞線直徑為31.5mm,間距0.4m,被分成三段并且這三段的長(zhǎng)度分別為15m,16m,15.52m并且質(zhì)量m為0.202，拉伸載荷為4750kg，電纜的彎曲剛度EJ為2

8、00，間隔棒的抗拉剛度為300，間隔棒的抗彎剛度為37.圖2中的橫坐標(biāo)是長(zhǎng)度的比例，而在坐標(biāo)上電纜的位移是相對(duì)于同一個(gè)中心線路而言的。換句話說，圖中，并沒有考慮電纜間距，并且兩個(gè)電纜的中心線也沒有重合。兩間隔棒的位置由兩個(gè)垂直的線顯示出來，并且這兩個(gè)間隔棒將這段檔距分成三個(gè)次檔距。如圖2所示，對(duì)應(yīng)到間隔棒，電纜變形可以受到相當(dāng)大的失真，這是由于間隔棒在電纜上施加力的結(jié)果。同時(shí)也存在振動(dòng)模式，兩個(gè)電纜的變形是相同的，因此，由一根線條顯示出來。在這種情況下，系統(tǒng)作為一根電纜表現(xiàn)出來。對(duì)于這些振動(dòng)模式，電纜在間隔位置的彎曲程度可以和間隔棒縱向剛度不夠低的發(fā)生在剛性固定的檔距端點(diǎn)的彎曲數(shù)值一樣，這些會(huì)

9、在下一步進(jìn)行更深層次的討論。這些振動(dòng)模式的特點(diǎn)是子導(dǎo)線的反相位移，這些模式也是間隔棒耦合系統(tǒng)的典型。值得指出的是，這些模式顯示波腹振動(dòng)振幅在一個(gè)次檔距與另一個(gè)次檔距之間可能是完全不同的。后面針對(duì)這一事實(shí)作進(jìn)一步的討論。然而很清楚的是，整個(gè)檔距上子導(dǎo)線的變形不能像對(duì)待單導(dǎo)體一樣用一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的表達(dá)式表示出來，但是對(duì)于次檔距來說，子導(dǎo)線的變形必須表示出來。值得一提的是，當(dāng)將導(dǎo)線放置在水平面上時(shí)，這種導(dǎo)線束的表現(xiàn)也不會(huì)發(fā)生變化。對(duì)于這種導(dǎo)線束，如果忽略掉間隔棒的重量，垂直振動(dòng)將會(huì)和單一子導(dǎo)線一樣，只有單一的固有頻率和固有模式，然而，橫向振蕩將具有這種單一子導(dǎo)線的固有模式和固有頻率，同時(shí)還有那些“典型

10、的束”。三分裂導(dǎo)線主振型讓我們假設(shè)三根具有一定檔距的緊繃的電纜。一系列彈性間隔棒連接這三根電纜，形成了一系列長(zhǎng)度為L(zhǎng)1，L2.Ln的次檔距。對(duì)于每一個(gè)子導(dǎo)線，如果忽略它的剛度，那么，評(píng)估振蕩的參數(shù)位于經(jīng)過一段次檔距的廣義截面x的x-y平面的位移y和作用在截面x上的力的成分（沿y方向）?？紤]到整個(gè)自導(dǎo)線束并且參考圖3，這是很必要的評(píng)價(jià)，對(duì)于每個(gè)子導(dǎo)線，兩個(gè)正交基準(zhǔn)面將與之相關(guān)的以上參數(shù)聯(lián)系起來，這些參數(shù)將是和。根據(jù)圖3，對(duì)于第一個(gè)子導(dǎo)線，指數(shù)s是1和2，第二個(gè)是3和4，對(duì)于第三個(gè)子導(dǎo)線是5和6.方程將評(píng)估導(dǎo)線束的一個(gè)場(chǎng)傳遞矩陣，檔距i和每個(gè)子導(dǎo)線的各種傳遞矩陣有關(guān)，這種關(guān)系在表III中顯示出來。

11、矩陣可以很容易的從振動(dòng)電纜的運(yùn)動(dòng)方程中獲得，并且：其中：r=,m是單位長(zhǎng)度的電纜質(zhì)量，s是單位長(zhǎng)度的電纜拉伸載荷。方程所示的點(diǎn)矩陣僅取決于間隔棒的特征，更準(zhǔn)確的說是取決于間隔棒的彈性矩陣。一個(gè)三分裂導(dǎo)線的線性彈性特征事實(shí)上可以用第六命令表示的一個(gè)彈性矩陣K表示：=其中，是一個(gè)狀態(tài)向量，它的成分（s=1，2,3.6）是三個(gè)沿六個(gè)參考方向的線夾的位移（圖3），是一個(gè)狀態(tài)向量，它的成分（s=1,2,3.6）是形成在線夾上并沿方向s，由于位移造成的那些力。如果這些力的方向與位移的方向相反，就把這些力計(jì)作正值。如果是矩陣的廣義成分，它將代表由單位位移所造成的力，所有其他的位移都將為0.根據(jù)線性彈性理論系

12、統(tǒng)的理論，=。圖3中所示的間隔棒的彈性矩陣伴隨著15的鉸鏈剛度在表IV中給出。點(diǎn)矩陣可以很容易的從彈性矩陣中獲得，前提是假設(shè)間隔棒線夾兩側(cè)的位移是相同的： =. 并且這些力為：= + .對(duì)于一個(gè)三分裂導(dǎo)線的間隔棒，點(diǎn)矩陣如表V所示。因?yàn)閳?chǎng)傳遞矩陣和點(diǎn)矩陣已經(jīng)被評(píng)估了，所以可以計(jì)算系統(tǒng)的共振頻率和固有模式。用之前的計(jì)算方法得到的三分裂導(dǎo)線的大量的固有模式的詳細(xì)的評(píng)價(jià)顯示它們可以被分為六大類或者六個(gè)類型的振蕩。對(duì)于圖3中所示的裝備有間隔棒的導(dǎo)線束，振蕩類型在表I中，屬于一個(gè)特定類型的所有振蕩模式有一個(gè)共同的事實(shí)，每個(gè)子導(dǎo)線振蕩的平面不隨頻率的變化而變化，此外，子導(dǎo)線振蕩的相對(duì)幅值也不隨頻率的變化而

13、變化。參考表VI和類型IV，并根據(jù)圖3的參考平面，可以知道如果我們假設(shè)沿基準(zhǔn)面1振蕩的振幅有一個(gè)單位值（y=1），那么沿著其他參考平面振蕩的振幅將會(huì)有顯示在列中的屬于類型IV的數(shù)值。進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，所有屬于6個(gè)類型中的三個(gè)類型的固有模式，顯示沒有相對(duì)的間隔棒線夾運(yùn)動(dòng)，其結(jié)果是，他的固有頻率和導(dǎo)體變形與在同一個(gè)緊繃的電纜上發(fā)現(xiàn)的是相同的。這三種類型分別是表IV中的I II III，稱他們?yōu)椤皩?dǎo)線的特征”。所有的屬于表IV的其他固有模式IV，V，VI，確實(shí)造成了間隔棒線夾的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，并有它們特殊的共振頻率，并且子導(dǎo)線的變形和二分裂導(dǎo)線系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)的圖2中顯示的相應(yīng)的反相振蕩類似。這些最后的振蕩類型被作者

14、稱為“典型的導(dǎo)線束”。四分裂導(dǎo)線主振型文章之前介紹的計(jì)算方法直接延伸到四分裂導(dǎo)線。就這樣發(fā)現(xiàn)，四分裂導(dǎo)線系統(tǒng)有8個(gè)類型的振蕩，其中有三個(gè)被稱為“導(dǎo)線的特征”，另外5個(gè)被稱作“典型的導(dǎo)線束”。圖4顯示了一個(gè)被認(rèn)為的四分裂導(dǎo)線的間隔棒，表VII是它的彈性矩陣，鉸鏈的扭轉(zhuǎn)剛度為15，表VIII顯示了發(fā)現(xiàn)的8個(gè)振蕩類型。彈性矩陣的特征值和間隔棒的剛度一個(gè)完整的對(duì)導(dǎo)線束系統(tǒng)的固有頻率，主要模式和振蕩類型的分析調(diào)查說明主模式直接與間隔棒彈性矩陣的特征值相關(guān)，更確切地說，每個(gè)特征值確實(shí)評(píng)估了一個(gè)特定類型的振蕩。表VI和VIII顯示了每個(gè)振蕩類型相應(yīng)的特征值。在以下的物理術(shù)語(yǔ)中可以很直觀的看到這些數(shù)學(xué)事實(shí)。讓

15、我們來考慮圖3所示的間隔棒，特的特征是由表IV中的彈性矩陣表達(dá)的線性彈性特征。根據(jù)之前的假設(shè)，間隔棒沒有重量?，F(xiàn)在讓我們連接到每個(gè)間隔棒線夾的重量，他們的重量是相同的并且每個(gè)的重量是m。如果我們寫下這個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，它有六個(gè)自由度，我們將會(huì)獲得具有六個(gè)變量的6個(gè)方程的齊次線性系統(tǒng)。如果我們現(xiàn)在考慮這樣一個(gè)系統(tǒng)的決定因素，我們將會(huì)觀察到它和表IV中的彈性矩陣相同，對(duì)角線上的項(xiàng)將包含術(shù)語(yǔ)，這是由應(yīng)用質(zhì)量的慣性力造成的。為了更清晰，在該系統(tǒng)的行列式中，第一排中的第一項(xiàng)是0.871，第二排中的第二項(xiàng)是2.686，以此類推。質(zhì)量為m的間隔棒的共振頻率，明顯是那些將等于0的行列式。如果是其中的一個(gè)共振頻

16、率，那么是表IV中所示的彈性矩陣的一個(gè)特征值，也就是說=。由于系統(tǒng)有6個(gè)自由度，所以將會(huì)有6個(gè)共振頻率和相應(yīng)的6個(gè)特征值，還有可以被間隔棒的特征向量評(píng)估的6個(gè)類型的振蕩。=精確的說是作用在每個(gè)間隔棒線夾上的單位位移所需的慣性力，這是由強(qiáng)加的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)造成的，并且很明顯，它將會(huì)被大小相同方向相同的單位位移的彈性力抵消掉。它遵循彈性矩陣的特征值由每種特定的振蕩類型的間隔棒線夾作用在到線上的單位位移的彈性力，換句話說，是對(duì)于特定類型的間隔棒真實(shí)的剛度。此外，不論隔震設(shè)計(jì)，對(duì)于每種振蕩類型，任何的線夾和間隔棒剛度是相同的。從上面的解釋可以很清楚的知道，質(zhì)量m的真正數(shù)值并不重要。根據(jù)所有的數(shù)值，行列式將等

17、同于0，的數(shù)值將等于彈性矩陣的的特征值。如果質(zhì)量增加，那么會(huì)減少。對(duì)于每種特定類型的振蕩，間隔棒彈性矩陣的特征值對(duì)應(yīng)著相應(yīng)的間隔棒剛度。這一事實(shí)給計(jì)算帶來了相當(dāng)大的簡(jiǎn)化。給定一個(gè)特定類型的間隔棒，由它自身的彈性矩陣進(jìn)行評(píng)估，首先計(jì)算特征值然后計(jì)算特征向量，它們?cè)u(píng)估振蕩的平面和各子導(dǎo)線相對(duì)振蕩的振幅。導(dǎo)線束的固有頻率和在它平面的任意子導(dǎo)線的變形通過假想一根緊繃的電纜用一系列剛度和上述特征值相同的彈簧連接到地面，并且正好放置在間隔棒在原系統(tǒng)的位置來進(jìn)行計(jì)算的。對(duì)一個(gè)間隔棒剛度的正確定義可能是作為參數(shù)的研究工作最重要的結(jié)果，與可能的固有模式一起，都是直接關(guān)系到導(dǎo)線束在子導(dǎo)線上形成的激振力和動(dòng)態(tài)限制的

18、響應(yīng)。一般形式下，可以說任意由間隔棒連接的a個(gè)電纜的導(dǎo)線束將會(huì)有2a個(gè)振蕩類型和2a個(gè)振蕩模式。其中三個(gè)類型和這些導(dǎo)線的特征對(duì)應(yīng)于特征值，然而其他個(gè)類型的特征值不為0.大多數(shù)情況下，會(huì)有個(gè)不同的特征值，但是一些有著特殊對(duì)稱彈性矩陣的間隔棒可能會(huì)產(chǎn)生多重特征值。在這種情況下，振蕩類型只能用任意選擇的一個(gè)變量進(jìn)行評(píng)估。值得一提的是之前所講內(nèi)容的有效性是假設(shè)所有的電纜束都有相同的物理特性，并受到相同的拉伸載荷。由于拉伸載荷的微小變化不能對(duì)結(jié)果產(chǎn)生顯著的影響，所以，上述內(nèi)容對(duì)大多數(shù)的捆綁輸電線路的導(dǎo)線是有效的。導(dǎo)線束的阻尼和響應(yīng)在對(duì)導(dǎo)線束的固有模式進(jìn)行分析的時(shí)候，已經(jīng)假設(shè)系統(tǒng)中并沒有作用阻尼力。為了計(jì)

19、算導(dǎo)線束變形的全部數(shù)值，當(dāng)被一個(gè)已知的諧振力受迫振蕩的時(shí)候，有必要介紹可能出現(xiàn)的所有阻尼力。接下來，我們會(huì)假設(shè)只有兩種類型的阻尼力，一種是由電纜內(nèi)部阻尼產(chǎn)生，一種是由間隔棒內(nèi)部阻尼產(chǎn)生。這些分析將遵循中相同的概念，并且依據(jù)一些已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)室中證實(shí)是正確的假設(shè)。關(guān)于這些步驟的總結(jié)：研究發(fā)現(xiàn)，如之前所述，固有頻率和導(dǎo)線束的變形，動(dòng)能和勢(shì)能會(huì)借助主坐標(biāo)，和中討論過的內(nèi)容表示出來，如前所述，忽略掉電纜剛度。電纜和間隔棒的阻尼將被假設(shè)為滯回形系統(tǒng)的阻尼函數(shù)也將會(huì)用主坐標(biāo)表達(dá)出來，耦合項(xiàng)忽略和無(wú)阻尼系統(tǒng)的主要模式的正交性降火延伸到有阻尼的系統(tǒng)。利用拉格朗日方程來獲得系統(tǒng)的響應(yīng)，根據(jù)正交假設(shè)的結(jié)論，如果激振力

20、只是時(shí)間的函數(shù)而不是導(dǎo)線束變形的函數(shù)那么主坐標(biāo)表達(dá)的位移方程將不會(huì)耦合。主坐標(biāo)讓我們假設(shè)由a個(gè)子導(dǎo)線組成的導(dǎo)線束，編號(hào)為1,2,3.，a.由個(gè)間隔棒連接而成。每個(gè)子導(dǎo)線的變形用兩個(gè)量和表達(dá)，這兩個(gè)量會(huì)評(píng)估沿導(dǎo)線y和z的正交方向，沿檔距并在點(diǎn)x，時(shí)間為t的位移。和這兩個(gè)量可以用電纜撓度的一個(gè)線性組合表示，電纜撓度發(fā)生在各種主模式r，它的形狀由間隔函數(shù)和給出，并且它的強(qiáng)度由時(shí)間函數(shù)給出，時(shí)間函數(shù)是模式r的主坐標(biāo)： .間隔函數(shù)在之前已經(jīng)討論過，并且已知電纜變形可以用電纜次檔距的電纜變形得到。的變量因此會(huì)涉及到每個(gè)次檔距，在次檔距的端點(diǎn)為0，在其他次檔距端點(diǎn)為，并且一般沿著次檔距。間隔函數(shù)因此會(huì)表達(dá)每

21、個(gè)次檔距并且形式為和，并且是次檔距的編號(hào)。前文已經(jīng)解釋電纜剛度對(duì)固有頻率和振蕩類型的影響很小，并且對(duì)電纜變形的影響也很?。ǔ丝拷g隔棒線夾一段距離的地方）。和中已經(jīng)解釋和說明電纜上的繃緊是如何發(fā)生的，靠近間隔棒線夾，可以用充分的準(zhǔn)確度和簡(jiǎn)單的方法來計(jì)算。如果忽略電纜剛度，那么和可以用的調(diào)和函數(shù)表達(dá)： .其中，是系統(tǒng)模式的固有頻率，是電纜單位長(zhǎng)度的質(zhì)量，s是拉伸載荷。已經(jīng)解釋過每個(gè)子導(dǎo)線的振蕩會(huì)發(fā)生的真實(shí)平面，用間隔棒彈性矩陣和振動(dòng)模態(tài)來評(píng)估。對(duì)于一個(gè)給定的間隔棒類型，因此：/=.并且因此成為：+=.子導(dǎo)線在點(diǎn)處的振幅因此可以表達(dá)為：.動(dòng)能和勢(shì)能電纜在次檔距，模式r時(shí)的動(dòng)能為：.并且如果我們首

22、先用中的第一個(gè)式子：.模式為r時(shí)，子導(dǎo)線在的整個(gè)檔距的動(dòng)能將會(huì)是：.如果忽略掉間隔棒線夾的重量，那么整個(gè)子導(dǎo)線束的動(dòng)能是：.整個(gè)導(dǎo)線束在模式r的勢(shì)能的最大數(shù)值和動(dòng)能在相同模式時(shí)的最大數(shù)值相等。因此，勢(shì)能可以表達(dá)成如下的式子：.其中： .當(dāng)考慮到拉格朗日方程時(shí)，可以更加容易理解和。間隔棒剛度作者已經(jīng)完成了對(duì)各種導(dǎo)線束系統(tǒng)類型的間隔棒剛度的影響影響的研究。像之前講的，在討論了振蕩類型和相關(guān)的特征值以后，電纜在他們各自振蕩平面的變形基本是由剛度控制的。以下結(jié)果指的是三分裂導(dǎo)線系統(tǒng)并且特別是三個(gè)振蕩類型中的第一個(gè)“導(dǎo)線束的特征”，它的特征是垂直或者近乎垂直的振蕩平面（表VI中的類型IV）。這樣一種振蕩

23、類型對(duì)于任何一種三分裂導(dǎo)線間隔棒設(shè)計(jì)來說都很常見。檔距由三個(gè)，402米長(zhǎng)的鋼芯鋁絞線的子導(dǎo)線以等間隔400毫米組成，并且每個(gè)電纜的拉伸載荷是3432千克。六個(gè)間隔棒根據(jù)以下間隔進(jìn)行放置：29,67,72,69,68,67,30米。附圖表顯示的是底部導(dǎo)線將會(huì)出現(xiàn)的振幅和應(yīng)變，如之前所述，底部導(dǎo)線將會(huì)出現(xiàn)振幅最大的振動(dòng)。研究中，作者已經(jīng)假設(shè)間隔棒的剛度分別為：60829,18248,10341,6082和912。 研究首先是在一個(gè)沒有任何阻尼的間隔棒上完成的，也就是u=0.風(fēng)的輸入函數(shù)被假定為最可能發(fā)生在交叉處的函數(shù)，這是一個(gè)介于farquharson和slethei數(shù)值之間的某個(gè)位置。這樣選擇的

24、原因是當(dāng)改變間隔棒參數(shù)的時(shí)候，較高的風(fēng)電輸入和隨之而來的高振動(dòng)振幅可以更好的感知這種改變的結(jié)果。對(duì)于任何計(jì)算，風(fēng)的輸入總是相同的。為了減少計(jì)算機(jī)的時(shí)間，計(jì)算不包括所有的共振頻率和所選類型的振蕩模式，但是，這六個(gè)有著大約5的相同的頻率間隔。很明顯，運(yùn)用這樣一個(gè)數(shù)據(jù)的間斷系列，一些高或低的峰值可能被忽略掉，但是根據(jù)后文可以知道，這種可能性并不影響結(jié)果。導(dǎo)線束振蕩的一個(gè)非常有趣的現(xiàn)象是每個(gè)次檔距波腹振幅很有可能不同于另一個(gè)相同的子導(dǎo)線的次檔距的波腹振幅。我們稱這種現(xiàn)象為“次檔距影響”。 如果我們把一個(gè)給定共振頻率的子導(dǎo)線的整個(gè)檔距的波腹振幅的最小值稱為，最大值稱為，那么可以描述間隔棒的“次檔距影響”

25、。圖8所示結(jié)果是對(duì)于和兩種類型，作為研究的導(dǎo)線束系統(tǒng)的是共振頻率是的一個(gè)函數(shù)。正如所知，明顯取決于頻率和的數(shù)值。因此它可以指出，對(duì)于一個(gè)給定的的數(shù)值，由于一般發(fā)生在非常低的頻率的升力和阻力系數(shù)所發(fā)生的振蕩，將會(huì)突出“次檔距影響”，也因此解釋了他們對(duì)“次檔距舞動(dòng)”的定義。進(jìn)一步可以知道，如果比值增加，對(duì)于一個(gè)給定的頻率，的數(shù)值會(huì)減少很多。這些結(jié)果驗(yàn)證了C.O.frederick和M.D.rowbottom的實(shí)際實(shí)驗(yàn)。如果現(xiàn)在我們采取整個(gè)頻率范圍上的比值的最大值和最小值，對(duì)于的每個(gè)數(shù)值，我們得到給出范圍的圖9，而也可以作為的一個(gè)函數(shù)。圖9給出了通過檔距端點(diǎn)的間隔棒來減小振蕩振幅的可能性的可靠信息。

26、當(dāng)然，位于檔距端點(diǎn)的間隔棒在減少的類型II有關(guān)的振蕩方面非常有效，這就是“導(dǎo)線的特征值”，因?yàn)閷?dǎo)線束會(huì)表現(xiàn)的像一個(gè)單一的到導(dǎo)線一樣。這些間隔棒在減少與類型IV有關(guān)的振動(dòng)方面也非常有效，如果發(fā)生在次檔距末端或者如果至少發(fā)生在這些次檔距，那么波腹振幅與不會(huì)有太大的不同。但是，如果發(fā)生在次檔距末端，那么阻尼的可能性將取決于比例。并且圖9顯示，即使的數(shù)值相當(dāng)小，這個(gè)比例也會(huì)變得很小。阻尼器的能量實(shí)際上取決于阻尼器所處位置的次檔距的振動(dòng)振幅的平方。對(duì)于，如果比例為0.5，這就可以使用阻尼器沿檔距并處于（波腹振幅的最大值）的阻尼能力的。由圖9可以知道，的比例為0.5，對(duì)于的情況時(shí)是可用的。這樣一個(gè)數(shù)值還沒

27、在C.O.frederick的間隔棒上發(fā)現(xiàn)，并且M.D.rowbottom估計(jì)了這樣一個(gè)數(shù)值的需要，但是只針對(duì)次檔距振蕩。由圖10,11,12的內(nèi)容所示，對(duì)于3種不同的數(shù)值，研究的導(dǎo)線束系統(tǒng)的應(yīng)變和頻率的關(guān)系，更準(zhǔn)確的說，連續(xù)曲線顯示了在假設(shè)的風(fēng)力條件下，將會(huì)發(fā)生在單一拉伸載荷為3432kg的單一鋼芯鋁絞線的剛性?shī)A緊檔距端點(diǎn)的應(yīng)變值，這些小圓顯示的是處于繪制頻率下的，發(fā)生在六個(gè)間隔棒上的應(yīng)變值的最大值，并且“+”顯示的是發(fā)生在輸電線路的兩個(gè)檔距端點(diǎn)的兩個(gè)應(yīng)變值的最大值。盡管由之前的章節(jié)可以知道，單一導(dǎo)線和導(dǎo)線束系統(tǒng)是不能直接比較的，但是作者認(rèn)為對(duì)于輸電線路工程師來說，把導(dǎo)線束上的應(yīng)變與單一導(dǎo)線

28、上的應(yīng)變比較是很有用的，并且已經(jīng)獲得了相關(guān)的很多經(jīng)驗(yàn)?？紤]這些圖表的時(shí)候，必須記住的是并不是所有共振頻率都被計(jì)算在內(nèi)，實(shí)際上是6個(gè)，因此，一個(gè)單一的高值不能被忽略，因?yàn)榭赡艽嬖谟辛硗饬鶄€(gè)同樣高或者更高的數(shù)值。如果我們考慮圖10，它指的是，一個(gè)相當(dāng)高的數(shù)值，可以知道貫穿整個(gè)頻段，相當(dāng)高，而當(dāng)檔距末端不存在振動(dòng)時(shí)很低或者為0，并且當(dāng)這些次檔距振動(dòng)強(qiáng)烈時(shí)，在兩個(gè)頻率，它們會(huì)比相應(yīng)的高，這就是大型“次檔距影響”的特征。如果我們考慮圖11，它指的是，一個(gè)相當(dāng)普通的數(shù)值，我們注意到并沒有出現(xiàn)相當(dāng)大的變化，但是劇烈增加并在130處達(dá)到一個(gè)非常高的數(shù)值。如果我們觀察圖12，它值得是，一個(gè)非常低的值，我們發(fā)現(xiàn)一

29、個(gè)很大的變化。急劇下降到了一個(gè)很低的數(shù)值，并且?guī)缀跛械亩继幱诘纳戏健Ｔ跀?shù)值比較低的地方，可以發(fā)現(xiàn)有與重合的趨勢(shì)，而不是在它的上方。為了對(duì)的影響有一個(gè)更好的了解，的最大值趨向于1，在時(shí)它上升到大約1.62并且當(dāng)時(shí)，它的數(shù)值又下降到1.可以從兩個(gè)方向發(fā)現(xiàn)關(guān)于曲線的解釋，首先圖9顯示，當(dāng)時(shí)，的數(shù)值很容易就到達(dá)0并且當(dāng)時(shí)，的數(shù)值可以到達(dá)0.5.換句話說，除了，每個(gè)次檔距都會(huì)在相應(yīng)頻率下出現(xiàn)不同波腹振幅的振動(dòng)情況?，F(xiàn)在對(duì)于一個(gè)單一導(dǎo)線，整個(gè)檔距上的能量平衡條件已經(jīng)達(dá)到并且對(duì)于一個(gè)給定的頻率值，波腹振幅會(huì)有一個(gè)定制；對(duì)于較低的波腹振幅，會(huì)出現(xiàn)風(fēng)能輸入的過剩情況并且對(duì)于較高的振幅會(huì)出現(xiàn)耗散能過剩的情況。導(dǎo)

30、線束上，響應(yīng)條件需要每個(gè)次檔距波腹振幅間的確定關(guān)系；接下來，不是每個(gè)次檔距都可以到達(dá)能量平衡的條件，而僅整個(gè)導(dǎo)線束是可以的。換句話說，在一些波腹振幅非常低的次檔距，過剩的能量將會(huì)被轉(zhuǎn)移到其他的次檔距上，所以這些次檔距的波腹振幅會(huì)非常的高，因此，耗散的能量不僅來自他們自己的風(fēng)能輸入，也來自其他次檔距。當(dāng)特別高的時(shí)候，將趨向于0，因此實(shí)際上不會(huì)有能量的會(huì)因?yàn)檫M(jìn)入次檔距。因此伴隨的次檔距會(huì)在較低的波腹振幅的情況下達(dá)到穩(wěn)態(tài)條件。隨著的減少和的增加，會(huì)越來越感覺到次檔距對(duì)能量平衡的影響。因此，增加，并且增加，直到在一個(gè)給定的的數(shù)值下，趨向于每個(gè)次檔距都可以達(dá)到能量平衡的值，因此減少了和。如果我們跟蹤二分

31、裂導(dǎo)線的的最大值與曲線，我們將會(huì)發(fā)現(xiàn)相同的趨勢(shì)，但是比例下降了1.783.圖14的曲線1顯示了比例的最大值，這就是間隔棒線夾的最大應(yīng)變值與單一導(dǎo)線檔距端點(diǎn)的最大應(yīng)變值，這是在整個(gè)頻段內(nèi)關(guān)于的一個(gè)函數(shù)。曲線不需要太多的注釋，因?yàn)樗@示曲線1的比例在時(shí)，對(duì)于底部導(dǎo)線來說，已經(jīng)達(dá)到最大值。很明顯靠上一點(diǎn)的導(dǎo)線的最大值是0.5.這些曲線很明顯的顯示，對(duì)于很高的的數(shù)值，在其他參數(shù)都相等的情況下，檔距端點(diǎn)和間隔棒的應(yīng)變可以和單一導(dǎo)線檔距端點(diǎn)的應(yīng)變一樣，甚至比它更高。對(duì)于三分裂導(dǎo)線，類型IV所對(duì)應(yīng)的振蕩，底部導(dǎo)線比其余兩個(gè)靠上的導(dǎo)線承受更多的壓力。很明顯，對(duì)于彎曲應(yīng)變可以形成的點(diǎn)，只有在一系列共振頻率條件下

32、才會(huì)出現(xiàn)高的應(yīng)變值，然而對(duì)于單一導(dǎo)線，在一個(gè)更加連續(xù)的頻段會(huì)出現(xiàn)高的應(yīng)變。因此，對(duì)于時(shí)間的定周期并且處于一個(gè)特定的位置，導(dǎo)線束的累積的應(yīng)變周期數(shù)會(huì)比單一導(dǎo)線的數(shù)目少，但這僅能當(dāng)應(yīng)變值處于疲勞極限上邊時(shí)，增加它到達(dá)疲勞的時(shí)間。間隔阻尼器作者隨后研究了圖3中間隔棒的固有阻尼力的影響。所有的參數(shù)，導(dǎo)線，風(fēng)能，間隔棒的特定剛度與對(duì)的影響的研究中所用的數(shù)據(jù)全部相同。相反，無(wú)量綱阻尼常數(shù)像之前方程中所介紹的那樣。分別對(duì)=0.5，=0.1和=0.2做了研究。圖13與14顯示了研究的結(jié)果，它顯示了在不同的的數(shù)值和不同的值下，和的最大值。從這些圖表中可以知道，剛度為時(shí)，使用間隔棒阻尼器仍可以減少振蕩振幅和應(yīng)變值

33、，但很明顯的是，當(dāng)處于最大值時(shí)，實(shí)際存在的最佳剛度為0.對(duì)于比最佳剛度高的值，與“次檔距影響”相關(guān)的間隔棒線夾所減少的相對(duì)位移，將可以減少由間隔棒阻尼器耗散的能量。對(duì)于比最佳剛度低的值，對(duì)于給定的，減少的阻尼力與成比例，它不會(huì)被線夾更多的位移補(bǔ)償。這種現(xiàn)象和在阻尼器上發(fā)現(xiàn)的類似。比例的最大值優(yōu)化的可能性沒有那么明顯，因?yàn)閷?duì)于較低的數(shù)值，即使=0，這樣一個(gè)比例也會(huì)趨于減少。慣性力為了簡(jiǎn)化起見，作者已經(jīng)假設(shè)間隔棒從本質(zhì)上表現(xiàn)的和彈簧一樣，也就是剛度的值為正值。事實(shí)上，由于間隔棒的各種質(zhì)量，同樣存在慣性力。很明顯，間隔棒線夾會(huì)形成慣性力，但是由間隔棒運(yùn)動(dòng)形成的全部慣性力將取決于間隔棒的結(jié)構(gòu)。通過模擬

34、有質(zhì)量的間隔棒的，作者已經(jīng)研究了一些慣性力的影響，模擬形成的力和在一個(gè)真正間隔棒上形成的力的數(shù)值相等。結(jié)果如圖15所示，其中m是被研究的間隔棒的每個(gè)線夾的質(zhì)量。在的數(shù)值較高時(shí)，最大值的提高是可以預(yù)見的，因?yàn)閼T性力會(huì)把有效剛度減少到一個(gè)較低的值并且。對(duì)于值比最佳剛度低的情況慣性力顯示了它的負(fù)面影響。如果由于剛度，慣性力變得比這些力大一些，那么會(huì)成為負(fù)值并且是很高的負(fù)值。“次檔距影響”和比例取決于的絕對(duì)值并且因此，的最大值與的最大值會(huì)增加。阻尼力仍然會(huì)通過與彈簧剛度相關(guān)，并且會(huì)像之前所說的那樣，阻尼力會(huì)變得很低。結(jié)論：負(fù)值的增加會(huì)比正值的增加更能加快最大值的增長(zhǎng)。間隔棒線夾重量的影響，更確切的說是整個(gè)間隔棒的重量，對(duì)于屬于“導(dǎo)線的特征”類型的振蕩模式來說是相當(dāng)重要的。對(duì)于沒有質(zhì)量的理想間隔棒，屬于這些振蕩類型的固有模式和單一緊繃電纜一樣，因?yàn)檫@些模式并沒有造成間隔棒線夾的任何相對(duì)位移。結(jié)論：間隔棒沒有形成任何彈性力，這是因?yàn)檫@些類型的特征值為0.一個(gè)真正的間隔棒是有重量的，并且這個(gè)重量分布在子導(dǎo)線上，這樣一個(gè)事實(shí)的意思是在每一個(gè)子導(dǎo)線上附加一個(gè)質(zhì)量，這意味著一個(gè)負(fù)的間隔棒剛度會(huì)對(duì)這些模式產(chǎn)生影響，這對(duì)一個(gè)重量很小的間隔棒來說，為0.進(jìn)一步說，這樣一個(gè)負(fù)的剛度會(huì)隨著共振頻率的增加而增加。通過使用一個(gè)是頻率的函數(shù)的點(diǎn)矩陣可以對(duì)這些模式進(jìn)行數(shù)學(xué)分析