自考高等數(shù)學(xué)一微積分小抄筆記小抄習(xí)題解析-自考速記筆記

1、第一章第二章第三章第四章第五章第六章函數(shù)及其圖形極限和連續(xù)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)微積分前言高等數(shù)學(xué)一共6 章。第一章函數(shù)1.主要是對高中知識的復(fù)習(xí)；2.對今后知識打下良好的基礎(chǔ)；3.本章知識在歷年考題中所占的分值并不多，一般是4至5分。第二章極限和連續(xù)本章內(nèi)容在歷年考題中所占分值為10%左右。第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分主要是如何求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分本章內(nèi)容在歷年考題中所占分值為10%左右。第四章微分中值定理和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用本章在歷年考題中所占分值為15%左右。第五章一元函數(shù)積分學(xué)包括函數(shù)的不定積分和一元函數(shù)定積分。本章內(nèi)容在歷年考題中所占分值為25%左右。第

2、六章多元函數(shù)微積分本章內(nèi)容在歷年考試題中所占比例為15%左右。第一章函數(shù)及其圖形1.1預(yù)備知識一、基本概念1. 集合具有某種特定性質(zhì)的事物的總體。組成這個集合的事物稱為該集合的元素。2. 包含關(guān)系集合 A 中的任何一個元素都是集合B 中的元素，稱為A 包含于 B，或 B 包含 A。若 X A，則必 x B，就說 A 是 B 的子集，記作 A B 數(shù)集分類：N- 自然數(shù)集 Z- 整數(shù)集Q- 有理數(shù)集R-實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系：N Z,ZQ,Q R.3. 相等關(guān)系若 A B，且 B A，就稱集合A 與 B 相等。記作（ A B）例1則AC.4. 空集不含任何元素的集合稱為空集（記作）。規(guī)定空集為任何集

3、合的子集。例 25. 集合之間的運(yùn)算1) 并：由中所有元素組成的集合稱為A 和 B 的并集，記為A B例 3例 42）交：由既屬于A 又屬于 B 的元素組成的集合稱為A 和 B 的交集，記為A B例 5例 63）差：由A 中不屬于B 的元素組成的集合稱為A 與 B 的差集，記為A-B例 7二、絕對值1. 絕對值的定義：2. 絕對值的性質(zhì)：（ 1），如需精美完整排版，請QQ： 1962930 當(dāng)且僅當(dāng)a 0 時，（ 2）（ 3）（4）3. 絕對值的幾何意義：（ 1）表示數(shù)軸上的點(diǎn)x 與原點(diǎn)之間的距離為a。（ 2）表示數(shù)軸上的兩點(diǎn) x 與 y 之間的距離為 a。4. 絕對值不等式：k>0 時

4、，則有k>0 時，則有例 8，求 x 的值。答案： x=±55. 絕對值的運(yùn)算性質(zhì)：例 9化去下列各式絕對值的符號：（ 1）如需精美完整排版，請QQ： 1962930（ 2）（ 3）（ 4）如需精美完整排版，請QQ： 1962930例 10 解下列含有絕對值符號的不等式：（ 1）（ 2）（ 3）如需精美完整排版，請QQ： 1962930三、區(qū)間是指介于某兩個實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù)，這兩個實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn)。以上區(qū)間都叫有限區(qū)間這兩種形式的區(qū)間叫無限區(qū)間區(qū)間長度的定義：兩端點(diǎn)間的距離( 線段的長度 ) 稱為區(qū)間的長度.四、鄰域如需精美完整排版，請QQ：1962930設(shè) a 與是兩個實(shí)

5、數(shù)，且>0，數(shù)集稱為點(diǎn)a 的鄰域，記作U(a) 。點(diǎn) a 叫做這個鄰域的中心，叫做這個鄰域的半徑。點(diǎn) a 的去心鄰域，記作區(qū)間與鄰域的關(guān)系：。例 11 解不等式并用區(qū)間表示不等式的解集：（ 1）（ 2）1.2函數(shù)一、函數(shù)的概念1. 定義設(shè) x 和 y 是兩個變量， D 是一個給定的數(shù)集，如果對于每個xD，變量 y 按照一定法則總有確定的數(shù)值和它對應(yīng)，則稱 y 是 x 的函數(shù)，記作如需精美完整排版，請QQ： 1962930數(shù)集 D 叫做這個函數(shù)的定義域，當(dāng)時，稱為函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值。函數(shù)值全體組成的數(shù)集稱為函數(shù)的值域。2. 函數(shù)的兩要素：定義域與對應(yīng)法則。約定：定義域是自變量所能取的使算式

6、有意義的一切實(shí)數(shù)值。例 1、例 2、例 3、判斷下列兩個函數(shù)是否相等例 4、求函數(shù)的定義域例 5、符號函數(shù)3. 分段函數(shù)在自變量的不同變化范圍中，對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù)。例 6、例 7、求下面分段函數(shù)定義域并畫出圖形。例 8、將下面函數(shù)化為分段函數(shù)二、函數(shù)的表示法1. 圖象法2. 表格法3. 解析法1.3函數(shù)的特性一、函數(shù)的有界性若有成立，則稱函數(shù)f （x）在 X上有界，否則稱無界。例 9、判斷下面函數(shù)在其定義域是否有界（ 1）符號函數(shù) y sgnx（ 2） y x22. 函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù) f （x）的定義域?yàn)镈，區(qū)間 I D，如果對于區(qū)間I 上任意兩點(diǎn)及當(dāng)時，恒有

7、則稱函數(shù) f （ x）在區(qū)間I 上是單調(diào)增加的；設(shè)函數(shù) f （ x）的定義域?yàn)镈，區(qū)間 I D,如果對于區(qū)間I 上任意兩點(diǎn)及，當(dāng)時，恒有則稱函數(shù)f （ x）在區(qū)間I 上是單調(diào)減少的。如需精美完整排版，請QQ： 1962930例 10、求 y x2 的單調(diào)性例 11、求 y sinx 的單調(diào)性3. 函數(shù)的奇偶性：設(shè) D 關(guān)于原點(diǎn)對稱，對于，有稱 f （ x）為偶函數(shù)；設(shè) D 關(guān)于原點(diǎn)對稱，對于，有 f （ -x ） =-f （ x）稱 f （ x）為奇函數(shù)。4. 函數(shù)的周期性：設(shè)函數(shù)f （x）的定義域?yàn)镈，如果存在一個不為零的數(shù)l, 使得對于任一則稱f （ x）為周期函數(shù)，l稱為 f （ x）的

8、周期，且恒成立（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）。如需精美完整排版，請QQ： 1962930例 12、判斷下列函數(shù)是否有界（ 1）（ 2） y cosx例 13、判斷下面函數(shù)的奇偶性（ 1）（ 2）例 14、判斷函數(shù)是否是周期函數(shù)，如果是，則求出最小正周期。1.4反函數(shù)直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線y=x 對稱。1.5復(fù)合函數(shù)1復(fù)合函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)y=f （u）的定義域Df ,而函數(shù)的值域?yàn)?若,則稱函數(shù)為 x 的復(fù)合函數(shù)。x自變量， u中間變量， y因變量；注意 :1. 不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的；例如：不能符合成2. 復(fù)合函數(shù)可以由兩個及以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成。例如：

9、這個函數(shù)是由復(fù)合而成。例 1. 分解復(fù)合函數(shù)（ 1）（ 2）例 2. 復(fù)合函數(shù)的計(jì)算（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）1.6初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù), 稱為初等函數(shù)。如需精美完整排版，請 QQ：1962930基本初等函數(shù)：常值函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)、反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)（ 1）常值函數(shù)如果當(dāng)自變量在函數(shù)定義域中任意變化時，函數(shù)值f （ x）恒等于一個常數(shù)C，即f （ x） = C，xD(f) ，則稱這個函數(shù)為常值函數(shù)。（ 2）指數(shù)函數(shù)形如 f(x)= x (- x+) 的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)。其中底數(shù) 0， 1性質(zhì)：當(dāng) 1 時，函數(shù)y=ax 單調(diào)

10、增加；當(dāng) 0 1 時，函數(shù)y=ax 單調(diào)減少；指數(shù)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（0， 1），指數(shù)函數(shù)值大于0；對于 a0,x,y為實(shí)數(shù)，我們規(guī)定：運(yùn)算法則：要求：指數(shù)函數(shù)通過掌握的圖形，掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。（ 3）三角函數(shù)如需精美完整排版，請QQ： 1962930有 sinx,cosx,tanx,cotx,secx和 cscx ，它們都是周期函數(shù)。 正弦函數(shù)y=sinx圖 1.32 余弦函數(shù)y=cosx圖 1.33 正切函數(shù)y=tanx圖 1.34 余切函數(shù)y=cotx圖 1.35要求：周期性、奇偶性、三角公式、特殊角的三角函數(shù)值。同角三角函數(shù)基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系：商的關(guān)系平方關(guān)系兩角和的正弦、余弦、正切公式兩角

11、差的正弦、余弦、正切公式倍角公式降冪公式積化和差公式例 3：利用降冪公式，將下列各式變形（ 1）（ 2）（ 3）特殊角的三角函數(shù)值例 1. 已知一個三角函數(shù)值，求其他的三角函數(shù)值。（ 1）已知 tanx=3 求其他的三角函數(shù)值如需精美完整排版，請QQ：1962930（ 2）已知 secx=5 ，求其他的三角函數(shù)值。（ 4）冪函數(shù)形如 f(x)=x 的函數(shù)為冪函數(shù)，其中 為任意常數(shù)。要求：掌握常用的冪函數(shù)：y=x； y=x 2； y=x3；的圖形，性質(zhì)。性質(zhì)： 為正整數(shù)時，冪函數(shù)的定義域是（- ， +）； 為負(fù)整數(shù)時，冪函數(shù)的定義域是（- 0）（ 0， +）；對任意實(shí)數(shù) ，曲線 y=x 都通過平面上的點(diǎn)（ 1， 1）； 為偶數(shù)時， f(x)=x 為偶函數(shù)；如需精美完整排版，請QQ： 1962930 為奇數(shù)時， f(x)=x 為奇函數(shù)； 0 時， f(x)=x 在（ 0， +）單調(diào)增加； 0 時， f(x)=x 在（ 0， +）單調(diào)減少。冪函數(shù)： y=x （ 是常數(shù)）（ 5）反三角函數(shù)反正弦函數(shù)：y=arcsinx，x-1,1反余弦函數(shù)：y=arccosxx-1,1反正切函數(shù)：y=arct nxx（ - ， +）要求：明白反三角函數(shù)的三個含義及定義域。例2.計(jì)算（1）；答案：（2）；答案：（3）；（4）；（ 5）例 3. 已知