概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)題全部的

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)題、填空題1 .已知P(AB) P(A),則A與B的關(guān)系是 獨(dú)立。2 .已知A,B互相對立，則A與B的關(guān)系是 互相對立。3 . A,B 為隨機(jī)事件，P(A) 0.4, P(B) 0.3, P(aJb) 0.6 ,則 P(AB)0.34 .已知 P(A) 0.4, P(B) 0.4, P(A B) 0.5 ,貝P(A B) 0.705 .A,B 為隨機(jī)事件，P(A) 0.3, P(B) 0.4, P(AB) 0.5,則 P(B A) 236 .已知 P(B A) 0.3 , P(A B) 0.2,則 P(A)2 / 7。7 .將一枚硬幣重復(fù)拋擲3次，則正、反面都至少出現(xiàn)一次的

2、概率為0.7508 .設(shè)某教研室共有教師11人，其中男教師7人，現(xiàn)該教研室中要任選3名為優(yōu) 秀教師，則3名優(yōu)秀教師中至少有1名女教師的概率為空 。339 .設(shè)一批產(chǎn)品中有10件正品和2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出后不放回，則第2次抽出的是次品的概率為- o6 -1 1 110. 3人獨(dú)立破譯一密碼，他們能單獨(dú)譯出的概率為 -,-,-，則此密碼被譯出的5 3 4概率為3。5 11.每次試驗(yàn)成功的概率為p,進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，則第8次試驗(yàn)才取得第3次成功的概率為C2P3(1 P)5012.已知3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A至少成功一次的概率為19 ,則一次試驗(yàn)中27事件A成功的概率pc 3 5

3、13 .隨機(jī)變量X能取1,0,1 ,取這些值的概率為c,3c,5c,2 4 8則常數(shù)8c O一15一，八.k14 .隨機(jī)變量X分布律為P(X k) ,k 1,2,3,4,5,則P(X 3X 150x2,15 . F(x) 0.42 x1 x 0X0,是X的分布函數(shù)，則X分布律為Pi2000.4 0.6 Qx 0_16 .隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)sinx, 0 x /，則 P(X ) _V3_1,x 217 .隨機(jī)變量 X N(1.04, 1) , P(X 3) 0.975, P(X 0.92)0.025。18 .設(shè)X N(3,22),若 P(X C) P(X C),則 C _3_0 (注

4、：(0) 0.5)19 .設(shè)XN( , 2),其分布函數(shù)為F(x),則有F( +x ) F( x尸。 X 3 一20 .已知隨機(jī)變量X的分布律為 424,則隨機(jī)變量函數(shù)Y sinX的P 0.2 0.7 0.1分布律為220.30.721 .若X服從的分布是N(0,1),則2X+1服從的分布是 N(1,4)22 .設(shè) XN 2,9 ,Y N 1,16 ,且 X,Y 相互獨(dú)立，則 X Y_N(3,52)。23 .隨機(jī)變量 X、B 5,0.2 ,則 E(2X 3) 5, D 2X 33.2 ,E(2X2 1) _2.6, o24 .隨機(jī)變量 X U 0,2 ,則 E X 3-4, D X 31。32

5、5 .設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,X3相互獨(dú)立，其中X1在0,6上服從均勻分布，X2服從 正態(tài)分布N(0,22),X3服從參數(shù)為3的泊松分布，記 Y X1 2X2 3X3，則EY 12°1 一26 .總體X以等概率1取值1,2,，則未知參數(shù)的矩估計(jì)量為2X-1。27 .設(shè)X1,X2,., Xn為X的樣本，X N B(5, p),則關(guān)于p的矩估計(jì)量是_工_。5 -二、選擇題1 .設(shè)A,B為兩隨機(jī)事件，且B A,則下列式子正確的是(A(A) P(A B) P(A)(B) P(AB) P(A)(C) P(B A) P(B) (D)P(B A) P(B) P(A)2 .事件 A,B 滿足：P AB

6、 0.2,P B 0.5,P A B0.8，則P A J B( A )。(A) 0.7(B) 0.3(C) 0.6(D) 0.83 .設(shè)事件A,B獨(dú)立，且A與B互斥，則下列式子一定成立的是( D )。(A) P AB 0(B) P AB 0(C) P AB P A P B (D) P A 1或 P B 14.連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)F(x)a0,bex，X °,其中常數(shù)a,b值為(Cx 0(A) a 1,b 1(B) a 0,b 1(Q a 1,b1(D) a 1,b 15.若f(x) 2x可以成為某隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù),則隨機(jī)變量X的可能值充滿區(qū)間(B ), (A) (0,0.5

7、)(B) (0,1)(C) 0,)(D)(,)6.當(dāng)隨機(jī)變量X的可能值充滿區(qū)間(A ),則f(x) cosx可以成為某隨機(jī)變量X的密度函數(shù)。3(A)0-(B)-,(C)0,(D)-2227 .隨機(jī)變量X服從參數(shù)1/8的指數(shù)分布，則P(2 X8 x(A) 2e 8dx2 8 x(B) e 8dx8 2111(O W e1)88 .隨機(jī)變量X服從X、N , 2 ,若 增大，則P(X(B)單調(diào)增大(B)單調(diào)減小(C)增減不定9 .關(guān)于聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系，以下結(jié)論錯誤的是( (A)二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是正態(tài)分布48) ( D )。1 1(D) e 4 e 13 ) ( D )。(D)保持

8、不變C )。(B)二維均勻分布的兩個邊緣分布未必是均勻分布(C)邊緣分布可以唯一的確定聯(lián)合分布(D)聯(lián)合分布可以唯一的確定邊緣分布10. 設(shè) （ X,Y） 的聯(lián)合分布函數(shù)為F（x,y） ， 則其邊緣分布函數(shù)FX（x） （ B ）A) lim F(x,y) xB) lim F (x, y)yC) F(0,y)( D) F(x,0)010111. 隨機(jī)變量X ,Y 相互獨(dú)立，且 X ,Y ， 則必有 ( C0.2 0.80.2 0.8A) X Y ( B) P(X Y) 0C) P(X Y) 0.68D) P(X Y) 1 。12. 已知離散型隨機(jī)變量X 服從二項(xiàng)分布，且EX 2.4, DX1.4

9、4，則二項(xiàng)分布的參數(shù)n, p的值為（B ）A) n 4, p 0.6B) n 6, p 0.4C)n 8, p 0.3D) n 24, p 0.113 已知隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量X 的可能取值為x11, x20, x31 ，且EX 0.1, DX 0.89,則對應(yīng)于Xi,X2,X3的概率 訪邛2巾3為（A ）。A)p10.4, p20.1, p30.5B)p10.1, p20.4, p30.5C)p1 0.5, p20.1, p30.4D)p10.4, p20.5, p3 0.114. 設(shè)隨機(jī)變量X f( X )0.5X0.5e,(X0），則下列計(jì)算正確的是（C ）。A) E(X ) 0.5B

10、）D(X) 2C) E(2X 1) 5D）D(2X+1) 9i5 設(shè)隨機(jī)變量X 密度函數(shù)為f XX 0，X ， 已知 E(X) i/2， 若 Y P( )， 其他則下列計(jì)算正確的是（DA) E(Y) 2,D(Y) 4B）D(2Y2)6C) E(Y2 ) 4D）2E(Y+i)21116. 已知總體X 服從參數(shù)的泊松分布（未知），Xi,X2,，Xn為X的樣本,則（ C ） 。1 n(A) 1 Xin i 1是一個統(tǒng)計(jì)量1 n(C) 1 X：n i 1日TH個統(tǒng)計(jì)量1 n(D) Xi2 DX是一個統(tǒng)計(jì)量 n i 117.設(shè)總體XN( , 2),其中已知,2未知。Xi,X2,X3是取自總體X的一個樣本

11、，則非統(tǒng)計(jì)量是(1，、(A) -(X1 X2 X3)3D )。(B)X1X2 2(C) maXX1,X2,X3)(D)1222-2(X1 X2 X3)o18.人的體重為隨機(jī)變量X, E(X) a,D(X)b , 10個人的平均體重記為Y,1n - -、一(8) 1Xi EX是一個統(tǒng)計(jì)量n i 1則(A )。(A) E(Y) a(B)E(Y)0.1 a(C) D(Y) 0.01 b(D)D(Y)19 .設(shè)X服從正態(tài)分布N(1,32)X1,X2, ,X9為取自總體X的一個樣本，則(A)X 1 N(0,1)3 N(0,1)(C)X 1X- N(0,1)9X 1(D)今六 N(0,1)。20 .設(shè)X服

12、從正態(tài)分布,_ 2EX1,EX2 4, X1 n-Xi ,則X服從(A )0n i 1,、3(A) N( 1,3) n(B) N( 1,1)(C) N(-,4) n1 1(D) N(-,-) n n21.從總體X N( , 2)中抽取樣本Xi,X2, .,Xn,以下結(jié)論錯誤的是(B,.1 n(A) - Xi服從正態(tài)分布n i 1n_(B) -7 (Xi X)2 服從 2(n)i 11 n'(C) D( Xi)一 n i 1n1 n(D) E(- XJn i 122.設(shè)2是總體X的方差存在,X1,X2,.,Xn為X的樣本，以下關(guān)于無偏估計(jì)量的是（D ）(A) max(Xi,X2,，Xn)

13、( B) min(Xi,X2,，Xn)(D) Xi1 n(C)Xi n 1 i i23.若(Xi,X2, X3, X4）為取自總體X的樣本，且EX = p ,則關(guān)于p的無偏估計(jì)為(C )。-1, 、 12(A) X1(B) X1 X 2666/ 小123(C) X1X 2X36 6612 34(D) X1一 X 2 X 3X 4666624 .若(X1，X2, X3, X4)為取自總體X的樣本，且EX = p ,則關(guān)于p的最優(yōu)估計(jì)為（D(A)(C)1X 31X 3(D)110X102X2311-X2-X333X2 X310 2 10 3123B-X1-X2-X366625.設(shè)2是總體X的方差,

14、4X1,X2,.,Xn為X的樣本,則樣本方差S2為總體方差2的（C ）。（A）矩估計(jì)量（B）最大似然估計(jì)量（C）無偏估計(jì)量（D）有偏估計(jì)量26 .設(shè)（1, 2）是參數(shù) 置信度為1的置信區(qū)間，則以下結(jié)論正確的是（C ）（A）參數(shù)落在區(qū)間（1, 2）之內(nèi)的概率為1（B）參數(shù)落在區(qū)間（1, 2）之外的概率為（C）區(qū)間（1, 2）包含參數(shù)的概率為1（D）對不同的樣本觀察值，區(qū)間（1, 2）的長度相同27 .設(shè) 為總體X的未知參數(shù)，1, 2（ 12）為樣本統(tǒng)計(jì)量，隨機(jī)區(qū)間（1, 2）是的置信度為1（01）的置信區(qū)間，則有（B ）(A) P( 12)(B) P( 12) 1(C) P( 2) 1(D) P

15、( 1)28 .在假設(shè)檢驗(yàn)中，Ho表示原假設(shè)，f表示對立假設(shè)，則稱為犯第一類錯誤的 是(A ) o(A) 也不真，接受H1(B)也不真，接受Ho(C) Ho不真，接受Ho(D)Ho不真，接受H129 .總體 X1N , 2 ,樣本 X1,X2,|“,Xn ,假設(shè)才驗(yàn) Ho： o , H1 :則H o的拒絕域?yàn)?D )095 94100 990.9020;(3) P(AAzA)95 94 5100 99 980.0460。二、計(jì)算題1 .某廠生產(chǎn)的100個產(chǎn)品中，有95個優(yōu)質(zhì)品，采用不放回抽樣，每次從中任取 一個，求：(1)第一次抽到優(yōu)質(zhì)品；(2)第一次、第二次都抽到優(yōu)質(zhì)品；(3)第 一次、第二

16、次都抽到優(yōu)質(zhì)品、第三次抽到非優(yōu)質(zhì)品的概率 解：設(shè)A ：第i次取到優(yōu)質(zhì)品，(i 1,2,3).95(1)P(A) 近 0.95;(2) P(AAz)2 .玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各多!中含0, 1只殘次品的概率分別為0.8 和0.2, 一個顧客欲購買一箱玻璃杯，在購買時顧客開箱驗(yàn)貨，顧客隨機(jī)的察看 了4只，若無殘次品則購買下該箱玻璃杯，否則退回。試問：顧客購買該箱玻璃 的概率。解：設(shè)A二箱中有i只殘次品，i 0,1 B 4只均無殘次品，且已知：C P(Ao) 0.8, P(A) 0.2, P(BAo)1, P(BA) -149 0.8C20P(B) P(A0)P(B A0) P(A)P(

17、BA) 0.8 1+0.2 0.8=0.963 .有甲、乙、丙三個盒子，其中分別有一個白球和兩個黑球、一個黑球和兩個 白球、三個白球和三個黑球。擲一枚骰子，若出現(xiàn) 1, 2, 3點(diǎn)則選甲盒，若出現(xiàn)4點(diǎn)則選乙盒，否則選丙盒。然后從所選中的盒子中任取一球。求：(1)取出的球是白球的概率；(2)當(dāng)取出的球?yàn)榘浊驎r，此球來自甲盒的概率。解：B:取到白球，B：取到黑球；A:甲盒；A2：乙盒；A3：丙盒(1)取到白球的概率 P(A) P(A)P(B A) P(A2)P(BA2) P(A3)P(BA3)3112234o63636693 1(2)取到白球是從甲盒中取出的概率 P(A B) P(A)P(BA)

18、63 3 oP(B) 4894.設(shè)一盒中有5個紀(jì)念章，編號為1,2, 3, 4, 5,在其中等可能地任取3個, 用X表示取出的3個紀(jì)念章上的最大號碼，求：(1)隨機(jī)變量X的分布律；(2) 分布函數(shù)；(3) EX , DX。解：設(shè)X為取出的3個紀(jì)念章上的最大號碼，則 X的可能取值為3,4,5 ；11P(X 3) ; P(XC；104)3一；P(X105)66C310于是X的分布律為X 345P 0.10.3 0.60, x 3F(x)0.1, 3x40.4, 4x5EX 3 0.1 4 0.3 5 0.6 4.5,2、100/x2,x 100f (x)0, otherwise(1)試求一個電子管

19、使用150小時不用更換的概率;(2)某一電子設(shè)備中配有10個這樣的電子管，電子管能否正常工作相互獨(dú)立,設(shè)隨機(jī)變量Y表示10個電子管中使用150小時不用更換的個數(shù)，求Y的分布律;(3)求 P Y 1 0解：(1)設(shè)電子管的壽命為隨機(jī)變量X,P(X 150)/(Mdx 150100dx(2)設(shè)10個電子管中使用150小時不用更換的個數(shù)為隨機(jī)變量 Y,則依題10 k,k0,1,2,10。22 I意，YB(10,-), P(Y k) Cw(-)k(-)-、_1(3) P Y 11 P Y 01f。36.某人有9把鑰匙，其中只有一把能打開一門。今任取一把試開，不能打開者除去，求打開此門所需要試開次數(shù)(記

20、為隨機(jī)變量 X )的數(shù)學(xué)期望和方差。解：設(shè)X打開門的次數(shù),X可能取值為1,2,3,9。P(X1)P(X2)P(X3)19898918781917P(X9)所以,89119EXEX21 1 912 19782191911319(19)9 45DX22922EX2 (EX)953529 (1220 0392)19195,959'7.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)a0,bx,0otherwise試求：(1)常數(shù) a,b ; (2) DX ; (3)eX ,求 EY。1斛：(1) f(x)dx 0(abx)dxEXxf (x)dx10x(a/ b 2(ax 2x )bx)dx (：b a -

21、2b 3、3x)1；0.6 ；于是,a 0.4, b1.2 。(2) EX22 _x f(x)dxDX EX2(EX)2065x2(a1501(0.6)20.4 3 bx)dx (- x11o1501.24x4)215365，10 150(3) EYexf (x)dxex(0.4 1.2x)dx 0.4(e02)。8.某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績(百分制)近似服從正態(tài)分布，平均成績72分，96分以上的考生占考生總數(shù)的2.3%,試求考生的外語成績在60-84分之間的概率。附表:x00.51.01.52.02.53.0(x)0.5000.6290.8410.9330.9770.9940.9

22、99解：設(shè)考生外語成績X N(,2) , x 72P(X 96) 1 P(X 96) 11296 722424()1() 0.023() 0.97784 72P(60 X 84)(M)60 729. 口袋里有2個白球，3個黑球)(1)( 1) 2 (1) 1 0.682 。12現(xiàn)不放回地依次摸出2球，并設(shè)隨機(jī)變量第一次摸出白球第一次摸出黑球'(3)問X,Y是否獨(dú)立?(4) D 2X 1。0103103101310110解：(1)聯(lián)合分布為：(2)PiPj1第二次摸出白球Y0第二次摸出黑球試求：(1) X,Y的聯(lián)合分布律；(2) X和Y的邊緣分布律;(3) P(X 0,Y 0) P(X

23、0)P(Y 0),所以 X 與Y 不獨(dú)立。.202624(4) EX2,EX2-,DX一。D(2X 1) 4DX。55252510,設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布為：01201/41/12a101/61/421/1201/6求(1) a；(2) Z = maxX,Y 的概率分布；(3) E(maxX,Y) ; D(maxX,Y)。解：(1) a = 1-(1/4 + 1/12 + 1/6 + 1/4 + 1/12 + 1/6) = 0（2）Z012P0.250.250.5（3） EZ = 1.25 ; DZ = 0.687511.設(shè)同時獨(dú)立地擲一枚硬幣和一顆骰子兩次，用 X表示兩次中硬幣出

24、現(xiàn)的正面次數(shù)，用Y表示兩次骰子點(diǎn)數(shù)不超過4的次數(shù)。（1）求X,Y的聯(lián)合分布。（2） 求X Y的和分布。（3） P（X Y 1）解：設(shè)X可能取值為0, 1, 2; Y可能取值為0, 1, 2.于是,所以聯(lián)合分布為和分布為:0136163621336312364436P(XY 1)11812.設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為f(x,y)13xy,1,0 y試求:（1） （X,Y）的邊緣概率密度;(2) P(X解:0,1)。(2)otherwisefX（X）fY(y)P(X Y/4 2(3xf(x, y)dyf(X,y)dx1)0,0,(x2(x21dx01 、，-xy)dy 31、，一 xy)dx

25、 32 21(x 3xy)dy5 34 3x )dx (一 x6913.設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）在區(qū)域D(x, y) 0(x2y,1 3(3x2、6xy)2x2 - x,03otherwise1 2-x y) 6otherwise2 212(x y -xy )65 4x )2465o75x 2,試求：（1）隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度函數(shù)；（2）P(X解：（1）因?yàn)榉木鶆蚍植?所以其聯(lián)合密度函數(shù)為2xdx2上服從均勻分布,丫）。1-,0 x 2, f (x, y) 60,其它(2) P(X Y) f(x,y)dxdyD2dx014.設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）具有概率密度1，、c(x y),0f(x,y

26、) 8x 2,0,otherwise求：(1) E(X) (2) D(X Y)解：(1) E Xxf (x, y)dxdy2 . 2x7dx -(x y)dy 一 ；00 86因?yàn)?D(X Y) E(X Y)2 (E(X Y)2這里，由于X與Y的對稱T故EY 7,EXY 7 26632 o22 o (x y)又因 E X+Y(x y)2 f (xy)dxdy dx (x y)-dy 6008所以D(X Y) 6 (7) 2=510.563 9X15.設(shè)總體X的概率密度列012322P2 2p(1 p) p2 12P，1 .其中P(0 P 1)是未知參數(shù)，得到總體X的樣本化1, 3, 0, 2,

27、 3, 3, 1, 3,3 Xp 3為矩估計(jì)量, 4(1)求參數(shù)p的矩估計(jì)值；(2)求參數(shù)p的最大似然估計(jì)值解：(1) EX 2p(1 p) 2p2 3(1 2p) 3 4p X ;-1 811，一x 1xi 2 ,得p 1為矩估計(jì)值。8 i 142_4624(2) L(p) P(X 0)P(X 1) P(X 2) P(X 3) 4p (1 p) (1 2 p);ln L(p) ln4 6ln p 2ln(1 p) 4ln(1 2 p),，、628lnL( p)-0p 1 p 1 2pp二3,因?yàn)? p 1,所以p 12216.設(shè)總體X的概率密度為f(x,)Xi, X 2, Xn是來自總體的一

28、個樣本,一 2 ，一 一12p 14p 3 0；713 ,7_H3舍去，所以p12x 1，0 x 1 ,其中0.otherwise7 而 0,2828。120的未知參數(shù)，(1)求參數(shù) 的矩估計(jì)量；(2)求參數(shù) 的最大似然估計(jì)量11解：(1) EX xf(x)dx qx x dx X ,于是未知參數(shù)的矩估計(jì)量為(2)構(gòu)造似然函數(shù)L(f(x,)i 1x1X2Xnn(X1 Xn)；n取對數(shù)：In L( ) nln (1)ln(x1xn)n In (1)In xi ;i 1令dln山n n inxi0?di 11nxii 1即未知參數(shù)的最大似然估計(jì)值為nn1n xii 117.某大學(xué)數(shù)學(xué)測驗(yàn)，抽得20

29、個學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為X 72,樣本方差s2 16,假設(shè)分?jǐn)?shù)X服從正態(tài)分布N( , 2),求2的置信度為98%勺置信區(qū)間。(保留到小數(shù)后四位)(附:2 0.01 (19)36.191,20.99(19)7.633)解：由題意，2的置信度為98%勺置信區(qū)間為:(n 1)s22(n 1) 2(n 1)s212 (n 1)1219 16 19 16,36.191 7.6338.3999,39.8271。18.要求一種元件的使用壽命為 1000小時。今從一批這種元件中隨機(jī)抽取25件，測得其壽命的平均值為 950小時。已知該種元件壽命服從標(biāo)準(zhǔn)差100小時的正態(tài)分布，試在顯著性水平0.05下確定這批元件是否合格？(附：u 1.96)2解：假設(shè) H0:1000, H1 :1000; n 25,x 950,100, 0 1000;統(tǒng)計(jì)量:U950 1000100/、252.5 1.96,所以，拒絕H。，即認(rèn)為這批元件不合格。19.正常人的脈搏平均為72次/分。某醫(yī)生測得10例慢性鉛中毒患者的脈搏均 值為67.4次/分，標(biāo)準(zhǔn)差為5.929。設(shè)人的脈搏次數(shù)/分近似服從正態(tài)分布。(1)取 =0.05,是否可以認(rèn)為鉛中毒患者的脈搏均值為72次/分(2)求鉛中毒患者脈搏均值的0.95的置信區(qū)間。(附：u_ U0.0251.96,t0.025(9)2.2622,t0.025(10) 2.2281 )萬解：(