矩陣特征值的運(yùn)算性質(zhì)及推廣

1、矩陣特征值的運(yùn)算性質(zhì)及推廣摘 要：本篇論文主要從五方面來進(jìn)行講解：引言；矩陣特征值的性質(zhì)；矩陣特 征值的應(yīng)用推廣；分塊矩陣的性質(zhì)；分塊矩陣特征值應(yīng)用推廣。由于本篇論文是要以矩陣特征值性質(zhì)的應(yīng)用為主題， 首先介紹總結(jié)了矩陣的 一些基本概念及矩陣基本運(yùn)算，然后在文中著重闡述了矩陣特征值性質(zhì)，羅列出 相關(guān)引理并予以證明，然后通過五種類型的矩陣特征值的應(yīng)用例子將矩陣特征值 的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行推廣。將矩陣拓展到分塊矩陣，討論分塊矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用.關(guān)鍵詞： 矩陣，特征值，特征向量，特征方程，特征多項(xiàng)式The Operation Properties and Promotion of EigenvalueCui

2、 haiyang(Institute of Computer Science, Math)Abstract Three aspects to this thesis to explain: Introduction; matrix eigenvalue nature; promote the application of Matrix Eigenvalues.Because of this paper is a matrix eigenvalue to the application of the nature of the theme first introduced some basic

3、concepts of matrix and the matrix of basic operations, and then in the text focuses on the eigenvalue properties, set out the relevant Yin Li, and to prove it. Finally, five types of application examples Eigenvalue Eigenvalue computation will be the nature of promotion.Key words: Matrix , Eigenvalue

4、, Eigenvectors, Characteristic equation, Characteristic polynomial矩陣計(jì)算領(lǐng)域在不斷的發(fā)展和成熟，作為一門數(shù)學(xué)學(xué)科，它是眾多理工學(xué) 科重要的數(shù)學(xué)工具，矩陣?yán)碚摷仁墙?jīng)典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課程， 是數(shù)學(xué)的一個重要且目 前仍然非?；钴S的領(lǐng)域，又是一門最有實(shí)用價(jià)值的數(shù)學(xué)理論， 是計(jì)算機(jī)科學(xué)與工 程計(jì)算的核心，已成為現(xiàn)代各科技領(lǐng)域處理大量有限維空間形式與數(shù)量關(guān)系強(qiáng)有 力的工具.計(jì)算機(jī)科學(xué)和工程問題很多都可以轉(zhuǎn)化成矩陣的運(yùn)算與求解，特別是 計(jì)算機(jī)普及應(yīng)用為矩陣論的應(yīng)用開辟了廣泛的前景 .隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，古典的線性代數(shù)的知識已不能滿足現(xiàn)代科技

5、的需 要，矩陣的理論和方法業(yè)已成為現(xiàn)代科技領(lǐng)域必不可少的工具 .半個多世紀(jì)以來， 計(jì)算機(jī)已廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)和工程技術(shù)的各個領(lǐng)域， 使得矩陣?yán)碚摰闹匾栽?來越顯著，這是因?yàn)橛镁仃嚴(yán)碚摵头椒ń鉀Q現(xiàn)代工程技術(shù)中的各種問題，不僅表述簡潔，便于進(jìn)行研究，而且更具有適合計(jì)算機(jī)處理的特點(diǎn)， 電子計(jì)算機(jī)及計(jì)算 技術(shù)的迅速發(fā)展為矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用開辟了更廣闊的前景。矩陣?yán)碚撛诟鲗W(xué)科領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，諸如數(shù)值分析、優(yōu)化理論、微分方程、概率統(tǒng)計(jì)、控制論、力學(xué)、 電子學(xué)、網(wǎng)絡(luò)等學(xué)科領(lǐng)域都與矩陣?yán)碚撚兄芮械穆?lián)系，甚至在經(jīng)濟(jì)管理、金融、 保險(xiǎn)、社會科學(xué)等領(lǐng)域，矩陣?yán)碚摵头椒ㄒ灿兄种匾膽?yīng)用.目前在高等院校，矩陣論（

6、或稱為矩陣分析、矩陣?yán)碚?、矩陣方法等）已?jīng)列為工科研究生的 必修課程.但是對本科學(xué)生來說，一般只作為選修課程（也有為數(shù)不多的院校把 它列為必修課），學(xué)生學(xué)到的矩陣?yán)碚撝R與方法非常有限，無法適應(yīng)現(xiàn)代科學(xué) 技術(shù)的飛速發(fā)展.本課題引入幾種在矩陣的理論和計(jì)算方法中有重要應(yīng)用的特殊的矩陣乘法 運(yùn)算，深入討論矩陣特征值的研究意義，以及矩陣特征值的應(yīng)用.2.矩陣特征值的性質(zhì)與應(yīng)用2.1 矩陣特征值的性質(zhì)設(shè)A是n階方陣，如數(shù)九與n維非零列向量x使關(guān)系式Ax = ；U成立，則稱數(shù)人 為方陣A的特征值，x稱為A的對應(yīng)于人的特征向量；"尢）=|九E-A稱為特征多 項(xiàng)式，f （九）=KE - A = 0稱

7、為特征方程5.性質(zhì)16設(shè)A為n階方陣，入，九2，4n為A的n個特征值，則A = 11 -2 ：.性質(zhì)26方陣A可逆U A的n個特征值都不為零.性質(zhì)36設(shè)兒為方陣A的特征值，叫A ）為A的多項(xiàng)式，則平（九）為巴A柏特征值.性質(zhì)46K不為方陣A的特征值u | A -九目¥ 0 .性質(zhì)56(凱萊一哈密頓定理)設(shè)n階方陣A的特征多項(xiàng)式為f : 'n ' a1 'n二一 一 an二，丁 an,則 f A)二 AaiAn,4A %E =0.性質(zhì)66設(shè)n階方陣A的n個特征值為及，九2，4，且P1, P2，Pn為對應(yīng)的n個線性無關(guān)的特征向量，記P =(pi P2Pn ),則工

8、iP,AP=2 .I - In性質(zhì)76設(shè)A為n階實(shí)對稱陣，%,%,，幾是它的n個特征值，則(1)當(dāng)且僅當(dāng)一%，£都大于零時，A正定;(2)當(dāng)且僅當(dāng)加1, %,3n都小于零時，A負(fù)定;(3)當(dāng)且僅當(dāng)九1, %,，兒都非負(fù)，但至少一個等于零時，A是半正定；(4)當(dāng)且僅當(dāng)九1, %,&n都非正，但至少一個等于零時,A是半負(fù)定;(5)當(dāng)且僅當(dāng)九1, %,，兒中既有正數(shù)，有又負(fù)數(shù)時，A是不定的.2. 2矩陣特征值的應(yīng)用2. 2. 1求方陣A的行列式IA以及A的多項(xiàng)式巴A )的行列式仔缶產(chǎn).例1已知三階矩陣A的特征值為1,-1,2,設(shè)中(A)= A3-5A2,求：D|a ;慳A;|a-5

9、E .解：由性質(zhì)1可得IA =1父(-1)<2 = -2;因式A )= A35A2 ,由性質(zhì)3可知叫A)的特征值為 中(1)=4 1(-16 -6 ,9(2 )= 12.故叫Ab =中(1 )邛(1 )m(2)=288.A的特征多項(xiàng)式為fa )=九E - A = (>u 1(九+11九2),令人=5,得 f (5)= 5E -A| =(5-1,j(5+1,j(5-2 )= 72 ,故：|A5E| =(1 3|5E A = 72.例2 設(shè)人=2是A的特征值，中(A)= A2 3A+ 2E,求巴A).解：因兒=2是慶的特征值,既有人-2£|=0,故巴A j=|A2 -3A+2

10、E| =|(A-2E '(A E j=|A 2E)A- E =0.2. 2. 2判斷方陣A及A - KE的可逆性7.310例3設(shè)A = «-4 -10 > ，問當(dāng)k為何值時，A-kE可逆.、4 8 2九310解：因 f(K) = ?uEA= 4九 +10 =(九+ 2pu 1f,4 8 九十2故% = -2 , ?.2 =% =1為A的三個特征值，由性質(zhì)4可知，當(dāng)k#12時,A-kE可逆.例4 設(shè)矩陣A滿足A2 =E ,證明3E - A可逆.證明：設(shè)Ax =叔，則A2x =九2x,g| A2 = E ,即有x =九2x，即(九2-1X=0，而x#0,只有九21=0，于是

11、九=±1,可知3不是A的特征值,所以|3E - A =0,即 3E -A 可逆.2. 2. 3求方陣A, A的逆陣A及A的k次幕7.102例5設(shè)A = 0 -1 1，求A3A；A5.-010_1-10-2解： fa)= |?EA= 0 九+1 1=九32九十1,0-1九由性質(zhì)5有 f(A)= A3 2A + E=0,故104A3= 2A-E =0-32-02-11由f(0 )= 1，可知0不是A的特征值，由性質(zhì)2知A可逆.而3_31_1_12 11 2A3 =2A - E = A3 A =2A A - E A n A2 =2E - A = A = 2E - A2,故1-2-2A

12、9;=001011_ A3 = 2A - E = A5 = 2A3 - A2 =A5 =2(2A - E) - A2 .-A 4A - 2E ,故1-26A5 = 0-8505-3_注：用此法可將Ak(k >3)都化作A的次數(shù)小于等于3的多項(xiàng)式，從而簡化Ak的計(jì)算.例6 設(shè)3階方陣A的特征值為九1 =1,% =0,% =-1;對應(yīng)的特征向量依次 為 P1 =(1,2,2), P2 =(2,2,1)：p3 =( 2,1,2；求 Ak (k 為大于 1 的整數(shù)).解：因P1, P2, P3線性無關(guān)，記P =(P1, P2, P3 ),由性質(zhì)6有1001 一一一一P AP = a = 0000

13、0-1所以 A = PAPA,Ak=(PAP-1=PAPJ1 P 八 P，PaP，= P/ P12 - KA2-22,1 o o.-lJ001002k 90 (-1) 一 22-2-11 +4-1)k 二七4：1；k2 2-1k4-1k4-2-12-4(-1)klk4 + (-1)k4-4(-1)54于是當(dāng)k為偶數(shù)時，Ak =459-2 2-2- 112 ; k為奇數(shù)時，Ak = 038 1 714注：此法當(dāng)A可以對角化時才可使用例7設(shè)3階實(shí)對稱陣A的特征值為6,3,3，與特征值6對應(yīng)的特征向量為P1 =(1,1,1),求 A.解：設(shè)對應(yīng)于3的特征向量為x = (x1，x2, x3 )，因?qū)崒?/p>

14、稱陣的不同特征值下的特 征向量正交，即有xp1 = 0,即x的分量滿足x1 +x2 +x3 =0.又因特征值3的重?cái)?shù)為2, 所以對應(yīng)于3恰有兩個線性無關(guān)的特征向量，顯然x1 +x2 +x3 = 0的基礎(chǔ)解系就是 對應(yīng)于3的兩個線性無關(guān)的特征向量.由 X +x2 +x3 =0 得它的一個基礎(chǔ)解系為 P1 =(1,1,0 ), P2 =(-1,0,1 ).1 -1令 P = 3 P2 P3 )= 11：104 1故 A = PaP' = 1 4J 1-16 0 00 ,由性質(zhì)6有P4AP=a= 0301 _0 0 3111 .42. 2. 4求方陣A的多項(xiàng)式叫A.例 8 設(shè) A= 0 -1

15、 1，計(jì)算中(A)=2A8 3A5+A4+A2 4E.010解：f)=九 EA =九3 2九十1 ,而 2九8 3九5 + 九4 + /4 = f (九>q(Z )+(24£2 37九 +10 ),顯然 2A8 -3A5 A4 A2 _4E = f(A) q(A) (24A2 一37A 10E).由性質(zhì)5可知f(A)=0,所以|-348-26中(A) = 24A2 -37A+10E = 095-61 .0-61342. 2. 5判斷實(shí)對稱陣的正定性例9 設(shè)n階實(shí)對稱陣A正定，則存在矩陣B,使B2 = A,且B也是正定矩陣.證明：因A為實(shí)對稱陣，故存在正交矩陣P,使依 1_1P

16、AP =A 1 =',I 、其中兀（i =1,2，n）為A的n個特征值.因A正定,%11 %A = P 八1P' =P 立 p=PPP故有% >0(i =1,2,，n).于是:. 九n j IV %I1 % B=P|P'故有 A = B2,又因 p"BP= I- 山-即B與對角陣A2相似,相似矩陣的特征值相同,故dW,，仄為B的n個特征 值，13 HA 0（i =1,，n）,由性質(zhì)7知B正定.3.矩陣特征值的推廣3. 1分塊矩陣的性質(zhì)在高等代數(shù)中，矩陣的特征值問題是一項(xiàng)非常重要的內(nèi)容，特征值對于線 性變換的研究具有基本的重要性.而我們在求一些階數(shù)較高和較

17、復(fù)雜的矩陣特征 值時，經(jīng)常會用矩陣的分塊去解決， 這樣可以使問題的解決更簡明.下面就分塊 在矩陣特征值問題中的應(yīng)用進(jìn)行一些簡單的討論.對普通矩陣作初等變換相當(dāng)于在矩陣左（或右）乘一個初等矩陣，同理，我 們用廣義初等矩陣左（或右）乘一分塊矩陣，也就相當(dāng)于對分塊矩陣作一次廣義 行（或列）初等變換.且對矩陣作若干廣義初等變換，其秩也不變.性質(zhì)1設(shè)A是m'n矩陣，B是nm矩陣，證明AB的特征多項(xiàng)式fAB（?J與BA的特征多項(xiàng)式fBA （乃有關(guān)系：丸n f AB"）=mf fBA （九）.11分析：我們先把上式改寫為N £Ef - AB =?”|:uEn - BA因?yàn)槎际浅橄?/p>

18、矩陣，我們無法把，Ef 一 AB和也En 一 BA直接算出來，但它們是兩個行列式的值，我們就不妨構(gòu)造出兩個 矩陣來，使得它們的 行列式為En 1BA Ef',要出現(xiàn)行列式|九Em - AB和|九En - BA ,這樣，我們構(gòu)造分塊矩陣REf AB,則我們對H做初等變換，即左乘一個廣義初等分塊矩陣1 Ef-1AB九 J對上式求行列式，得到:En同理，H右乘一個矩陣兩邊取行列式得到：1H = Em -AB- AB1BEm ）En 0-A Em11En -BA BEn - BA由(1)和(2)命題得證階引理1設(shè)A為n矩陣，則A為幕等矩陣的充分必要條件是r(A-E )+(A)=n,E為n階單位

19、矩陣 ,r(A)表示 A的秩.引理2幕等矩陣A與0巳)相似,=心)性質(zhì) 2 設(shè) A，A,"均為 n 階方陣，且 A = A + A2,r（A）=r,r（A ）=ri,i =1,2 .若2A=A，r=r1+2,則a，A，A2的特征值為1或0,且1的個數(shù)和它們的秩相等.分析：因?yàn)榻o出的矩陣并不是具體的，所以我們考慮用分塊矩陣初等變換來解這個題目.12證明：(1) A可逆時，即r(A)=n，因?yàn)锳2 =A ,所以A=E，又r =ri +r2, E=Ai +A2,由已知得r（E A ）+r（A ）=r（A ）+r（A2 ）=n,由引理 1 得到 A1=A1，同樣,A2 =A2所以A,A2是幕

20、等矩陣，由引理2,Ai A2 00 ,2 Er”rEr 0、e 0、 r1人入，與和£八0 0J,F ErJ有相同的特征值，所以A，A1，A2的特征值為1或0,且特征值1的個數(shù)和它們的秩相等.(2)當(dāng)"A)=0時，即A = 0,結(jié)論顯然成立.(3)設(shè)0 J Mn,即A為非零又不可逆矩陣.因?yàn)锳2=A,故存在可逆矩陣P,使ZEr0；=仄1 0；+舊1B12、P'AP=PAF+P4P,r =r(A),令00 廣(A21 A22 ) 回1B22這里 P)P= Aj ,P'A2P= Bj = Er =A1 B11r = r A11B11 _ r A11 l r B1

21、1 1rAir A2 = r- r A11r B11 )=r A1r A2二 r(A )-r(A1 )>0,r(A2)-r(Bn 戶0,從而 r(A )= MA1 )如)=r(Bn )這樣Er =A11 'Bn,且"am 'Bn)=r，由(1)的證明可知，存在可逆矩陣Q ,使1QA11QfErr1<00；_1 _ 一,Q BnQ =00Er2 jEr<00P A1PEQ<0En01P A2P0、<0 En"A11A12 Q1A21A22 八0En"Q，0En”YB11Enn-r 人 B21B12QB220En -QAu

22、Q< A21QQAA2211QB11QQB12B21QQA11Q工 A21QQ A”A22'Er0C1100G12C11C21A22因?yàn)镋0G1100G121121所以 G12 =0,C21 =0Q-*BnQQAB12、B21Q B2200/11212同上可得乙1= 0,M =0,故 G11 =0,W21 =0,Z12Q AnQ,A21QQA12A22同樣_1 _ 一QBnQB21Q故有W1W2= O,Cii =0,從而A22=0Q,B12B22（因?yàn)樯鲜鼍仃嚨闹葹?）,Q00 Er0EnJ任100、0E20,T,A1T =0<000J<00 <r結(jié)論都成立。0

23、00T,AT 二T,A2T00<00Er20000，綜上所述，對于從上面的討論我們知道，對于一些給出的不是具體的矩陣, 關(guān)它的特征值問題時，我們一般都采用分塊矩陣的方法，如果要計(jì)算或證明有 這樣可以使解決過程變得簡潔.當(dāng)然，分塊矩陣的應(yīng)用并不僅僅在于特征值問題上， 對于一些求矩陣的逆或者計(jì)算行列式等問題時，同樣可以用分塊矩陣去解決，在這里就不討論了.參考文獻(xiàn)1雷紀(jì)剛，唐平，田茹矩陣論及其應(yīng)用M.北京：機(jī)械工程出版社.20052 程云鵬矩陣論 M 西北 : 工業(yè)大學(xué)出版社 19993 史榮昌矩陣分析 M 北京 : 北京理工大學(xué)出版社 20044 湯鳳香 , 方秀男矩陣Khatri - Rao 積的推廣 J 黑龍江 : 佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版 ） 20075 楊忠鵬 , 馮曉霞矩陣特殊乘積之間關(guān)系J. 西安 : 莆田高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào) 20016 戴華矩陣論 M 北京 : 科學(xué)出版社 20017 方保 镕 , 周繼東等矩陣論 M 北京 : 清