2011屆高考數(shù)學復習好題精選 基本不等式

1、基本不等式：題組一利用基本不等式求最值1.設(shè)x、y均為正實數(shù)，且1，則xy的最小值為 ()A4 B4 C9 D16解析：由1可得xy8xy.x，y均為正實數(shù)，xy8xy82(當且僅當xy時等號成立)，即xy280，可解得4，即xy16，故xy的最小值為16.答案：D2(2009·天津高考)設(shè)a>0，b>0.若是3a與3b的等比中項，則的最小值為 ()A8 B4 C1 D.解析：是3a與3b的等比中項，()23a·3b.即33ab，ab1.此時2()224(當且僅當ab取等號)答案：B3已知不等式(xy)()9對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為 ()A

2、8 B6 C4 D2解析：(xy)()1a·aa12 a2 1，當且僅當a·等號成立，所以()2219，即()2280，得2或4(舍)，所以a4，即a的最小值為4.答案：C4(2010·太原模擬)若直線axby20(a>0，b>0)和函數(shù)f(x)ax11(a>0且a1)的圖象恒過同一個定點，則當取最小值時，函數(shù)f(x)的解析式是_解析：函數(shù)f(x)ax11的圖象恒過(1,2)，故ab1，(ab)().當且僅當ba時取等號，將ba代入ab1得a22，故f(x)(22)x11.答案：f(x)(22)x11題組二利用基本不等式證明不等式5.已知a0，b

3、0，且ab2，則 ()Aab Bab Ca2b22 Da2b23解析：法一：由得ab()21，又a2b22ab2(a2b2)(ab)2a2b22.法二：(特值法)取a0，b2滿足ab2，代入選項可排除B、D.又取ab1滿足ab2.但ab1，可排除A.答案：C6設(shè)a、b是正實數(shù)， 以下不等式>；a>|ab|b；a2b2>4ab3b2；ab>2恒成立的序號為 ()A B C D解析：a、b是正實數(shù)，ab21.當且僅當ab時 取等號，不恒成立；ab>|ab|a>|ab|b恒成立；a2b24ab3b2(a2b)20，當a2b時，取等號，不恒成立；ab2 2 >

4、2恒成立答案：D7已知a、b、c(0，)且abc1，求證：(1)(1)(1)8.證明：a、b、c(0，)且abc1，(1)(1)(1)8.當且僅當abc時取等號題組三基本不等式的實際應用8.(2010·惠州模擬)某商場中秋前30天月餅銷售總量f(t)與時間t(0<t30)的關(guān)系大致滿足f(t)t210t16，則該商場前t天平均售出(如前10天的平均售出為)的月餅最少為 ()A18 B27 C20 D16解析：平均銷售量yt1018.當且僅當t，即t4等號成立，即平均銷售量的最小值為18.答案：A9某公司租地建倉庫，每月土地占用費y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費

5、y2與到車站的距離成正比，如果在距離車站10千米處建倉庫，這兩項費用y1和y2分別為2萬元和8萬元，那么，要使這兩項費用之和最小，倉庫應建在離車站_千米處解析：設(shè)倉庫建在離車站d千米處，由已知y12，得k120，y1，y28k2·10，得k2，y2d，y1y22 8，當且僅當，即d5時，費用之和最小答案：5 10(文)某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162 x平方米的三級污水處理池，池的深度一定(平面圖如圖所示)，如果池四周圍墻建造單價為400元/米，中間兩道隔墻建造單價為248元/米，池底建造單價為80元/米2，水池所有墻的厚度忽略不計(1)試設(shè)計污水處理池的長和寬，使總造價

6、最低，并求出最低總造價；(2)若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16米，試設(shè)計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價解：(1)設(shè)污水處理池的寬為x米，則長為米則總造價f(x)400×(2x)248×2x80×1621 296x12 9601 296(x)12 9601 296×2 12 96038 880(元)，當且僅當x(x>0)，即x10時取等號當長為16.2米，寬為10米時總造價最低，最低總造價為38 880元(2)由限制條件知，10x16.設(shè)g(x)x(10x16)，由函數(shù)性質(zhì)易知g(x)在上是增函數(shù)，當x10時(此時16)，g

7、(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296×(10)12 96038 882(元)當長為16米，寬為10米時，總造價最低，為38 882元(理)為了提高產(chǎn)品的年產(chǎn)量，某企業(yè)擬在2010年進行技術(shù)改革經(jīng)調(diào)查測算，產(chǎn)品當年的產(chǎn)量x萬件與投入技術(shù)改革費用m萬元(m0)滿足x3(k為常數(shù))如果不搞技術(shù)改革，則該產(chǎn)品當年的產(chǎn)量只能是1萬件已知2010年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元由于市場行情較好，廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品均能銷售出去廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品生產(chǎn)成本的1.5倍(生產(chǎn)成本包括固定投入和再投入兩部分資金)(1)將2010年該產(chǎn)品的利潤y萬元(

8、利潤銷售金額生產(chǎn)成本技術(shù)改革費用)表示為技術(shù)改革費用m萬元的函數(shù)；(2)該企業(yè)2010年的技術(shù)改革費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？解：(1)由題意可知，當m0時，x1(萬件)，13k，k2，x3，每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5×(元)，2010年的利潤yx·(816x)m(m1)29(元)(m0)(2)m0，(m1)28，y29821，當m1，即m3，ymax21.該企業(yè)2010年的技術(shù)改革費用投入3萬元時，廠家的利潤最大題組四基本不等式的綜合應用11.若a是b與b的等比中項，則的最大值為 ()A. B1 C. D.解析：a是b與b的等比中項，a22b2a2b22.根據(jù)基本不等式知 1.即的最大值為1.答案：B12若a，b是正常數(shù)，ab，x，y(0，)，則，當且僅當時取等號利用以上結(jié)論，函數(shù)f(x)(x(0，)取得最小值時x的值為 ()A1 B. C2