為什么不能在加時賽中拋硬幣

1、為什么不能在加時賽中拋硬幣Steven J. Brams 和 Zeve N. Sanderson關(guān)鍵詞： 博弈論當職業(yè)足球聯(lián)盟在淘汰賽或者獎杯爭奪賽的比賽中出現(xiàn)平局的時候就會進入加時賽，兩支球隊輪流進行罰點球直到打破平局，這時候就用投硬幣來決定哪支球隊先罰點球。類似的，當在美國的國家職業(yè)橄欖球聯(lián)盟（National Football League (NFL)）比賽出現(xiàn)平局進入加時賽的時候，拋硬幣也被用來決定在加時賽中哪支球隊先進攻、哪支球隊先防守。在這兩種運動中，我們可以說，拋硬幣是一種有缺陷的做決定的機制，它可以顯著地影響到輸贏的結(jié)果。因為作者對于美式橄欖球比賽更加熟悉，本文就集中

2、討論這一運動，但是我們會在之后回到足球的情形分析中。職業(yè)橄欖球聯(lián)賽采用猜硬幣的辦法決定誰進攻誰防守。圖片由Pierre-Selim提供NFL中的問題在NFL在加時賽中用投擲硬幣來決定誰發(fā)球誰接球的做法在投擲之前看起來非常的公平，但是投擲之后就出現(xiàn)問題了。盡管投擲硬幣的結(jié)果是公平的，兩支球隊獲勝的可能性相同，擲硬幣之后猜對的一方享有明顯的優(yōu)勢，他們不約而同的選擇接球來進行防守。這樣做，在1994到2011的所有賽季中，接球的隊伍贏得了加時賽接近60%的勝率，其中34%贏在了開局。從2012賽季開始，NFL試著改善這一問題，采用射門得分排除法：防守隊在第一波進攻中必須通過達陣（touchdown）

3、得分（6分）而贏得比賽，而不是像之前只需要通過射門得分（3分）就可以獲勝。也就是必須達陣才能立刻贏得比賽。但是結(jié)束第一波進攻后，比賽或許會因為立刻死亡而結(jié)束，也就是第一個得分的隊伍會勝出比賽。當這一規(guī)則應(yīng)用在2011-2012的季后賽時，兩場平局的比賽均由猜對硬幣的隊伍獲勝。在2012-2013賽季，出現(xiàn)了23場加時賽（相當于總比賽場數(shù)的8%），其中一場以平局結(jié)束。在目前進行過的采用這一規(guī)則的24場非平局結(jié)果的加時賽中，盡管采用了射門得分排除法，其中16場（也就是2/3）由防守隊獲得，8場（也就是1/3）由進攻隊獲得。換句話說，猜對投擲硬幣的球隊平均來說有2/3的機會贏得加時賽。開局線報價：一

4、個雙贏的策略我們相信需要一個更加激進的解決方案來排除這種不公平的機會。我們建議的規(guī)則使得球隊相對于讓對方來扮演自己的角色來說更加滿意又自己來扮演這個角色。一個規(guī)則稱為公平的，假如這個規(guī)則下的每支球隊，不論在加時賽開始的時候是進攻隊還是防守隊，更愿意扮演自己的角色而不是對方的角色。在這種情形下，每支球隊都認為他們比對手處于更加優(yōu)勢的位置。這怎么可能呢？我們的解決方案基于一個與買賣交易相同的原理，在一宗交易中，買家和賣家通過達成商品價格的協(xié)議而得到相同的滿意度。因為雙方的偏好不同-買家更加愿意得到商品而不是金錢，而賣家卻更愿意得到金錢而不是商品-交易達成了一個雙贏的局面。不是在商品價格上討價還價，

5、我們建議球隊對開局的場線位置進行議價。不像通常的加時賽的開場，取而代之的是，開場是在一個特定的碼線處開始。碼線的位置由雙方球隊的報價的平均而得到，報價低（它意義將很快會變得明確）的球隊作進攻方，報價高的球隊作防守方。這一結(jié)果使得，相對于處于對方的位置上來說，雙方球隊都同等程度都更加滿意現(xiàn)處的位置。為了進行說明，假設(shè)球隊A開價是20碼線，這意味著 作為進攻方，他們希望從自己的20碼線開始，使得他們得帶球過80碼來得分； 作為防守方，他們希望可以從對方的20碼線開始，使得對手要帶球過80碼才可以得分。我們稱這個為球隊A的無差別點，因為從己方的20碼線開始進攻和從對方的20碼線開始防守，在這一點上他

6、們認為是己方贏得比賽的機會是均等的（盡管不一定是50-50的機會-這取決于隊伍本身的相對水平）。我們假定每支球隊都有一個無差別點，這個無差別點在面對不同的對手來的時候可能會有所不同（取決于雙方的優(yōu)勢與劣勢）。為了繼續(xù)說明，假設(shè)球隊B的無差別點是30碼線。平均兩隊報價是25碼線，從離開時，球隊A扮演進攻方（因為它給出了低報價20碼）球隊B將扮演防守方。當比賽開始的時候，注意到球隊A，作為進攻隊，距離B隊的得分線比自己開出的進攻無差別點20碼線近了5碼，因為他們現(xiàn)在需要帶球的距離是75碼而不是原來所報價的80碼。同樣的，球隊B的防守起始線比起他的防守無差別點30碼線遠了5碼，因為他們需要阻止的進攻

7、距離是75碼而不是原來的70碼。因為每支球隊都得到比他們報價而言相同的收益（5碼）。這一方案對于雙方來說不僅僅這是一個雙贏的，而且是公平的-每支球隊都同等程度的更加滿意現(xiàn)在的位置而不是對手的位置：如果球隊A扮演球隊B的角色，他們就得從對方的25碼線開始防守，然而它更加愿意從對方的20碼線就開始防守。類似地，球隊B也更滿意自己的位置而不是球隊A的位置，這一差距也是5碼。它更有利于最誠實的一方一支球隊可不可以單方面偏離自己的真正的無差別點而報一個不真誠的無差別點從而獲益？假設(shè)球隊A不誠實地報價x，這里20<x<30，所以它過高的進行了報價。這么做確實對它扮演進攻方有好處，因為這使得報價

8、平均值相對于20來說更加接近于30。但低報價（x<20）會有壞處，所以它的最優(yōu)偏離有一個下界。那么,球隊A可以從高報價（30）中獲得一定程度的益處-它并不知道這些，因為它并不知道球隊B會報價30。事實上，因為這個比賽是一種不完整信息的比賽，球隊A甚至不能夠它的報價是低于還是高于球隊B的報價。下面假定報價x>30。那么球隊A就要扮演防守方，更加糟糕的是，這樣做會使得球隊B的移動距離小于70碼就能得分。不僅僅是球隊B會比自己的無差別點表現(xiàn)的好，球隊A會更加中意球隊B的位置，因為30+遠遠大于球隊A的無差別點20碼。顯然，風險規(guī)避，或甚至風險中性的球隊有誠實報價的動機，因為任何方向的偏離

9、-某個方向偏離一定的數(shù)值（例如球隊A進行低報價），或者另外一個方向偏離了較大的數(shù)值（例如球隊A的報價比真實的數(shù)值超過了10碼）-都會帶來壞處。因此，在報價游戲中，誠實似乎是一個強制的策略。報價在足球比賽中的應(yīng)用足球比賽中罰點球是從距離球門11米的罰球線上踢出的。它們通常出現(xiàn)在淘汰賽或者獎杯爭奪賽中，如果打滿90分鐘和加時仍然平局，就需要通過點球決勝負。由投擲硬幣決定由哪支球隊先罰點球，然后兩隊輪流罰點球直到各罰滿5球。如果這5球之后仍然沒有任何一支球隊取得先機，就要進行到下一步，在這一步中，兩支球隊輪流罰球，每次罰一球，直到有一隊得分領(lǐng)先而贏得比賽。菲利普拉姆在2012歐冠賽總決賽中罰球得分。

10、在足球比賽中投硬幣被用來決定哪支球隊在點球大戰(zhàn)中首先罰球。圖片來自Markus Unger.就如在NFL中，猜對硬幣的一方有優(yōu)勢：統(tǒng)計暗示在點球大戰(zhàn)中首先罰球的球隊獲勝的幾率是60%，相比后罰球的球隊擁有3:2或者說50%的優(yōu)勢。但是通過兩隊對于罰球線的報價，將罰球線定在兩個報價的平均值上，然后報價高的球隊獲得先罰球的獎勵，這一做法是有問題的，因為太接近球門（比如說6米或者更近）或許不是優(yōu)勢反而是劣勢。這是因為守門員可以比較容易的通過移動來防守來自這么短距離的射門，盡管他或者她的反應(yīng)時間要變得短了。相應(yīng)的，我們建議報價高的球隊先罰球，而報價低的球隊將會被要求從標準的11米開始罰球。是不是兩支球

11、隊都會選擇報價11米？顯然不是，因為他們會愿意去報價多1厘米而不影響他們的罰球得分的機會。結(jié)果就是，報價肯定會以某一隊的大于11米而結(jié)束。不明朗的是，比11米大多少才能讓本球隊在罰球的先后順序上無差別。似乎顯而易見的是這個計算將依賴于本球隊以及對手的水平，罰球隊員、守門員的技術(shù)。但不管每支球隊的計算如何，報價將會幫助提升公平的競賽環(huán)境。結(jié)論我們關(guān)于橄欖球加時賽中開場碼線報價，或者足球點球大戰(zhàn)中罰球線報價的建議，消除了投擲硬幣的偶然因素。這使得比起對方球隊的選擇來說，每支球隊都相同程度的更加滿意他們自己的選擇。報價竟會給兩種運動都添加新的策略元素：在橄欖球比賽中它會制造一個懸念-哪支球隊會扮演進

12、攻方和防守方，起始線在什么地方；在足球比賽中哪支球隊先罰點球，罰球線在哪里。雖然橄欖球和足球的球迷會爭論說報價并不是一個“純粹”的競賽測試，但投擲硬幣也不是。在所有的優(yōu)點中突出的一點，報價會使得球隊對他們自己的選擇負責而不是讓他們將自己的糟糕表現(xiàn)怪罪于壞運氣。運動在向更加公平不斷的發(fā)展。證據(jù)是全美籃球協(xié)會（NBA）在1979年設(shè)立的三分線來獎勵遠投所需要的額外技巧，NFL由1979年開始采用的兩分轉(zhuǎn)換來雙倍獎勵通過奔跑或者投擲而不是踢球得分。在足球比賽中，1970年引進的紅黃牌警告使得球員和教練對于裁判的判決更加明白，2012年引入的球門線科技用于判定足球是否穿過球門平面，這些都是這一運動中的發(fā)明的例子。我們相信橄欖球以及足球比賽中加時賽規(guī)則的發(fā)展演化也是如此。關(guān)于作者Steven Brams 是紐約大學政治學教授。他是數(shù)學與民主Mathematics and d