（整理版）對函數(shù)單調性定義的等價解釋和靈活運用

1、對函數(shù)單調性定義的等價解釋和靈活運用函數(shù)的單調性是函數(shù)的一個重要性質，它具有很強的應用性，如比擬大小、解不等式、求最值、作圖象，進行證明等都能用到單調性的定義，而對單調性定義的等價理解方便解題.由函數(shù)單調性的定義可以得到如下結論：設函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(a，b)上的增減函數(shù)，那么對任意、，有：1假設 ，那么ff0增函數(shù)；2假設 ，那么ff0減函數(shù)；3ff0增函數(shù)；4ff0減函數(shù)；利用上面等價定義處理函數(shù)的單調性問題，有時比直接利用定義處理更簡潔.一、證明單調性例1求證：函數(shù)f(x)=+1在，+上是減函數(shù).分析：考慮運用結論：4ff0減函數(shù)進行證明，只需要進行因式分解變形.證明：在，+上任取

2、兩個實數(shù)、，且，那么有()f()f=()()=()(+)=()0，即ff0，故函數(shù)f(x)=+1在，+上是減函數(shù).二、討論單調區(qū)間例2函數(shù)f(x)=，討論函數(shù)在區(qū)間0，+上的單調性.分析：涉及討論函數(shù)單調性的問題運用結論：1假設 ，那么ff0增函數(shù)；或2假設 ，那么ff0減函數(shù)比擬方便.解析：任取0，那么ff=，當，時，又，那么0，所以ff=0，所以ff，所以f(x)在0，a上是單調減函數(shù).當a時，那么ff=0，ff，所以f(x)在a，+上是單調增函數(shù).點評：一般地函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，這個結論非常有用.三、求解不等式 例3f(x)是定義在2，2上的函數(shù)，且f(x)=f(x)，又f(

3、x)在0，2上是減函數(shù)，且f(1m) f(m)，求實數(shù)m的取值范圍.分析：由于f(x)在0，2上是減函數(shù)，考慮運用結論：2假設 ，那么ff0減函數(shù)解決問題.解析：f(x)=f(x)，f(x)=f(|x|)，那么f(1m)= f(|1m|)，f(m) =f(|m|)，又f(1m) f(m)0，f(|1m|) f(|m|)0 ，又f(x)在0，2上是減函數(shù)，那么有(|1m|m|) f(|1m|) f(|m|)0 ，由，解得，因此實數(shù)m的取值范圍是.點評：抓住當f(x)=f(x)時，得到f(x)=f(|x|)是解決此題的突破口.四、求函數(shù)最值例4函數(shù)，.1當a=時，求函數(shù)f(x)的最小值；2假設對任

4、意，fx0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍.分析：對于1，將函數(shù)f(x)變形為f(x)=，又定義可知為單調增函數(shù)，對于2可以進合理的轉化，變成二次函數(shù)的最值問題.解析：1當a=時，f(x)=，根據(jù)例2的結論函數(shù)在為單調增函數(shù)證明略，故有f(x)f(1)=1+2=，所以函數(shù)f(x)的最小值為.2在區(qū)間上0恒成立，等價于恒成立.設g(x)=，這是一個二次函數(shù)，在上單調遞增，故有g (x)g(1)=3+a，g(x)的最小值為：3+a，只要3+a0，故a3為所求.點評：課本中的函數(shù)的單調性在解題中可以直接利用，已經(jīng)證明過的函數(shù)的單調性的結論有時也可以直接利用，因此，常見函數(shù)的單調性要熟練掌握，能夠提高解題

5、效率.五、比擬大小 例5函數(shù)f(x)，xr的對稱軸為x=2，當x2時，f(x)為增函數(shù).設a=f(1)，b=f(4)，c=f(2)，試確定的大小關系.yxox=2分析：欲比擬三者的大小關系，只需根據(jù)對稱性，畫出示意圖形可以類比二次函數(shù)的圖形，由圖形結合單調性即可.解析：因為函數(shù)f(x)的圖像關于直線x=2對稱.且x2時f(x)為增函數(shù)，從而x2時是減函數(shù)，從而可以肯定離對稱軸x=2的距離越遠的數(shù)，其函數(shù)值越大.所以f(2) f(4) f(1)，即cba.點評：此題靈活的利用了函數(shù)的單調性進行大小的比擬，結合圖象形象直觀的得到了結論，這是單調性定義應用的創(chuàng)意.六、巧解方程例6設x、y為實數(shù)，且滿足求x+y的值.分析：假設此題運用常規(guī)解法難以下手，但是假設運用函數(shù)的單調性很容易求解.當函數(shù)存在單調性時，根據(jù)1、2、3、4不難發(fā)現(xiàn)，那么一定有：假設f()f()，那么；假設f()=f()，那么=. 解析 ：由條件可得：，設函數(shù)f(