（整理版）對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的等價(jià)解釋和靈活運(yùn)用

1、對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的等價(jià)解釋和靈活運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，它具有很強(qiáng)的應(yīng)用性，如比擬大小、解不等式、求最值、作圖象，進(jìn)行證明等都能用到單調(diào)性的定義，而對(duì)單調(diào)性定義的等價(jià)理解方便解題.由函數(shù)單調(diào)性的定義可以得到如下結(jié)論：設(shè)函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(a，b)上的增減函數(shù)，那么對(duì)任意、，有：1假設(shè) ，那么ff0增函數(shù)；2假設(shè) ，那么ff0減函數(shù)；3ff0增函數(shù)；4ff0減函數(shù)；利用上面等價(jià)定義處理函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，有時(shí)比直接利用定義處理更簡(jiǎn)潔.一、證明單調(diào)性例1求證：函數(shù)f(x)=+1在，+上是減函數(shù).分析：考慮運(yùn)用結(jié)論：4ff0減函數(shù)進(jìn)行證明，只需要進(jìn)行因式分解變形.證明：在，+上任取

2、兩個(gè)實(shí)數(shù)、，且，那么有()f()f=()()=()(+)=()0，即ff0，故函數(shù)f(x)=+1在，+上是減函數(shù).二、討論單調(diào)區(qū)間例2函數(shù)f(x)=，討論函數(shù)在區(qū)間0，+上的單調(diào)性.分析：涉及討論函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題運(yùn)用結(jié)論：1假設(shè) ，那么ff0增函數(shù)；或2假設(shè) ，那么ff0減函數(shù)比擬方便.解析：任取0，那么ff=，當(dāng)，時(shí)，又，那么0，所以ff=0，所以ff，所以f(x)在0，a上是單調(diào)減函數(shù).當(dāng)a時(shí)，那么ff=0，ff，所以f(x)在a，+上是單調(diào)增函數(shù).點(diǎn)評(píng)：一般地函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，這個(gè)結(jié)論非常有用.三、求解不等式 例3f(x)是定義在2，2上的函數(shù)，且f(x)=f(x)，又f(

3、x)在0，2上是減函數(shù)，且f(1m) f(m)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.分析：由于f(x)在0，2上是減函數(shù)，考慮運(yùn)用結(jié)論：2假設(shè) ，那么ff0減函數(shù)解決問(wèn)題.解析：f(x)=f(x)，f(x)=f(|x|)，那么f(1m)= f(|1m|)，f(m) =f(|m|)，又f(1m) f(m)0，f(|1m|) f(|m|)0 ，又f(x)在0，2上是減函數(shù)，那么有(|1m|m|) f(|1m|) f(|m|)0 ，由，解得，因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是.點(diǎn)評(píng)：抓住當(dāng)f(x)=f(x)時(shí)，得到f(x)=f(|x|)是解決此題的突破口.四、求函數(shù)最值例4函數(shù)，.1當(dāng)a=時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；2假設(shè)對(duì)任

4、意，fx0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析：對(duì)于1，將函數(shù)f(x)變形為f(x)=，又定義可知為單調(diào)增函數(shù)，對(duì)于2可以進(jìn)合理的轉(zhuǎn)化，變成二次函數(shù)的最值問(wèn)題.解析：1當(dāng)a=時(shí)，f(x)=，根據(jù)例2的結(jié)論函數(shù)在為單調(diào)增函數(shù)證明略，故有f(x)f(1)=1+2=，所以函數(shù)f(x)的最小值為.2在區(qū)間上0恒成立，等價(jià)于恒成立.設(shè)g(x)=，這是一個(gè)二次函數(shù)，在上單調(diào)遞增，故有g(shù) (x)g(1)=3+a，g(x)的最小值為：3+a，只要3+a0，故a3為所求.點(diǎn)評(píng)：課本中的函數(shù)的單調(diào)性在解題中可以直接利用，已經(jīng)證明過(guò)的函數(shù)的單調(diào)性的結(jié)論有時(shí)也可以直接利用，因此，常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性要熟練掌握，能夠提高解題

5、效率.五、比擬大小 例5函數(shù)f(x)，xr的對(duì)稱(chēng)軸為x=2，當(dāng)x2時(shí)，f(x)為增函數(shù).設(shè)a=f(1)，b=f(4)，c=f(2)，試確定的大小關(guān)系.yxox=2分析：欲比擬三者的大小關(guān)系，只需根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，畫(huà)出示意圖形可以類(lèi)比二次函數(shù)的圖形，由圖形結(jié)合單調(diào)性即可.解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng).且x2時(shí)f(x)為增函數(shù)，從而x2時(shí)是減函數(shù)，從而可以肯定離對(duì)稱(chēng)軸x=2的距離越遠(yuǎn)的數(shù)，其函數(shù)值越大.所以f(2) f(4) f(1)，即cba.點(diǎn)評(píng)：此題靈活的利用了函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行大小的比擬，結(jié)合圖象形象直觀的得到了結(jié)論，這是單調(diào)性定義應(yīng)用的創(chuàng)意.六、巧解方程例6設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，且滿足求x+y的值.分析：假設(shè)此題運(yùn)用常規(guī)解法難以下手，但是假設(shè)運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性很容易求解.當(dāng)函數(shù)存在單調(diào)性時(shí)，根據(jù)1、2、3、4不難發(fā)現(xiàn)，那么一定有：假設(shè)f()f()，那么；假設(shè)f()=f()，那么=. 解析 ：由條件可得：，設(shè)函數(shù)f(