數(shù)學模型第三版(高等教育出版社)課后習題答案

1、 數(shù)學模型作業(yè)解答第七章（2008年12月4日）1 對于7.1節(jié)蛛網模型討論下列問題：（1）因為一個時段上市的商品不能立即售完，其數(shù)量也會影響到下一時段的價格，所以第時段的價格由第和第時段的數(shù)量和決定，如果仍設仍只取決于，給出穩(wěn)定平衡的條件，并與7.1節(jié)的結果進行比較.（2）若除了由和決定之外，也由前兩個時段的價格和確定.試分析穩(wěn)定平衡的條件是否還會放寬.解：（1）由題設條件可得需求函數(shù)、供應函數(shù)分別為： 在點附近用直線來近似曲線，得到 由（2）得 （1）代入（3）得 對應齊次方程的特征方程為 特征根為當時，則有特征根在單位圓外，設，則 即平衡穩(wěn)定的條件為與的結果一致.（2）此時需求函數(shù)、供應

2、函數(shù)在處附近的直線近似表達式分別為： 由（5）得， 將（4）代入（6），得 對應齊次方程的特征方程為代數(shù)方程（7）無正實根，且不是（7）的根.設（7）的三個非零根分別為，則對（7）作變換： 則 其中 用卡丹公式：其中求出，從而得到，于是得到所有特征根的條件.2已知某商品在時段的數(shù)量和價格分別為和，其中1個時段相當于商品的一個生產周期.設該商品的需求函數(shù)和供應函數(shù)分別為和.試建立關于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件.解：已知商品的需求函數(shù)和供應函數(shù)分別為和.設曲線和相交于點，在點附近可以用直線來近似表示曲線和： -（1） -（2）從上述兩式中消去可得 ， -（3）上述（3）式是我們所建

3、立的差分方程模型，且為二階常系數(shù)線性非齊次差分方程.為了尋求點穩(wěn)定平衡條件，我們考慮（3）對應的齊次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根為 -（4）當8時，顯然有 -（5）從而 2，在單位圓外下面設，由(5)式可以算出 要使特征根均在單位圓內，即 ，必須 故點穩(wěn)定平衡條件為 3 已知某商品在時段的數(shù)量和價格分別為和，其中1個時段相當于商品的一個生產周期.設該商品的需求函數(shù)和供應函數(shù)分別為和.試建立關于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件.解：已知商品的需求函數(shù)和供應函數(shù)分別為和.設曲線和相交于點，在點附近可以用直線來近似表示曲線和： -（1） - -（2）由（2）得 -（3） （1）代

4、入（3），可得 ， -（4）上述（4）式是我們所建立的差分方程模型，且為二階常系數(shù)線性非齊次差分方程.為了尋求點穩(wěn)定平衡條件，我們考慮（4）對應的齊次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根為 -（4）當8時，顯然有 -（5）從而 2，在單位圓外下面設，由(5)式可以算出 要使特征根均在單位圓內，即 ，必須 故點穩(wěn)定平衡條件為 數(shù)學模型作業(yè)解答第八章（2008年12月9日）1 證明8.1節(jié)層次分析模型中定義的階一致陣有下列性質：（1） 的秩為1，唯一非零特征根為；（2） 的任一列向量都是對應于的特征向量. 證明： （1）由一致陣的定義知：滿足，于是對于任意兩列，有，.即列與列對應分量成比例.從而

5、對作初等行變換可得： B這里.，從而秩再根據(jù)初等行變換與初等矩陣的關系知：存在一個可逆陣，使，于是C易知C的特征根為（只有一個非零特征根）.又，與C有相同的特征根，從而A的非零特征根為，又對于任意矩陣有.故A的唯一非零特征根為.（2）對于A的任一列向量，有 的任一列向量都是對應于的特征向量.7. 右下圖是5位網球選手循環(huán)賽的結果，作為競賽圖，它是雙向連通的嗎？找出幾條完全路徑，用適當方法排出5位選手的名次.21345解：這個5階競賽圖是一個5階有向Hamilton圖.其一個有向Hamilton圈為3.所以此競賽圖是雙向連通的. 等都是完全路徑. 此競賽圖的鄰接矩陣為 令，各級得分向量為， ，

6、， 由此得名次為5，1（4），2，3 （選手1和4名次相同）. 注：給5位網球選手排名次也可由計算A的最大特征根和對應特征向量得到：，數(shù)學模型作業(yè)（12月16日）解答1.基于省時、收入、岸間商業(yè)、當?shù)厣虡I(yè)、建筑就業(yè)等五項因素，擬用層次分析法在建橋梁、修隧道、設渡輪這三個方案中選一個，畫出目標為“越海方案的最優(yōu)經濟效益”的層次結構圖.越海方案的最優(yōu)經濟效益解：目標層 建筑就 業(yè)岸間商 業(yè)當?shù)厣虡I(yè)收入省時 準則層修隧道建橋梁設渡輪 方案層 2.簡述層次分析法的基本步驟. 問對于一個即將畢業(yè)的大學生選擇工作崗位的決策問題要分成哪3個層次？具體內容分別是什么？答：層次分析法的基本步驟為：（1）建立層次

7、結構模型；（2）構造成對比較陣；（3）計算權向量并做一致性檢驗；（4）計算組合權向量并做組合一致性檢驗 對于一個即將畢業(yè)的大學生選擇工作崗位的決策問題，用層次分析法一般可分解為目標層、準則層和方案層這3個層次. 目標層是選擇工作崗位，方案層是工作崗位1、工作崗位2、工作崗位3等，準則層一般為貢獻、收入、發(fā)展、聲譽、關系、位置等.3用層次分析法時，一般可將決策問題分解成哪3個層次？試給出一致性指標的定義以及n階正負反陣A為一致陣的充要條件. 答：用層次分析法時，一般可將決策問題分解為目標層、準則層和方案層這3個層次； 一致性指標的定義為：n階正互反陣A是一致陣的充要條件為：A的最大特征根=n 第

8、九章（2008年12月18日）1在節(jié)傳送帶效率模型中,設工人數(shù)固定不變.若想提高傳送帶效率D,一種簡單的方法是增加一個周期內通過工作臺的鉤子數(shù)，比如增加一倍，其它條件不變另一種方法是在原來放置一只鉤子的地方放置兩只鉤子，其它條件不變，于是每個工人在任何時刻可以同時觸到兩只鉤子，只要其中一只是空的，他就可以掛上產品，這種辦法用的鉤子數(shù)量與第一種辦法一樣試推導這種情況下傳送帶效率的公式，從數(shù)量關系上說明這種辦法比第一種辦法好解：兩種情況的鉤子數(shù)均為第一種辦法是個位置，單鉤放置個鉤子；第二種辦法是個位置，成對放置個鉤子 由節(jié)的傳送帶效率公式，第一種辦法的效率公式為當較小，時，有， 下面推導第二種辦法

9、的傳送帶效率公式：對于個位置，每個位置放置的兩只鉤子稱為一個鉤對，考慮一個周期內通過的個鉤對任一只鉤對被一名工人接觸到的概率是； 任一只鉤對不被一名工人接觸到的概率是；記由工人生產的獨立性及事件的互不相容性得，任一鉤對為空的概率為，其空鉤的數(shù)為；任一鉤對上只掛上件產品的概率為，其空鉤數(shù)為所以一個周期內通過的個鉤子中，空鉤的平均數(shù)為 于是帶走產品的平均數(shù)是 ，未帶走產品的平均數(shù)是 ）此時傳送帶效率公式為 近似效率公式：由于 當時，并令，則 兩種辦法的比較：由上知：，當時， 所以第二種辦法比第一種辦法好數(shù)學模型作業(yè)解答 第九章（2008年12月23日）一報童每天從郵局訂購一種報紙，沿街叫賣.已知每

10、100份報紙報童全部賣出可獲利7元.如果當天賣不掉，第二天削價可以全部賣出，但報童每100份報紙要賠4元.報童每天售出的報紙數(shù)是一隨機變量，其概率分布如下表：售出報紙數(shù)（百份）012345概率0050.10.250.350.150.1試問報童每天訂購多少份報紙最佳(訂購量必須是100的倍數(shù))？解：設每天訂購百份紙，則收益函數(shù)為 收益的期望值為G(n) = + 現(xiàn)分別求出 =時的收益期望值. G(0)=0；G(1)=×0.05+7×0.1+7×（0.25+0.35+0.15+0.1）=6.45;G(2)= ();G(3)=() G(4)=() G(5)= 當報童每天

11、訂300份時，收益的期望值最大. 數(shù)模復習資料第一章1. 原型與模型原型就是實際對象.模型就是原型的替代物.所謂模型, 按北京師范大學劉來福教授的觀點：模型就是人們?yōu)橐欢ǖ哪康膶υ瓦M行的一個抽象.如航空模型、城市交通模型等.模型2. 數(shù)學模型對某一實際問題應用數(shù)學語言和方法,通過抽象、簡化、假設等對這一實際問題近似刻劃所得的數(shù)學結構,稱為此實際問題的一個數(shù)學模型. 例如力學中著名的牛頓第二定律使用公式來描述受力物體的運動規(guī)律就是一個成功的數(shù)學模型.或又如描述人口隨時間自由增長過程的微分方程.3. 數(shù)學建模所謂數(shù)學建模是指根據(jù)需要針對實際問題組建數(shù)學模型的過程.更具體地說,數(shù)學建模是指對于現(xiàn)實

12、世界的某一特定系統(tǒng)或特定問題,為了一個特定的目的,運用數(shù)學的語言和方法,通過抽象和簡化,建立一個近似描述這個系統(tǒng)或問題的數(shù)學結構(數(shù)學模型),運用適當?shù)臄?shù)學工具以及計算機技術來解模型,最后將其結果接受實際的檢驗,并反復修改和完善.數(shù)學建模過程流程圖為：實際問題抽象、簡化、假設確定變量、參數(shù)歸結數(shù)學模型 數(shù)學地、數(shù)值地 求解模型估計參數(shù)否 檢驗模型(用實例或有關知識)符合否？是評價、推廣并交付使用產生經濟、社會效益4.數(shù)學建模的步驟依次為：模型準備、模型假設、模型構成、模型求解、模型分析、模型檢驗、模型應用5.數(shù)學模型的分類數(shù)學模型可以按照不同的方式分類,常見的有：a.按模型的應用領域分類 數(shù)學

13、模型 b.按建模的數(shù)學方法分類 數(shù)學模型 c.按建模目的來分類 數(shù)學模型 d.層次分析法的基本步驟：1.建立層次結構模型2.構造成對比較陣3.計算權向量并作一致性檢驗4.計算組合權向量并作組合一致性檢驗e.n階正互反正A是一致陣的充要條件為A的最大特征值為nf.正互反陣最大特征根和特征向量的實用算法：冪法、和法、根法4在“椅子擺放問題”的假設條件中，將四腳的連線呈正方形改為呈長方形，其余條件不變.試構造模型并求解.解：設椅子四腳連線呈長方形ABCD. AB與CD的對稱軸為軸，用中心點的轉角表示椅子的位置.將相鄰兩腳A、B與地面距離之和記為;C、D與地面距離之和記為.并旋轉.于是，設就得到.數(shù)學

14、模型：設是上的非負連續(xù)函數(shù).若,有,且,則,使.模型求解:令 .就有 .再由的連續(xù)性,得到是一個連續(xù)函數(shù). 從而是上的連續(xù)函數(shù).由連續(xù)函數(shù)的介值定理：,使.即,使.又因為,有.故.9 （1）某甲早8：00從山下旅店出發(fā)，沿一條路徑上山，下午5：00到達山頂并留宿.次日早8：00沿同一路徑下山，下午5：00回到旅店.某乙說，甲必在兩天中的同一時刻經過路徑中的同一地點.為什么？（2）37支球隊進行冠軍爭奪賽，每輪比賽中出場的每兩支球隊中的勝者及輪空者進入下一輪，直至比賽結束.問共需進行多少場比賽，共需進行多少輪比賽.如果是支球隊比賽呢？解：（1）方法一：以時間為橫坐標，以沿上山路徑從山下旅店到山頂

15、的行程為縱坐標， 第一天的行程可用曲線（）表示 ，第二天的行程可用曲線（）表示，（）（）是連續(xù)曲線必有交點,兩天都在時刻經過地點. x d 方法二：設想有兩個人， () 一人上山，一人下山，同一天同 時出發(fā)，沿同一路徑,必定相遇. () t 早8 晚5 方法三：我們以山下旅店為始點記路程,設從山下旅店到山頂?shù)穆烦毯瘮?shù)為(即t時刻走的路程為),同樣設從山頂?shù)缴较侣玫甑穆泛瘮?shù)為,并設山下旅店到山頂?shù)木嚯x為(>0).由題意知：,.令,則有，由于,都是時間t的連續(xù)函數(shù),因此也是時間t的連續(xù)函數(shù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理,使,即.（2）36場比賽，因為除冠軍隊外，每隊都負一場；6輪比賽，因為2隊賽1輪

16、，4隊賽2輪，32隊賽5輪. 隊需賽場，若，則需賽輪.2已知某商品在時段的數(shù)量和價格分別為和，其中1個時段相當于商品的一個生產周期.設該商品的需求函數(shù)和供應函數(shù)分別為和.試建立關于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件.解：已知商品的需求函數(shù)和供應函數(shù)分別為和.設曲線和相交于點，在點附近可以用直線來近似表示曲線和： -（1） - -（2）由（2）得 -（3） （1）代入（3），可得 ， -（4）上述（4）式是我們所建立的差分方程模型，且為二階常系數(shù)線性非齊次差分方程.為了尋求點穩(wěn)定平衡條件，我們考慮（4）對應的齊次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根為 -（5）當8時，顯然有 -（6）從

17、而 2，在單位圓外下面設，由(5)式可以算出 要使特征根均在單位圓內，即 ，必須 故點穩(wěn)定平衡條件為 3設某漁場魚量(時刻漁場中魚的數(shù)量)的自然增長規(guī)律為：其中為固有增長率,為環(huán)境容許的最大魚量. 而單位時間捕撈量為常數(shù).（1）求漁場魚量的平衡點,并討論其穩(wěn)定性;（2）試確定捕撈強度,使?jié)O場單位時間內具有最大持續(xù)產量,并求此時漁場魚量水平.解：（1）.變化規(guī)律的數(shù)學模型為 記,令 ，即 -（1） ， （1）的解為： 當時，（1）無實根，此時無平衡點； 當時，（1）有兩個相等的實根，平衡點為. ， 不能斷定其穩(wěn)定性.但 及 均有 ，即不穩(wěn)定； 當時，得到兩個平衡點： ， 易知 ， ， 平衡點不穩(wěn)

18、定 ，平衡點穩(wěn)定. （2）最大持續(xù)產量的數(shù)學模型為： 即 ， 易得 此時 ，但這個平衡點不穩(wěn)定.要獲得最大持續(xù)產量，應使?jié)O場魚量,且盡量接近,但不能等于.5某工廠生產甲、乙兩種產品,生產每件產品需要原材料、能源消耗、勞動力及所獲利潤如下表所示：品種原材料能源消耗(百元)勞動力(人)利潤(千元)甲2144乙3625現(xiàn)有庫存原材料1400千克；能源消耗總額不超過2400百元；全廠勞動力滿員為2000人.試安排生產任務(生產甲、乙產品各多少件),使利潤最大,并求出最大利潤.解：設安排生產甲產品件，乙產品件，相應的利潤為S.則此問題的數(shù)學模型為 模型的求解： 用圖解法.可行域為：由直線組成的凸五邊形區(qū)

19、域. 直線在此凸五邊形區(qū)域內平行移動. 易知：當過的交點時，S取最大值. 由 解得：（千元）. 故安排生產甲產品400件、乙產品200件,可使利潤最大,其最大利潤為2600千元.6. 某廠擬用集裝箱托運甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量以及可獲利潤如下表：貨物體積（立方米/箱）重量（百斤/箱）利潤（百元/箱）甲5220乙4510 已知這兩種貨物托運所受限制是體積不超過24立方米，重量不超過13百斤.試問這兩種貨物各托運多少箱，使得所獲利潤最大，并求出最大利潤.解:設甲貨物、乙貨物的托運箱數(shù)分別為,所獲利潤為則問題的數(shù)學模型可表示為 這是一個整線性規(guī)劃問題. 用圖解法求解. 可行域為：由直線 及組成

20、直線 在此凸四邊形區(qū)域內平行移動. 易知：當過與的交點時，取最大值由 解得 . 7.深水中的波速與波長、水深、水的密度和重力加速度有關，試用量綱分析方法給出波速的表達式.解：設,， 的關系為=0.其量綱表達式為=LM0T-1，=LM0T0，=LM0T0，=L-3MT0， =LM0T-2,其中L，M，T是基本量綱. -4分量綱矩陣為 A= 齊次線性方程組Ay=0 ，即 的基本解為= = 由量綱定理 得 , , ，其中是未定函數(shù) . 第二章(2)（2008年10月9日15速度為的風吹在迎風面積為的風車上，空氣密度是 ，用量綱分析方法確定風車獲得的功率與、S、的關系.解: 設、S、的關系為， 其量綱

21、表達式為:P=, =,=,=,這里是基本量綱.量綱矩陣為：A=齊次線性方程組為：它的基本解為由量綱定理得， ， 其中是無量綱常數(shù).16雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)和重力加速度有關，其中粘滯系數(shù)的定義是：運動物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度的表達式.解：設, 的關系為,=0.其量綱表達式為=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T-2,其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組Ay=0 ，即 的基本解為y=(-3 ,-1 ,1 ,1)由量

22、綱定理 得 . ，其中是無量綱常數(shù).16雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)、特征尺寸和重力加速度有關，其中粘滯系數(shù)的定義是：運動物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度的表達式.解：設,， 的關系為.其量綱表達式為=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T0 ，=LM0T-2其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為A=齊次線性方程組Ay=0 即 的基本解為 得到兩個相互獨立的無量綱量即 . 由 , 得 , 其中是未定函數(shù). 20.考察阻尼擺的周期，即在單擺運動中考慮阻

23、力，并設阻力與擺的速度成正比.給出周期的表達式，然后討論物理模擬的比例模型，即怎樣由模型擺的周期計算原型擺的周期.解：設阻尼擺周期,擺長, 質量,重力加速度，阻力系數(shù)的關系為其量綱表達式為：， 其中，是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組 的基本解為得到兩個相互獨立的無量綱量, , ，其中是未定函數(shù) . 考慮物理模擬的比例模型，設和不變，記模型和原型擺的周期、擺長、質量分別為,；,;,. 又 當無量綱量時， 就有 .第三章1（2008年10月14日）1. 在3.1節(jié)存貯模型的總費用中增加購買貨物本身的費用,重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量證明在不允許缺貨模型中結果與原來的一樣，而在允許缺貨模

24、型中最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量都比原來結果減少解：設購買單位重量貨物的費用為,其它假設及符號約定同課本 對于不允許缺貨模型，每天平均費用為： 令 ， 解得由 ，得與不考慮購貨費的結果比較，、的最優(yōu)結果沒有變 對于允許缺貨模型，每天平均費用為： 令，得到駐點：與不考慮購貨費的結果比較，、的最優(yōu)結果減少2建立不允許缺貨的生產銷售存貯模型設生產速率為常數(shù)，銷售速率為常數(shù)，在每個生產周期內，開始的一段時間一邊生產一邊銷售，后來的一段時間只銷售不生產，畫出貯存量的圖形.設每次生產準備費為，單位時間每件產品貯存費為，以總費用最小為目標確定最優(yōu)生產周期，討論和的情況. 解：由題意可得貯存量的圖形如下：O 貯存費

25、為 又 , 貯存費變?yōu)?于是不允許缺貨的情況下，生產銷售的總費用（單位時間內）為 . , 得 易得函數(shù)取得最小值，即最優(yōu)周期為： . 相當于不考慮生產的情況. . 此時產量與銷量相抵消，無法形成貯存量.第四章（2008年10月28日）1. 某廠生產甲、乙兩種產品,一件甲產品用原料1千克, 原料5千克；一件乙產品用原料2千克, 原料4千克.現(xiàn)有原料20千克, 原料70千克.甲、乙產品每件售價分別為20元和30元.問如何安排生產使收入最大？解：設安排生產甲產品x件,乙產品y件，相應的利潤為S則此問題的數(shù)學模型為： max S=20x+30y s.t. 這是一個整線性規(guī)劃問題，現(xiàn)用圖解法進行求解可行

26、域為：由直線：x+2y=20, :5x+4y70 y 以及x=0,y=0組成的凸四邊形區(qū)域. 直線：20x+30y=c在可行域內 平行移動. 易知：當過與的交點時， xS取最大值. 由 解得 此時 20350（元）2. 某廠擬用集裝箱托運甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量以及可獲利潤如下表：貨物體積（立方米/箱）重量（百斤/箱）利潤（百元/箱）甲5220乙4510 已知這兩種貨物托運所受限制是體積不超過24立方米，重量不超過13百斤.試問這兩種貨物各托運多少箱，使得所獲利潤最大，并求出最大利潤.解:設甲貨物、乙貨物的托運箱數(shù)分別為,所獲利潤為則問題的數(shù)學模型可表示為 這是一個整線性規(guī)劃問題. 用圖

27、解法求解. 可行域為：由直線 及組成直線 在此凸四邊形區(qū)域內平行移動. 易知：當過與的交點時，取最大值由 解得 . 3某微波爐生產企業(yè)計劃在下季度生產甲、乙兩種型號的微波爐.已知每臺甲型、乙型微波爐的銷售利潤分別為3和2個單位.而生產一臺甲型、乙型微波爐所耗原料分別為2和3個單位,所需工時分別為4和2個單位.若允許使用原料為100個單位,工時為120個單位,且甲型、乙型微波爐產量分別不低于6臺和12臺.試建立一個數(shù)學模型,確定生產甲型、乙型微波爐的臺數(shù),使獲利潤最大并求出最大利潤.解：設安排生產甲型微波爐件,乙型微波爐件,相應的利潤為S.則此問題的數(shù)學模型為： max S=3x +2y s.t

28、. 這是一個整線性規(guī)劃問題 用圖解法進行求解可行域為：由直線：2x+3y=100, :4x+2y120 及x=6,y=12組成的凸四邊形區(qū)域. 直線：3x+2y=c在此凸四邊形區(qū)域內平行移動. 易知：當過與的交點時, S取最大值. 由 解得 . 3100.第五章2（2008年11月14日）中心室, 排除6. 模仿5.4節(jié)建立的二室模型來建立一室模型（只有中心室），在快速靜脈注射、恒速靜脈滴注（持續(xù)時間為）和口服或肌肉注射3種給藥方式下求解血藥濃度，并畫出血藥濃度曲線的圖形.解: 設給藥速率為 (1)快速靜脈注射: 設給藥量為 則(2)恒速靜脈滴注(持續(xù)時間為): 設滴注速率為解得 (3) 口服

29、或肌肉注射: 3種情況下的血藥濃度曲線如下：(1)(2)(3)Ot 4在5.3節(jié)正規(guī)戰(zhàn)爭模型（3）中，設乙方與甲方戰(zhàn)斗有效系數(shù)之比為初始兵力相同. (1) 問乙方取勝時的剩余兵力是多少,乙方取勝的時間如何確定. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊以不變的速率增援,重新建立模型,討論如何判斷雙方的勝負. 解:用表示甲、乙交戰(zhàn)雙方時刻t的士兵人數(shù),則正規(guī)戰(zhàn)爭模型可近似表示為: 現(xiàn)求(1)的解: (1)的系數(shù)矩陣為.再由初始條件，得又由其解為 (1) 即乙方取勝時的剩余兵力數(shù)為又令注意到. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊以不變的速率增援.則 相軌線為 此相軌線比書圖11中的軌線上移了乙方取勝

30、的條件為第六章（2008年11月20日）1.在6.1節(jié)捕魚模型中，如果漁場魚量的自然增長仍服從Logistic規(guī)律，而單位時間捕撈量為常數(shù)h(1)分別就，這3種情況討論漁場魚量方程的平衡點及其穩(wěn)定狀況(2)如何獲得最大持續(xù)產量，其結果與6.1節(jié)的產量模型有何不同解：設時刻t的漁場中魚的數(shù)量為，則由題設條件知：變化規(guī)律的數(shù)學模型為記(1).討論漁場魚量的平衡點及其穩(wěn)定性：由，得 即 ，(1)的解為：當，(1)無實根，此時無平衡點；當，(1)有兩個相等的實根，平衡點為.， 不能斷定其穩(wěn)定性.但 及 均有 ，即不穩(wěn)定；當，時，得到兩個平衡點：， 易知： ， ， ，平衡點不穩(wěn)定，平衡點穩(wěn)定x(2)最大

31、持續(xù)產量的數(shù)學模型為即 ， 易得 此時 ，但這個平衡點不穩(wěn)定這是與6.1節(jié)的產量模型不同之處要獲得最大持續(xù)產量，應使?jié)O場魚量，且盡量接近，但不能等于第八章（2008年12月9日）1.基于省時、收入、岸間商業(yè)、當?shù)厣虡I(yè)、建筑就業(yè)等五項因素，擬用層次分析法在建橋梁、修隧道、設渡輪這三個方案中選一個，畫出目標為“越海方案的最優(yōu)經濟效益”的層次結構圖.越海方案的最優(yōu)經濟效益解：目標層 建筑就 業(yè)岸間商 業(yè)當?shù)厣虡I(yè)收入省時 準則層修隧道建橋梁設渡輪 方案層 2.簡述層次分析法的基本步驟. 問對于一個即將畢業(yè)的大學生選擇工作崗位的決策問題要分成哪3個層次？具體內容分別是什么？答：層次分析法的基本步驟為：（

32、1）建立層次結構模型；（2）構造成對比較陣；（3）計算權向量并做一致性檢驗；（4）計算組合權向量并做組合一致性檢驗 對于一個即將畢業(yè)的大學生選擇工作崗位的決策問題，用層次分析法一般可分解為目標層、準則層和方案層這3個層次. 目標層是選擇工作崗位，方案層是工作崗位1、工作崗位2、工作崗位3等，準則層一般為貢獻、收入、發(fā)展、聲譽、關系、位置等.3用層次分析法時，一般可將決策問題分解成哪3個層次？試給出一致性指標的定義以及n階正負反陣A為一致陣的充要條件. 答：用層次分析法時，一般可將決策問題分解為目標層、準則層和方案層這3個層次； 一致性指標的定義為：n階正互反陣A是一致陣的充要條件為：A的最大特

33、征根=n7. 右下圖是5位網球選手循環(huán)賽的結果，作為競賽圖，它是雙向連通的嗎？找出幾條完全路徑，用適當方法排出5位選手的名次.21345解：這個5階競賽圖是一個5階有向Hamilton圖.其一個有向Hamilton圈為3.所以此競賽圖是雙向連通的. 等都是完全路徑. 此競賽圖的鄰接矩陣為 令，各級得分向量為， ， ， 由此得名次為5，1（4），2，3 （選手1和4名次相同）.第九章（2008年12月23日）一報童每天從郵局訂購一種報紙，沿街叫賣.已知每100份報紙報童全部賣出可獲利7元.如果當天賣不掉，第二天削價可以全部賣出，但報童每100份報紙要賠4元.報童每天售出的報紙數(shù)是一隨機變量，其概

34、率分布如下表：售出報紙數(shù)（百份）012345概率0050.10.250.350.150.1試問報童每天訂購多少份報紙最佳(訂購量必須是100的倍數(shù))？解：設每天訂購百份紙，則收益函數(shù)為: 收益的期望值為G(n) = + 現(xiàn)分別求出 =時的收益期望值. G(0)=0；G(1)=×0.05+7×0.1+7×（0.25+0.35+0.15+0.1）=6.45;G(2)= ();G(3)=() G(4)=() G(5)= 當報童每天訂300份時，收益的期望值最大.數(shù)學模型作業(yè)解答第一章（2008年9月9日）4在“椅子擺放問題”的假設條件中，將四腳的連線呈正方形改為呈長方形

35、，其余條件不變.試構造模型并求解.解：設椅子四腳連線呈長方形ABCD. AB與CD的對稱軸為軸，用中心點的轉角表示椅子的位置.將相鄰兩腳A、B與地面距離之和記為;C、D與地面距離之和記為.并旋轉.于是，設就得到.數(shù)學模型：設是上的非負連續(xù)函數(shù).若,有,且,則,使.模型求解:令 .就有 .再由的連續(xù)性,得到是一個連續(xù)函數(shù). 從而是上的連續(xù)函數(shù).由連續(xù)函數(shù)的介值定理：,使.即,使.又因為,有.故.8. 假定人口的增長服從這樣的規(guī)律：時刻的人口為,單位時間內人口的增量與成正比（其中為最大容量）.試建立模型并求解.作出解的圖形并與指數(shù)增長模型、阻滯增長模型的結果比較.解：現(xiàn)考察某地區(qū)的人口數(shù)，記時刻的

36、人口數(shù)為（一般是很大的整數(shù)）,且設為連續(xù)可微函數(shù).又設.任給時刻及時間增量,因為單位時間內人口增長量與成正比, 假設其比例系數(shù)為常數(shù).則到內人口的增量為： .兩邊除以,并令,得到 解為 如圖實線所示， 指數(shù)模型 當充分大時 它與Logistic模型相近. Logistic模型 o t 9為了培養(yǎng)想象力、洞察力和判斷力，考察對象時除了從正面分析外，還常常需要從側面或反面思考.試盡可能迅速回答下面問題：（1） 某甲早8：00從山下旅店出發(fā)，沿一條路徑上山，下午5：00到達山頂并留宿.次日早8：00沿同一路徑下山，下午5：00回到旅店.某乙說，甲必在兩天中的同一時刻經過路徑中的同一地點.為什么？（2

37、） 37支球隊進行冠軍爭奪賽，每輪比賽中出場的每兩支球隊中的勝者及輪空者進入下一輪，直至比賽結束.問共需進行多少場比賽，共需進行多少輪比賽.如果是支球隊比賽呢？（3） 甲乙兩站之間有電車相通，每隔10分鐘甲乙兩站相互發(fā)一趟車，但發(fā)車時刻不一定相同.甲乙之間有一中間站丙，某人每天在隨機的時刻到達丙站，并搭乘最先經過丙站的那趟車，結果發(fā)現(xiàn)100天中約有90天到達甲站，僅約10天到達乙站.問開往甲乙兩站的電車經過丙站的時刻表是如何安排的？（4） 某人家住T市在他鄉(xiāng)工作，每天下班后乘火車于6：00抵達T市車站，他的妻子駕車準時到車站接他回家，一日他提前下班搭早一班火車于5：30抵T市車站，隨即步行回家，他的妻子象往常一