有限元強度折減法

1、有限元強度折減法1背景1974年，Smith & Hobbs1 使用有限元方法分析了血=0條件下的邊坡穩(wěn)定性并與Taylar的結(jié)果進行對比，得到了很好的一致性；1975年，Zienkiewicz等3 考慮c' ©進行有限元邊坡穩(wěn)定性分析，其結(jié)果與圓弧滑面解有較好吻合；1980年Griffiths驗證了一系列具有不同材料特性和形狀的邊坡穩(wěn)定性并通過與 Bishop & Morge nsterN5的結(jié)果進行了對比確定了數(shù)據(jù)的可靠性；此后也有研究證 實了利用有限元方法進行邊坡穩(wěn)定性分析的可靠性Q"9】；在文獻9中,引入一些案例證明了有限元強度折減法的準確性

2、，并證明了有限元強度折減法在分析非均 質(zhì)邊坡時相對于傳統(tǒng)方法的優(yōu)越性。2001年，鄭穎人等10把有限元強度折減法 引入國內(nèi)，并對此進行了后續(xù)研究11,12,13,14。相較于一些傳統(tǒng)的邊坡穩(wěn)定型分析方法，有限元強度折減法有以下幾個優(yōu)點9:(1) 不必假設(shè)滑面的位置和形狀，當土體自身強度不足以抵抗剪應(yīng)力時土體 失穩(wěn)會自然發(fā)生。(2) 由于有限元強度折減法中沒有條分的概念，因此也不必假設(shè)條間力，在 整體失穩(wěn)之前土體都處于整體穩(wěn)定狀態(tài)。(3) 使用有限元方法能夠查看破壞過程。2有限元強度系數(shù)折減法1. 模型參數(shù)邊坡模型主要包括六個參數(shù)，分別是：膨脹角職內(nèi)摩擦角黏聚力c'彈性模量E'、

3、泊松比u'重度丫。膨脹角影響土體屈服后的體積變形，若書0則土體屈服后體積減小，若書0 則體積增大，書=0則體積不變。書=©的情況被稱之為關(guān)聯(lián)流動法則，但是此時書值通常高于實驗觀測值，特別是在側(cè)限條件下會提高土的承載力預(yù)測值。邊坡穩(wěn)定型問題通常是處于無側(cè)限條件下， 此時膨脹角的選取不再重要9，因此文獻9 選取書=0條件下的非關(guān)聯(lián)流動法則，并且通過案例分析可以得出此膨脹角的選 取可以得出準確的安全系數(shù)以及滑動面。c和©指Mohr-Coulomb準則中邊坡土體的有效黏聚力和內(nèi)摩擦角；E'和u、是土體材料的彈性參數(shù)，這兩個參數(shù)對土體穩(wěn)定性分析的影響較小；丫是土體的重

4、度。應(yīng)用有限元方法進行邊坡穩(wěn)定性分析中最重要的三個參數(shù)是c' ©、和Y2. 屈服條件(1) Mohr-Coulomb 準則Mohr-Coulomb準則用大小主應(yīng)力表示如式(1)所示:?-?32?+?'2? ?其中，？?、？?分別指土中一點的大小主應(yīng)力。在主應(yīng)力空間中，如果不考慮?、?、?之間的大小關(guān)系，屈服面是一個不等角六棱錐，在n平面上是一個 等邊不等角六邊形。(2) D-P準則?-?3?-?3(? - ?)2 + (?-?v?=(?-V3?)其中？?= V1- ? ?將其帶入(2),得式：?- ?=1.5?(? + ?3?) + ?2-?+巧_-?+3與式(1)對

5、比可知兩個準則之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如式 所示：1.5sin ? = ?-? - ?二？ 2心 -?2c?qos (?= ?-2V3因此，當b=0時，即外角點外接DP圓的兩個試驗常數(shù)分別如式 所示，當 b=1時，即內(nèi)角點外接DP圓的兩個試驗常數(shù)分別如式(8)所示。2?卩=v3(3-?) 2?卩=v3(3+?，?=?=6?v3(3-?)6?v3(3+?)(8)D-P準則可以寫成式(2)形式：-B1 + Vv2 = ?(2)其中Ii為第一應(yīng)力不變量、J2為第二偏應(yīng)力不變量，B和kf為試驗常數(shù)。在 主應(yīng)力空間中其屈服面為一個圓錐，在n平面上是一個圓形3)D-P準則轉(zhuǎn)換為Mohr-Coulomb準則 首先引入

6、參數(shù)b,如式(3)所示：b =貝?1和二?分別可轉(zhuǎn)化為式(4):_ 3(? + ?=002> 001外角點外接D蘆 T> 0203=0 b = 1=3b=0(,)2> 3102 > 100 T 03 內(nèi)角點外接D P圓02*3. 安全系數(shù)的定義(1)Mohr-Coulomb準則中的安全系數(shù)1955年, Bishop15首先在邊坡穩(wěn)定性分析中提出了抗剪強度折減的概念， 在 有限元強度折減法中通過將坡體的強度參數(shù)：黏聚力 c和內(nèi)摩擦角©同時除一 個折減系數(shù)Ft,得到一組新的c'和©值，作為一個新的強度參數(shù)輸入進行試算，當計算不收斂時，對應(yīng)的Ft即

7、為所求的安全系數(shù)，此時坡體達到極限狀態(tài)，發(fā)生 剪切破壞。c' =c/F ©' =arctan(tant) © /F(2) D-P(Drucker-Prager)準則中的安全系數(shù)取Ft為D-P準則中的強度折減系數(shù)，則 D-P準則可以表示為式(9),?-?+ "?=鬲(3) 不同屈服條件下安全系數(shù)轉(zhuǎn)換13首先引入Mohr-Coulomb等面積圓屈服準則，在n平面上，其屈服面是 圓，并且面積與 Mohr-Coulomb準則的不等角六邊形相等，Mohr-Coulomb 積圓屈服準則中的試驗參數(shù)如式(10)所示：sin © (9)等面3 =V3(乜

8、？?？?？?？)v3ccos ©(10)?=-v3?124 2 2?2.一？? +1)(1)式中?= ? 9? 3玄寧-1)簡稱外接圓屈服準則為DP1準則，其試驗常數(shù)分別為 3,kf1 ； Mohr-Coulomb 等面積圓屈服準則為DP2準則，其試驗常數(shù)分別為 血，kf2。把DP1準則表示為 f1 = V?= ?!?+ ?1， DP2 準則可表示為 f2 = V?= ?+ ?2 o 令 f1?+?2n =3 2=kf1kf2=f( ©,) f1 = ?+ ?1= ?+ ?，所以 W =選?+?2 = ?= ?(?)由此可知，n是©的函數(shù)，當©取不同值時

9、可以得到不同的 n值如表1所 列：表1不同內(nèi)摩擦角時的 n值<p/C)】0203()40.ia)L 165L233.301L367<p/ f)5060708090L4281*48()L52Ih 5461,5554. 失穩(wěn)判據(jù)目前兩個比較主流的失穩(wěn)判據(jù)分別是有限元計算中力不平衡和位移的不收 斂以及廣義塑性應(yīng)變或者等效塑性應(yīng)變從坡腳到坡頂貫通。Griffiths9和鄭穎人11121314都使用計算不收斂作為失穩(wěn)判據(jù)。Griffiths9提出，當在用戶定義的最大迭代數(shù)目下計算仍不收斂時， 則沒有任 何一種應(yīng)力分布方式可以同時滿足 Mohr-Coulomb準則以及整體穩(wěn)定，這種情況 可看做

10、邊坡失穩(wěn)判據(jù)。邊坡失穩(wěn)與數(shù)值計算不收斂同時發(fā)生，并伴隨著極大的節(jié) 點位移，并以1000作為最大的迭代步數(shù)。鄭穎人14提出，有限元的計算迭代過程就是尋找外力和內(nèi)力達到平衡狀態(tài) 的過程，整個迭代過程直到一個合適的收斂標準得到滿足才停止?？梢姡绻吰率Х€(wěn)破壞，滑面上將產(chǎn)生沒有限制的塑性變形，有限元程序無法從有限元方程 組中找到一個既能滿足靜力平衡又能滿足應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和強度準則的解，此時 不管是從力的收斂標準，還是從位移的收斂標準來判斷有限元計算都不收斂。3案例分析例一，不含地基的均質(zhì)邊坡9該邊坡如圖1所示，有限元程序采用Mohr-Coulomb失效準則，建立平面應(yīng)變條件下八節(jié)點四邊形單元減縮積分

11、計算模型，其強度參數(shù)為©' =2氏/ 丫 h=d05邊坡坡度為26.57 ° (2:1)坡底水平，其邊界條件為坡底約束豎直方向位移與水平 方向位移，左側(cè)約束水平方向位移，其余面為自由面。施加重力荷載后使安全系 數(shù)從0.8到1.4逐步變化直至計算不收斂1 仲-一一一+冷巴詈常圖1不含地基的均質(zhì)邊坡每一個安全系數(shù)對應(yīng)的迭代次數(shù)如表 2所列，當真正的安全系數(shù)接近時需要 更多的迭代次數(shù)。表2例一計算結(jié)果FOSE rHUK/y h'Iterationso-8o n037921 000 3KIJO1-20042220b300453411-350 5447921-401

12、476lOOt)當安全系數(shù)為1.4時，無量綱位移E' nSax/ yH突變，并且此時計算無法收斂， 在此情況下有限元計算結(jié)果與Bishop & MorgensterH5給出的結(jié)果吻合良好，女口圖2所示。Bishop & Morgertstern (I960)FOS = 1 380oa1V2?4V6FOS圖2安全系數(shù)與無量綱位移邊坡失穩(wěn)時(F0S=1.4)節(jié)點位移矢量和網(wǎng)格變形如圖3(a)和圖3(b)所示，由此可得到邊坡的潛在滑動面。(9)圖3安全系數(shù)為1.4計算不收斂時邊坡變形 (a)節(jié)點位移矢量(b)網(wǎng)格變形例二，有軟弱層的不排水黏性土邊坡在本案例中，使用Tresca

13、準則(U=0)進行總應(yīng)力分析。邊坡幾何形狀如圖4所示，地基厚度與邊坡高度相同，該邊坡有一個軟弱層，在有限元計算中，令其 抗剪強度(Cu2)在一定范圍內(nèi)變化但其周圍土體抗剪強度保持Cui/ 丫 H=0.2不變。利用有限元方法計算該邊坡的安全系數(shù)結(jié)果如圖5所示，對于均質(zhì)邊坡情況，Cu2/Cu1=1，有限元計算結(jié)果與Taylor的結(jié)論很接近，隨著軟弱層的強度逐 漸減小，在Cu2/Cu1- 0.6寸，結(jié)果發(fā)生了明顯的變化。分別假定圓弧滑面和穿過軟 弱面的三段線滑面并利用Janbu法計算安全系數(shù)，可見在 Cu2/Cu1 - 0.6處也發(fā)生 了滑動機制的轉(zhuǎn)換，當Cu2/Cu1>0.6時，潛在滑面形狀

14、為圓弧，當Cu2/Cu1<0.6時， 潛在滑面為結(jié)構(gòu)軟弱面。圖6更加清晰的展示了這一現(xiàn)象，圖6(a)為均質(zhì)邊坡(Cu2/Cu1=1)時的潛在滑面，可見此時的滑面形狀為圓弧滑面，與Taylor2的預(yù)測相同；圖6(c)為軟弱層強度只有其周圍土體 20%( Cu2/Cu1=0.2)時的潛在滑面，此 時潛在滑面沿軟弱層發(fā)展；圖6(b)為軟弱層強度只有其周圍土體60%( Cu2/Cu1=0.6) 時的潛在滑面，此時圓弧滑面和沿軟弱層的三段線式滑面都有可能發(fā)展，至少存在兩種明顯的滑動機制。1 p3 -1614121 -0 80硏04 -02Taylor (1937)FOS = 1 -47唧YH =

15、02500圖5不同軟弱層強度時的安全系數(shù)圖例三，不同坡度邊坡安全系數(shù)計算13，驗證Mohr-Coulomb等面積圓屈服準均質(zhì)邊坡，坡高H=20m,土容重丫 =25kN/m,黏聚力c=42kPa，內(nèi)摩擦角 © =17求坡角B分別為30° ,35 ° ,40 ° ,45時邊坡的安全系數(shù)。計算結(jié)果如表 3所列。表3安全系數(shù)計算結(jié)果坡角P /(°)-安全系數(shù)iw Pr 法|H K UlMho卩仕301.7SL47l.妙1.463351.62L341. 318402L22L 1531.212451.36L 121.0621. 115501291.060.

16、992LO38倫采川蚓按風風肘準叭-2采川克爾一壓侖等面積關(guān)W鴨準Wl從表中計算結(jié)果可以看出，采用外接圓屈服準則計算的安全系數(shù)比傳統(tǒng)的方 法大許多，采用莫爾-庫侖等面積圓屈服準則計算的結(jié)果與傳統(tǒng)極限平衡方法(Spenee法)計算的結(jié)果十分接近，說明采用莫爾-庫侖等面積圓屈服準則來代替莫 爾-庫侖不等角六邊形屈服準則是可行的，這樣使計算大為方便。而采用外接圓屈 服準則計算的安全系數(shù)要比莫爾-庫侖等面積圓屈服準則計算的結(jié)果大n (21)倍。例四，存在兩組節(jié)理面的巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定性分析12如圖7所示，巖體中存在兩組方向不同的軟弱結(jié)構(gòu)面，貫通率 100%，第一 組軟弱結(jié)構(gòu)面傾角為30°平均間距1

17、0m;第二組軟弱結(jié)構(gòu)面傾角75°平均間 距10m。巖體重度為25kN/m3,彈性模量1xi00Pa,泊松比0.2,黏聚力1MPa, 內(nèi)摩擦角38°兩組節(jié)理參數(shù)相同，重度為17kN/m3,彈性模量1X 10Pa,泊松比 0.3,黏聚力0.12MPa,內(nèi)摩擦角24°按照二維平面應(yīng)變問題建立有限元模型，按照連續(xù)介質(zhì)處理。通過有限元強 度折減，求得坡體破壞時的運動矢量如圖8所示，滑動面如圖9(a)所示，它是最先貫通的塑性區(qū)，塑性區(qū)貫通并不等于破壞，當塑性區(qū)貫通后繼續(xù)發(fā)展到一定程 度，巖體發(fā)生整體破壞，同時出現(xiàn)第二條貫通的塑性面，如圖9(b)所示。求得的穩(wěn)定安全系數(shù)如表4所

18、列，其中，極限平衡方法計算結(jié)果是根據(jù)最先貫通的那一 條滑動面求得的。<0圖7巖質(zhì)邊坡節(jié)理圖9坡體破壞時的運動矢量圖圖8極限狀態(tài)時的塑性區(qū)表4例四計算結(jié)果計算方袪安全爲數(shù)相限尤法（外接倜屈眼準則）1.62有限無法（莫爾庫侖等面積閥尿眼準則）1.33極限乎衛(wèi)庁法朽pgnwr法）136例五，存在接觸問題的邊坡穩(wěn)定性分析12當邊坡中存在如圖10所示的硬性結(jié)構(gòu)面時，不能按照例四中軟弱結(jié)構(gòu)面的 方法進行處理，可以采用接觸單元來模擬硬性接觸面的不連續(xù)性。按照Mohr-Coulomb 定律來定義接觸面上的摩擦行為，如式11所示，則其接觸面上的安全系數(shù)定義如式11所示。T=tan © /tan(

19、11)圖11所示為兩個直線滑面組成的折線型滑體 ABMCD。巖體重度丫 =20kN/m, 彈性模量E=109Pa?；瑝KABCD面積433m2，滑面AB=20m，傾角為15° ,AD=25m， DC=19.32m, BC=19.82m;滑塊 BCM 面積 196.5m2，滑面 BM=28.03m，傾角為Pc=0。45°, CM=19.82m。在滑動面AB，BM上布置接觸單元，坡體達到極限狀態(tài)后的破壞滑動如圖12所示，并把有限元計算結(jié)果，與傳統(tǒng)極限平衡方法 Spencer法進行對比，接觸單元的相關(guān)力學參數(shù)以及兩種計算結(jié)果對比如表5所列圖12坡體達到極限狀態(tài)后的破壞滑動表5例五計

20、算結(jié)果有限元強度折減法Spencer 法1.00- I&0 kPa* y>= 30'2.11v 320 kPa*30工332.33£ = 1 bO kPa* 於=斗523Er = 0 kPa,= 453.0K2.4另外，在單元劃分的過程中，在兩個滑動面的交匯處形成了尖角， 在尖角處 形成較大的應(yīng)力集中，求解時會產(chǎn)生病態(tài)方程。為了避免這些建模問題，需要在 實體模型上，使用線的倒角來使尖角光滑化，或者在曲率突然變化的區(qū)域使用更 細的網(wǎng)格。例六，泥巖層上粉質(zhì)粘土邊坡計算分析坡體材料力學參數(shù)為彈性模量 40MPa、泊松比0.28、重度19kN/m3、黏聚力 20kPa、

21、內(nèi)摩擦角25°，地基材料力學參數(shù)為彈性模量 400MPa、泊松比0.23、 重度24kN/m3、黏聚力400kPa內(nèi)摩擦角32 °。模型幾何尺寸及邊界條件如圖 13所示：堤 路< 地圖13模型幾何尺寸及邊界條件通過ABAQUS有限元軟件計算，當邊坡的安全系數(shù)為1.3時，計算不收斂， 通過Slide軟件利用瑞典條分法計算得到的邊坡安全穩(wěn)定系數(shù)為1.295,瑞典條分法計算的滑面和有限元計算的塑性區(qū)如圖14所示，可見兩種方法計算出的安全系數(shù)和滑面吻合性較好。瑞典條分法計算的滑動面5參考文獻1 Smith, I. M. & Hobbs, R. (1974). Fini

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