上海市普陀區(qū)2011屆高三數學第一學期期末調研試卷 文 新人教版

1、普陀區(qū)高三年級質量調研數學試卷 （文科）一、填空題（本大題滿分56分）1. 設平面向量，則 .2. 已知函數,若的反函數的圖像經過點，則 . 3. 已知集合，則 . 4. 若數列對任意的都有，且，則=_.5. 若直線的一個法向量為，則直線的傾斜角為 . 6. 已知，其中是第四象限角，則 . 7. 已知一個球的半徑為，一個平面截該球所得小圓的半徑為，該小圓圓心到球心的距離為，則關于的函數解析式為 .8. 拋物線的頂點在坐標原點，焦點是橢圓的一個焦點，則此拋物線的焦點到其準線的距離為 . 9. 若，則 . 10. 某種電子產品的采購商指導價為每臺200元，若一次采購數量達到一定量，還可享受折扣.

2、右圖為某位采購商根據折扣情況設計的算法程序框圖，則該程序運行時，在輸入一個正整數之后，輸出的變量表示的實際意義是 ；若一次采購85臺該電子產品，則 元. 11. 方程為的曲線上任意兩點之間距離的最大值為 . 12. 高一數學課本中，兩角和的正弦公式是在確定了兩角差的余弦公式后推導的. 即 . （填入推導的步驟）13. 已知數列的前項和（，），則 .14. 在正方體的頂點中任意選擇4個頂點，對于由這4個頂點構成的四面體的以下判斷中，所有正確的結論是 （寫出所有正確結論的編號） 能構成每個面都是等邊三角形的四面體； 能構成每個面都是直角三角形的四面體； 能構成三個面為全等的等腰直角三角形，一個面為

3、等邊三角形的四面體.二、選擇題（本大題滿分20分）15. “”是“”的 （ ）A. 充分非必要條件； B. 必要非充分條件； C. 充要條件； D. 既非充分又非必要條件.16. 如圖，直角三角形的直角頂點是空間坐標系的原點，點在軸正半軸上，；點在軸正半軸上，.我們稱繞軸逆時針旋轉后得到的旋轉體為四分之一圓錐體. 以下關于此四分之一圓錐體的三視圖的表述錯誤的是 （ ）A. 該四分之一圓錐體主視圖和左視圖的圖形是全等的直角三角形；B. 該四分之一圓錐體俯視圖的圖形是一個圓心角為的扇形；C. 該四分之一圓錐體主視圖、左視圖和俯視圖的圖形都是扇形；D. 該四分之一圓錐體主視圖的圖形面積大于俯視圖的圖

4、形面積.17. 雙曲線上到定點的距離是6的點的個數是 （ ） A. 0個； B. 2個； C. 3個； D. 4個.18. 若對于任意角，都有（），則下列不等式中恒成立的是 （ ）A. ； B. ； C. ； D. .三、解答題（本大題滿分74分）19. （本題滿分10分）如圖，平面，是邊長為2的正方形，. 求異面直線與所成角的大小.20. （本題滿分14分，其中第1小題6分，第2小題8分）為了貫徹節(jié)能減排的理念，國家制定了家電能耗的節(jié)能標準.以某品牌的節(jié)能型冰箱為例，該節(jié)能型冰箱使用一天（24小時）耗電僅度，比普通冰箱約節(jié)省電能，達到國家一級標準.經測算，每消耗100度電相當于向大氣層排放千

5、克二氧化碳，而一棵大樹在60年的生命周期內共可以吸收1噸二氧化碳.（1）一臺節(jié)能型冰箱在一個月（按天不間斷使用計算）中比普通冰箱相當于少向大氣層排放多少千克的二氧化碳（精確到千克）？（2）某小城市數千戶居民現使用的都是普通冰箱. 在“家電下鄉(xiāng)”補貼政策支持下，若每月月初都有150戶居民“以舊換新”換購節(jié)能型冰箱，那么至少多少個月后（每月按30天不間斷使用計算），該市所有新增的節(jié)能型冰箱少排放的二氧化碳的量可超過150棵大樹在60年生命周期內共吸收的二氧化碳的量？21. （本題滿分14分，其中第1小題7分，第2小題7分）.已知的三個內角A、B、C的對邊分別為、. （1）若當時，取到最大值，求的值

6、；（2）設的對邊長，當取到最大值時，求面積的最大值.22.（本題滿分16分，其中第1小題3分，第2小題6分，第3小題7分）設為非零實數，偶函數，.（1） 求實數的值；（2） 試確定函數的單調區(qū)間（不需證明）；（3） 若函數在區(qū)間上存在零點，試求實數的取值范圍.23. （本題滿分20分，其中第1小題4分，第2小題6分，第3小題10分）已知是直線上的個不同的點（，、均為非零常數），其中數列為等差數列.（1）求證：數列是等差數列；（2）若點是直線上一點，且，求證: ；（3） 設，且當時，恒有（和都是不大于的正整數, 且）.試探索：在直線上是否存在這樣的點，使得成立？請說明你的理由.高三調研數學試卷參

7、考答案及評分標準一、填空題（每小題4分，滿分56分）：1. ； 2. 4； 3. ； 4. （文，理）40； 5. ； 6. （或）； 7. ，； 8. 4； 9.理：；文：； 10.表示一次采購共需花費的金額; ；11. ； 12. ；13. 理：；文：2； 14. 理：；文：.二、選擇題（每題4分，滿分16分）： 題號15161718答案BCBD三、解答題： 19.（本題滿分10分）（理科）解：由結論：“當時，”且根據本題條件，故本題需根據變量和常數1的大小比較進行分類討論：（1）當時，；（2）當時，；（3）當或時，有.故集合含有以上三個元素，用列舉法表示集合.36910（文科）解：如圖，

8、延長DA至E，CB至F，使得DA=AE，CB=BF. 聯結AF，PF，EF，DF. 因為ABCD是正方形，所以AD/BF，且AD=BF，所以AF/BD. 故（或其補角）的大小即為異面直線與所成角的大小.又正方形邊長為2，PD=1，故，.所以，.于是，所以異面直線與所成角的大小為.3791020.（本題滿分14分，其中第1小題6分，第2小題8分）解:（1）由于節(jié)能型冰箱比普通冰箱約節(jié)省電能，故一臺節(jié)能型冰箱一天（小時）消耗的度電相當于比普通冰箱少消耗的電能，即一臺節(jié)能型冰箱在一個月中比普通冰箱要少消耗電：（度）；設一臺節(jié)能型冰箱在一個月中比普通冰箱要少排放千克的二氧化碳，則（千克）.故一臺節(jié)能型

9、冰箱在一個月中比普通冰箱少向大氣層排放約千克的二氧化碳.（2）設個月后()，這些節(jié)能型冰箱少排放的二氧化碳可超過150棵大樹在年生命周期內所吸收的二氧化碳的量.依題意，有 ，因為，故可解得.所以，至少經過10個月后，這些節(jié)能型冰箱少排放的二氧化碳可超過150棵大樹在年生命周期內共吸收的二氧化碳的量.36101421. （本題滿分14分，其中第1小題7分，第2小題7分）解：（1）因為 故當時，原式取到最大值，即三角形的內角時，最大值為.（2）由（1）結論可得，此時.又，因此，當且僅當時等號成立.所以.故面積的最大為.2579121422.（本題滿分16分，理科：第1小題9分，第2小題7分；文科：

10、第1小題3分，第2小題6分，第3小題7分）（理科）解：（1）設BC的中點為D，連結AD、DM，則有 于是，可知即為AM與側面BCC1所成角.因為，點到平面的距離為，不妨設，.在RtADM中，.由,故.而當時，即，所以，點到平面的距離的取值范圍是.（2）解法一：當時，由（1）可知,故可得,. 設向量與的夾角為，因為 . 所以，369111315故向量與夾角的大小為.解法二：如圖，以中點O為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在直線為軸（其中點為中點），建立空間直角坐標系.由（1）可知，當時，.所以有，,，即，.設向量與夾角為，則故向量與夾角的大小為.解法三：如圖，過點作/，交于.聯結.因為是

11、正三棱柱，故可得. 當時，由（1）可知,故可得.在等腰三角形中，不難求得，即異面直線與所成角為，而圖中不難發(fā)現，與夾角的大小為異面直線與所成角的補角，即與夾角的大小為.16101316111416（文科）解:（1） 為偶函數，對恒成立，即對恒成立，又，于是得對恒成立，.（2） 由（1）得 可知，當時，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為 ；當時，單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為和.（3）解法一：由偶函數的性質得：函數在區(qū)間上也必定有零點，即方程在區(qū)間上有實數解，則，設，可知函數在區(qū)間上單調遞增，則，.解法二：若函數在區(qū)間上存在零點，則必有即.369121416131623. （本題滿分20

12、分，其中第1小題4分，第2小題6分，第3小題10分）解：（1）證：設等差數列的公差為,因為，所以為定值，即數列也成等差數列.（2）證：因為點、和都是直線上一點，故有()于是，令，則有.（3）（文科）假設存在點滿足要求,則有，又當時，恒有，則又有，所以又因為數列成等差數列，于是，所以，故，同理，且點在直線上（是、的中點），即存在點滿足要求.4691012151820（3）（理科）提出命題：（在本題大前提下）若點滿足，則系數數列的和是點在直線上的充要條件.證明：設，由條件， 先證充分性：“當時，點在直線上”.因為，故而（），所以 當時，即有，即點在直線上.再證必要性：“若點在直線上，則.”因為，故而因為（），所以 又因為點在直線上，所以滿足，故.補充：由以上證明進一步可知，對于直線上任一點，若滿足，則都有.【評分建議】1. 若能提出一個由題中三條線索出發(fā)的相關猜想或命題，但沒