中考數(shù)學(xué)高分沖刺 沖刺四 基本圖形性質(zhì)與功能的再認(rèn)識(shí)

1、中考高分沖刺沖刺四 基本圖形性質(zhì)與功能的再認(rèn)識(shí) 所有幾何圖形問題的解決，幾乎都要回歸到基本圖形的性質(zhì)，而能否得心應(yīng)手地運(yùn)用基本圖形，則要靠以下兩點(diǎn)：第一點(diǎn)，對(duì)基本圖形性質(zhì)掌握的深刻程度；第二點(diǎn)，基本圖形的各性質(zhì)都是以怎樣的方式發(fā)揮著作用的。 正是為了幫助同學(xué)們學(xué)好、用好這兩點(diǎn)，我們特將最重要的一些基本圖形性質(zhì)與功能加以梳理和解析，以便為各類幾何圖形問題的解決打下牢固的基礎(chǔ)。一、線段的性質(zhì)和線段中點(diǎn)的功能 應(yīng)掌握好： 1、線段的兩種變換性質(zhì)； 2、線段中點(diǎn)的三項(xiàng)功能。1、線段的變換性質(zhì) 從“變換”的角度說，線段既是軸對(duì)稱圖形（它所在的直線和它的垂直平分線都是對(duì)稱軸），又是中心對(duì)稱圖形（中點(diǎn)就是對(duì)

2、稱中心）例1 如圖，是任意三角形，請(qǐng)畫出和具有全等的關(guān)系。BACABCO【觀察與思考】如果把要畫的看作是由變換而來的，那么這個(gè)變換使線段BC變成自身，聯(lián)想到線段的變換性質(zhì)，就應(yīng)有三種結(jié)果。（1）（2）解：如圖（2）（其中直線是BC所在的直線，點(diǎn)為點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；直線是線段BC的垂直平分線，點(diǎn)為點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；點(diǎn)O是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O為對(duì)稱。都和全等?！咀C明】正是線段的變換性質(zhì)成為本題解法的基礎(chǔ)和向?qū)У摹?、線段中點(diǎn)的三項(xiàng)功能（1）構(gòu)造三角形的中線，特別是直角三角形的中線 三角形的中線，特別是直角三角形斜邊上的中線，在相關(guān)問題的解決中常有重要的作用。例2 如圖，在平行四

3、邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AG/DB，交CB延長線于點(diǎn)G。 若四邊形BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論。CADGBEF 【觀察與思考】首先，由，GB/AD，AG/DB，知四邊形AGBD已是平行四邊形，其次，由四邊形BEDF是菱形，而點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，即ED是中AB邊上的中線，且DE=EB=AE，立刻知道，即四邊形AGBD是矩形。 解：（略）【說明】正是由對(duì)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的深刻認(rèn)識(shí)，直接誘發(fā)出從DE=EB=AE，導(dǎo)出。（2）構(gòu)造三角形的中位線例3 如圖（1），已知，AD是的中線，E是AD上一點(diǎn)，連結(jié)CE并延長交AB于點(diǎn)F。ABDCEF

4、（1）若E是AD的中點(diǎn)，則 ；（2）若AE：ED ；（3）若AE：ED，則 ；（1）【觀察與思考】（1）如圖（2），作DM/CF，交AB于點(diǎn)M，EF為的中位線，得AF=FM，BADCEFMDM為的中位線，得BM=MF?？芍?。（2）如圖（3），作DM/CF，交AB于點(diǎn)M，易知，,得。又DM為的中位線，得DM=FM，（2）BADCEFM（3）類比于（1）和（2），應(yīng)有（其實(shí)可有與（2）類似的推演過程）【說明】本題解決的關(guān)鍵就在于構(gòu)造出的中位線DM。（3）構(gòu)造中心對(duì)稱圖形線段的中點(diǎn)是該線段的對(duì)稱中心，這一性質(zhì)的延伸，就是以它為基礎(chǔ)作“中心對(duì)稱構(gòu)造”（3）（特別是中心對(duì)稱型 全等三角形）來使相關(guān)問題獲

5、得解決。例4 已知，如圖D是的邊BA延長線上一點(diǎn)，有AD=BA，E是邊AC上一點(diǎn)，且DE=BCABCED 求證：【觀察與思考】以BD及其中點(diǎn)A為基礎(chǔ)，構(gòu)造“中心對(duì)稱型”三等三角形。 解法提示：如下面圖（1），（2），（3）。ABCEDFABCEDGABCEDNM（2）（3）（1）方法一：如圖（1），延長CA到F，使FA=CA，連結(jié)FD，有，DF=BC=DE，得 方法二：如圖（2），分別作交CA的延長線于N，垂足為M，則有得，DN=BN，進(jìn)而推得，得方法三：如圖（3）延長CA到G，使得AG=EA，則得再由BG=DE=BC，得。 特別說明：我們借助基本圖形的變換性質(zhì)，能更好更快地發(fā)現(xiàn)圖形或圖形元素

6、之間的關(guān)系，但要證明還需要按教材上的演繹形式來論述。簡單說就是“借變換發(fā)現(xiàn)，按原格式證明”。本書均按此方式來做，以后不再重申。ABEC 例5 操作： 如圖，點(diǎn)O為線段MN的中點(diǎn)，直線PQ與線段MN相交于點(diǎn)O，利用圖（1）畫出一對(duì)以點(diǎn)O為對(duì)稱中心的全等三角形。MNPQO 根據(jù)上述操作得到的經(jīng)驗(yàn)完成下列探究活動(dòng)。DF（1）（2）探究：如圖（2），在四邊形ABCD中，AB/CD，E為BC邊的中點(diǎn)，與DC的延長線相交于點(diǎn)F，試探究線段AB與AF，CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論?！居^察與思考】對(duì)于圖（1），只要在直線PQ上點(diǎn)O的兩側(cè)分別取點(diǎn)E，F(xiàn)使OE=OF，就有（圖略）對(duì)于圖（2），延長AE到G，

7、使EG=EA，連結(jié)CG，如圖（2）。由“操作”的結(jié)論可知， 得AB=GC，即CG/AB，而CF/AB，可知點(diǎn)F在GC上，而由，得AF=GF。這樣就有解：（略）ABECGFD（2） 由以上題目的解法研究看出： 凡是涉及線段（包括多邊形的邊）及其中點(diǎn)的的問題，應(yīng)注意從線段的變換性質(zhì)和它的中點(diǎn)的三項(xiàng)功能考慮。二、角平分線的功能 角平分線主要功能有： 1、以角平分線的對(duì)稱性質(zhì)作軸對(duì)稱構(gòu)造；2、角平分線與平行線結(jié)合構(gòu)造出等腰三角形。 1、角平分線所在直線為軸構(gòu)造軸對(duì)稱圖形 角平分線最重要的性質(zhì)是它所在直線為“角”這個(gè)圖形的對(duì)稱軸，其他的性質(zhì)都可以看作是由此導(dǎo)出的。因此，遇有角平分線的問題時(shí)，首先應(yīng)當(dāng)想到

8、它的軸對(duì)稱功能。ABCDEO 例1 如圖，在中，AD，CE分別為的平分線，求證：AC=AE+CD 【觀察與思考】根據(jù)角平分線軸對(duì)稱功能，首先想到在AC上作出AE關(guān)于AD的的對(duì)稱圖形AF（如圖（2），進(jìn)而希望有CF和CD也關(guān)于CE對(duì)稱，這就引導(dǎo)我們獲取了如下的證法。 證明：取AC上的點(diǎn)F，使AF=AE，連結(jié)OF。在中，AF=AE，AO公用，（1）又因?yàn)锳BCDEOF（2）在中CO公用。 【說明】本題的關(guān)鍵步驟就是以“角平分線的軸對(duì)稱功能”為基礎(chǔ)去構(gòu)造全等三角形。ABEC例2 如圖，已知點(diǎn)A（0，1）是軸上一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)B是軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊，在外部作過點(diǎn)B作交AE于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（），

9、當(dāng)點(diǎn)B在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式?！居^察與思考】先從幾何圖形的角度來看，為此作軸于點(diǎn)D（如圖（2），當(dāng)點(diǎn)B在的正半軸上時(shí)，現(xiàn)考慮CD與OD之間的函數(shù)關(guān)系式。ABECD 再由AB為的平分線，沿著它是對(duì)稱軸思考：若作CB的延長線交軸于，由可知和CB關(guān)于AB對(duì)稱，即B為的中點(diǎn)，再結(jié)合軸，軸，則關(guān)于點(diǎn)B為中心對(duì)稱，得，。再由的相似關(guān)系即可導(dǎo)出欲求的函數(shù)關(guān)系式。解：作軸于點(diǎn)D，延長CB，交軸于點(diǎn)，則的平分線，且，得。（2）在中， 。在（同為的余角）。 得，。容易知道，這個(gè)關(guān)系在和取負(fù)數(shù)值時(shí)，也是成立的。 可以看出：不論在什么樣的綜合題中，角平分線的“軸對(duì)稱功能”，都常是解法獲得的有力指導(dǎo)，因此，應(yīng)

10、當(dāng)時(shí)刻注意發(fā)揮角平分線這一功能的重要作用。2、角平分線與平行線結(jié)合構(gòu)造出等腰三角形 我們知道，若OP是的平分線，則與OA平行，與OB平行，與OP平行的直線，就會(huì)分別與另外兩直線相交出等腰三角形來：即 情形一，與OA平行的直線MN和OB，OP所在的直線相交如圖（1）和（2）：OBPAMNCD1231BPAO2CNMD34（1）MN和OB，OP交出等腰三角形COD，（2）MN和OP，OB的反向延長線交出等腰三角形COD，其中CO=CD。（） 其中CO=CD。（）OBPANMCD1224OBPNMADC2134情形二，與OP平行的直線MN和OA，OB所在的直線相交如圖（3）和（4）（3）MN和OB的

11、反向延長線及OA交出等腰三角形 （4）MN和OA的反向延長線及OB交出等腰三角形DCO，其中OC=OD，（） OCD，其中OC=OD。（）情形三，與OB平行的直線MN和OA，OP所在的直線相交，與情形一完全類似，也可得兩種形式的等腰三角形。由此可知：角平分線除了造出“等角之外”，它在許多情況下還可以造出“等邊”。平行四邊形（包括菱形，矩形，正方形）和梯形，本身就有平行線，因此，當(dāng)這些圖形中再有角平分線時(shí)（菱形的對(duì)角形已經(jīng)是角平分線），必然就會(huì)形成等腰三角形，這對(duì)解決許多相關(guān)問題提供了依據(jù)。 角平分線這一功能有許多應(yīng)用，如下邊的例子；ABCDMFE例3 如圖（1），在平行四邊形ABCD中，線段A

12、E，BF分別平分，交CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，線段AE，BF相交于點(diǎn)M。 （1）試說明：； （2）判斷線段DF與CE的大小關(guān)系，并予以說明。 【觀察與思考】注意到平行四邊形對(duì)邊平行和角平分線的功能，解法易得。解：（1）。（2）有結(jié)論：DF=CE，理由如下：在中，。同理有CF=CB。由以上的例題可以看出： 當(dāng)題目中有直接給出或隱含的角平分線條件時(shí)，除了構(gòu)成等角外，還應(yīng)特別注意從角平分線兩個(gè)方面的功能來分析和認(rèn)識(shí)圖形：。以角平分線為軸，構(gòu)成怎樣的對(duì)稱圖形？。以角平分線和平行線結(jié)合，構(gòu)成怎樣的等腰三角形？思考若以這樣的功能作指導(dǎo)，大都會(huì)導(dǎo)到問題的恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方法。三、等腰三角形的變換性質(zhì) 等腰三角形具有這樣的變

13、換性質(zhì) 1、等腰三角形是軸對(duì)稱圖形；2、等腰三角形兩腰繞頂點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)重合性。1、等腰三角形的軸對(duì)稱圖形 等腰三角形是以底邊上的中線（底邊上的高線，頂角的平分線）所在的直線為軸對(duì)稱的。如圖（1） 凡是涉及等腰三角形的問題，都首先應(yīng)當(dāng)沿著“軸對(duì)稱”這一特征去分析，去認(rèn)識(shí)，去尋找解決的方法。ACBAGEHFDBC（1）（2）例1 如圖（2），中，AB=AC，過A作GE/BC，角平分線BD，CF相交于點(diǎn)H，它們的延長線分別與GE交于點(diǎn)E，G，試在圖中找出3對(duì)全等三角形，并對(duì)其中一對(duì)全等三角形給出證明?！居^察與思考】找全等三角形，實(shí)際上是去找圖中關(guān)于的對(duì)稱軸（盡管沒有把它畫出來）為對(duì)稱的三角形。解：全等的

14、三角形有：以證為例：在中，BC公用，。在中， AF=AB-BF=AC-CD=AD， 。 【說明】三角形全等本來只是圖形“形狀和大小”的問題，現(xiàn)在，在等腰三角形這一特殊（軸對(duì)稱）背景下，可以借助于“位置的對(duì)稱”來尋找和認(rèn)識(shí)它們，這就為我們研究和利用它們提供了一個(gè)新的視角，新的途徑，無疑是非常有幫助的。ABCDFEPABCDFEP例2 如圖（1），中，AB=AC，AD是中線，P是AD上一點(diǎn)，過C作CF/AB，連結(jié)BP并延長，交AC于點(diǎn)E，交CF于點(diǎn)F。求證：（1）（1） 【觀察與思考】若作PB關(guān)于AD的對(duì)稱線段PC，則PC=PB，而易知，可使問題獲解。證明：連結(jié)PC（如圖（1）在中，AP公用，AB

15、=AC，。在，?！菊f明】可以看出，當(dāng)問題的基本背景為等腰三角形時(shí)，以該三角形的對(duì)稱軸去探索問題的解決途徑，常常是很有效的。ABC2、等腰三角形的“兩腰的旋轉(zhuǎn)重合性”如圖，在等腰三角形ABC中，若頂角，則顯然有：繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)腰AB與腰AC重合，反之有繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)腰AC與腰AB重合。 等腰三角形這一特征，我們稱之為等腰三角形“兩腰的旋轉(zhuǎn)重合性”，等腰三角形的這一特征，也是解決某結(jié)與等腰三角形相關(guān)問題的向?qū)?。? 如圖（1），是等邊三角形，是頂角的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作60°的角，它的兩邊分別與AB，AC交于點(diǎn)M和N，連結(jié)MN。（1）探究：之間的關(guān)系，并加以證明；ABCDABCD

16、NM （2）若點(diǎn)M，N分別在射線AB，CA上，其他條件不變，再探究線段BM，MN，NC之間的關(guān)系，在圖（2）中畫出相應(yīng)的圖形，并就結(jié)論說明理由。（1）（2） 【觀察與思考】對(duì)于（1），這時(shí)在中，有為了把BM，MN，NC集中到一個(gè)三角形中去，繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角作： （如圖（1），從而有MB=GC，而此時(shí)恰又有，CDABMNG得。CDABMN（2）（1）對(duì)于（2），此時(shí)的圖形（2），仍作（1）中的的旋轉(zhuǎn)，類似地可以推得MN=CNBM解：（1）關(guān)系為MN=BM+NC。證明：延長AC到G，使CG=BM，連結(jié)DG，如圖（2）。同理也有。在，BM=CG。在中，ND公用，DM=DG，。（2）此時(shí)，圖形如圖（

17、2），有關(guān)系式：MN=CNBM。理由如下：在CN上截取CG=BM，連結(jié)DG，如圖（2）。與（1）中情況類似，可推得仍與（1）中情況類似，可推得。 【說明】由本題可以看出，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用等腰三角形的“兩腰的旋轉(zhuǎn)重合性”，可在一定的條件下實(shí)現(xiàn)圖形（線段、角）的“轉(zhuǎn)移”，從而使問題解決。 當(dāng)題目背景為等腰三角形時(shí)，應(yīng)注意充分運(yùn)用其“軸對(duì)稱性”和“兩腰的旋轉(zhuǎn)重合性”。四、等邊三角形的變換性質(zhì) 等邊三角形是特殊的等腰三角形，因而具有軸對(duì)稱性，且有三條對(duì)稱軸，但是，等邊三角形具有更為特殊的變換性質(zhì)，并更多地成為相關(guān)問題展開的焦點(diǎn)，那么，充分運(yùn)用這些變換性質(zhì)，便成為打開相關(guān)問題解決之門的鑰匙。 等邊三角形具有如

18、下的變換性質(zhì) 1、它是軸對(duì)稱圖形（有三條對(duì)稱軸）； 2、它是繞中心的的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形； 3、它的兩鄰邊具有60°旋轉(zhuǎn)重合性；1、等邊三角形的“的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性” 如果一個(gè)圖形沿某一條直線作軸對(duì)稱圖形與它本身重合，就稱這個(gè)圖形為軸對(duì)稱圖形，完全類似地，如果一個(gè)圖形以某一點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)角（）后與它本身重合，就稱這個(gè)圖形為“角的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形”。比如說，平行四邊形就是“180°的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形”（“180°的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形”也稱“中心對(duì)稱圖形”）。繞點(diǎn)O順（逆）時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°角 可以知道，任意的等邊三角形ABC，以它的中心（三條中線的交點(diǎn)，也即中心、內(nèi)心、垂心、外心）為中

19、心旋轉(zhuǎn)，就與自身重合，所以，“等邊三角形是的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。”如圖ABCO重合于等邊三角形BCA，等邊三角形的這一變換性質(zhì)，可以幫助我們更好地發(fā)現(xiàn)與找到許多問題的解決方法。AOCBEDGF例1 如圖（1），扇形DOE的圓心角為120°，等邊三角形ABC的中心恰好為扇形 的圓心，且點(diǎn)B在扇形內(nèi)（1）請(qǐng)連結(jié)OA，OB，并證明；（2）求證：與扇形DOE重疊部分的面積等于面積的。（1）【 觀察與思考】注意到點(diǎn)O為等邊三角形ABC的中心，而恰為120°，即OF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°角重合于OG。因此，AOCBEDGF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°角（1）有重合于。（2）

20、由（1）的結(jié)論可推得?！咀C明】（1）連結(jié)OA，OB（如圖（1）。點(diǎn)O是等邊的中心，。又知。（2）【說明】由本題的結(jié)論及其推導(dǎo)過程可以進(jìn)一步概括出：在等邊三角形ABC中，任意頂點(diǎn)在的中心的120°的角的兩邊，截下的的部分的面積，都等于面積的。任意以的中心O為端點(diǎn)的射線（如上圖中的OD），以O(shè)為中心旋轉(zhuǎn)120°以后（如上圖中的OE），與的邊交出的對(duì)應(yīng)線段有著同樣的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱關(guān)系，當(dāng)然也就相等（如上圖中OF=OG，AF=BG，BF=CG）。ABCDFE例2 如圖，已知，點(diǎn)D是邊長為1的等邊三角形ABC的內(nèi)心，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，且滿足。求的周長。 【觀察與思考】的三邊的長

21、不可能通過分別計(jì)算求得，因此，第一個(gè)想法就是把它的三條邊等長轉(zhuǎn)化到同一條直線上，利用等邊三角形120°的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°角先把AF轉(zhuǎn)化到AB上，為此，如圖（1），連結(jié)DA（注意到點(diǎn)D就是的中心）（1）作變換：重合到。ABCDFEG 當(dāng)然就有AF=BG。在這種情況下，又誘發(fā)我們看到，即有EF=EG，這時(shí)就可以看出，的周長應(yīng)當(dāng)?shù)扔诘囊粭l邊長。（1）解：如圖（1），連結(jié)DA，DB，并在BA上截取BG=AF，連結(jié)DG，在中，（因?yàn)镈為的內(nèi)心）在中，DE公用，DF=DG，而 的周長【說明】正是等邊三角形的120°的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，啟發(fā)了整個(gè)的解題思路和輔助線

22、的作法。2、等邊三角形“兩鄰邊的60°旋轉(zhuǎn)重合性。ABCO 因?yàn)榈冗吶切蔚拿總€(gè)角都是60°，且三邊相等，所以，以其一個(gè)頂點(diǎn)（如圖的A）為中心，將過該頂點(diǎn)的一條邊（如AB）沿適當(dāng)?shù)姆较蛐D(zhuǎn)60°（如這里逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°）就能與頂點(diǎn)的另一條邊（如AC）重合。 等邊三角形的這一性質(zhì)，我們可稱之為等邊三角形“兩鄰邊的60°旋轉(zhuǎn)重合性”。這一性質(zhì)，在不少與等邊三角形相關(guān)的題目中，也有關(guān)著很重要的作用。例3 如圖，已知AD和BC相交于點(diǎn)，且均為等邊三角形，以平行四邊形ODEB，連結(jié)AC，AE和CE。BEDCAO求證：也是等邊三角形 【觀察與思考】借助于等

23、邊三角形“兩鄰邊的60°旋轉(zhuǎn)重合性”，容易發(fā)現(xiàn)：繞A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°、重合于；繞C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°、重合于。由以上旋轉(zhuǎn)重合中任選一個(gè)，都不難使本題獲解。證明方法一：在中，。又是等邊三角形。方法二：通過證和全等，請(qǐng)同學(xué)們自己完成?！菊f明】由上例進(jìn)一步看出，熟悉并善于運(yùn)用等邊三角形“兩鄰邊的60°旋轉(zhuǎn)重合性”，能更快速、更準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)與等邊三角形相關(guān)問題中的全等關(guān)系，進(jìn)而解決許多有關(guān)的問題。 以等邊三角形為背景的題目，絕大部分是依以上三種變換性質(zhì)展開或衍生的。因此，依這三種變換性質(zhì)去尋找解法，既是正路，也是捷徑。五、等腰直角三角形的變換性質(zhì)從變換的

24、視角來看，等腰直角三角形有如下的三種特征：特征一：它是以斜邊上的中線所在直線為軸的對(duì)稱圖形（這是由“等腰”決定的）；特征二：它是以斜邊上的中點(diǎn)為中心的90°旋轉(zhuǎn)重合圖形（意義見下文）；特征三：它的兩條直角邊關(guān)于直角頂點(diǎn)具有90°的旋轉(zhuǎn)重合性。特征一的應(yīng)用亦如一般的等腰三角形一樣，而與等腰直角三角形相關(guān)的問題，更多的卻是由其特征二和特征三所引發(fā)的，相應(yīng)地，這些問題的解決也便多以特征二和特征三為思考的依據(jù)及落實(shí)的線索，以下舉例來說明。1、等腰直角三角形“以斜邊中點(diǎn)為中心的90°旋轉(zhuǎn)重合性”。AOB（C）C（A） 我們知道，在等腰直角三角形ABC中，若AO是斜邊AB的中

25、線（或高線，或頂角的平分線）即O為斜邊的中點(diǎn)，那么，將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則它與重合（點(diǎn)A重合于點(diǎn)C處，點(diǎn)C重合于點(diǎn)B處）。如圖所示，同樣地，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則它與重合（點(diǎn)C重合于點(diǎn)A處，點(diǎn)B處重合于點(diǎn)C處）。 等腰直角三角形以上的性質(zhì)，我們稱之為“等腰直角三角形以斜邊中點(diǎn)為中心的90°旋轉(zhuǎn)重合性”（以下簡稱“90°旋轉(zhuǎn)重合性”）。這一性質(zhì)可以說是等腰直角三角形最為本質(zhì)的特征，因此有著極為廣泛的應(yīng)用。例1 在中，AC=BC，將一塊直角三角板的頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC，CB于D，E兩點(diǎn)，圖

26、（1），（2），（3）是旋轉(zhuǎn)三角板得的圖形中的三種情況。 探究并證明：線段PD和PE之間有什么數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明。ABCEPDABCEPDABCEPD（1）（2）（3）ABCEPD【觀察與思考】根據(jù)題目的條件和要回答的問題，我們首先考慮到等腰直角三角形的“90°旋轉(zhuǎn)重合性”。為此，在三種情況的圖形中均連結(jié)CP，如下面各圖：ABCEPDABCEPD（3）（1）（2）在圖（1），圖（2），圖（3）中均有：繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°重合于，從而，得PD=PE，即3種情況有統(tǒng)一的結(jié)論和統(tǒng)一的證法。解：在3種情況中，均有結(jié)論，PD=PE。證明如下：在圖（1），圖（2），圖（3）中，

27、都連結(jié)CP，在和中，CP=BP，（在圖（1）和圖（2）中，這兩個(gè)角都為45°，而在圖（3）這兩個(gè)角都為135°）（在圖（1）和圖（2）中這兩個(gè)角同為的余角，而圖（3）中，這兩個(gè)角同為的余角。，可得PD=PE?！菊f明】在本題中，等腰直角三角形的“90°旋轉(zhuǎn)重合性”）引導(dǎo)我們找到如上的既統(tǒng)一又簡捷的解決方法，這就是本質(zhì)特征所揭示的規(guī)律的普遍化作用。例2，如圖，在中，直線經(jīng)過點(diǎn)C，且于點(diǎn)D，于點(diǎn)E。（1）當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí)，求證：DE=AD+BE；（2）當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，求證：DE=ADBE；（3）當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，試

28、問：DE，AD，BE有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出等量關(guān)系，并加以證明。BCMNEDABCNMDEABCNMDE（1）（2）（3）【觀察與思考】首先想到借助等腰直角三角形的“90°旋轉(zhuǎn)重合性”來探究：ABCNMDEP在圖（1），圖（2），圖（3）中，都取斜邊AB的中點(diǎn)P如下面的圖（1），圖（2），圖（3）則容易看到：BCMNEDPAABCNMDEP（1）（2）（3）繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°在這三個(gè)圖中均有：重合于，即，由此推得：AD=CE，CD=BE。據(jù)此不僅立刻得到圖（1）和圖（2）情況的結(jié)論，并且也使我們很快看到在圖（3）的情況應(yīng)當(dāng)有DE=BEAD。解：在圖（1），圖（2）和圖

29、（3）中，同時(shí)考查和（同為的余角）。CD=BE。（1）在圖（1）的情況下，DE=CE+CD=AD+BE；（2）在圖（2）的情況下，DE=CECD=ADBE；（3）在圖（3）的情況下，結(jié)論為DE=BEAD，理由是：此時(shí)DE=CDCE=BEAD【說明】由于我們從等腰直角三角形的“90°旋轉(zhuǎn)重合性”這一特征出發(fā)，就抓住了圖（1），圖（2）和圖（3）各種情況的本質(zhì)（和關(guān)于點(diǎn)P成90°旋轉(zhuǎn)重合），因此，三種情況下不同的結(jié)論只是共同性質(zhì)的不同反映而已，可見，最為優(yōu)化的解法是由最恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用最為本質(zhì)的性質(zhì)而得到的。2、等腰直角三角形兩直角邊以直角頂點(diǎn)為中心的90°旋轉(zhuǎn)重合性CA以

30、C為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°如圖，等腰直角三角形ABC中，CA，CB是直角邊，顯然有ABC有重合于CB，當(dāng)然亦有CB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°則與CA重合。 我們將等腰直角三角形的這一性質(zhì)簡稱為“兩直角邊90°旋轉(zhuǎn)重合性”。等腰直角三角形的這一特征也有著廣泛的應(yīng)用。例3 如圖，在中，已知D，E為AB上的兩點(diǎn)，且。求證：ADEBC【觀察與思考】由要證的結(jié)論立刻想到應(yīng)將AD，BE，DE三條線段轉(zhuǎn)化成同一個(gè)直角三角形的三條邊（且與DE相等的邊斜邊）。繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°若作重合于，如圖（1），連結(jié)，（1）這時(shí)易知中。ADEBC證明：在的外側(cè)作截取連結(jié)如圖（1）。在和

31、中，CA=CB，（1）又在和中，CE公用，CD=CD。在中，有即【說明】這里就是恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用了等腰直角三角形兩直角邊關(guān)于直角頂角的90°旋轉(zhuǎn)重合性。成功地實(shí)現(xiàn)了對(duì)線段AD，DE的“轉(zhuǎn)移”，將原本在一條直線的三條線段轉(zhuǎn)化成了同一個(gè)直角三角形的三條邊。3、等腰直角三角形的軸對(duì)稱性ABCD 等 腰直角三角形的軸對(duì)稱圖形（斜邊上的中線所在的直線為其對(duì)稱軸），有的題目的解決，需要借此作“軸對(duì)稱構(gòu)造”。例4 如圖，在中，D是內(nèi)一點(diǎn)， 且（1）求證：BD=BA。 【觀察與思考】由，啟發(fā)我們利用等腰直角三角形的軸對(duì)稱性，作，且取AE=AD，如圖（1），易知而為等邊三角形。從中推得進(jìn)而可有 ，得BA=B

32、D。證明：在內(nèi)作，且取AE=AD，連結(jié)BE，DE，如圖（1），這時(shí)為等邊三角形。DEABC在和 中，AB=AC，AE=AD，在和中，BE公用，AD=DE。（1） 【說明】 在本題，盡管沒有畫出對(duì)稱軸，但并不妨礙我們利用“等腰直角三角形的軸對(duì)稱性”去思考問題，這恰恰說明了“變換性質(zhì)”做為觀察和研究圖形的一個(gè)“視角”，一種“思想意識(shí)”，是多么有力有效。 通過以上幾例可以看出，等 腰直角三角形的三大特征：“繞斜邊中點(diǎn)90°旋轉(zhuǎn)重合性”、“兩直角邊的90°旋轉(zhuǎn)重合性”、“軸對(duì)稱性”，是認(rèn)識(shí)等腰直角三角形和解決與之相關(guān)問題的重要基礎(chǔ)和有力武器。六、平行四邊形的變換性質(zhì)從變換的視角來看

33、，平行四邊形的基本特征反映在如下的兩個(gè)方面：特征：平行四邊形是“中心對(duì)稱圖形”，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心；特征：平行四邊形的兩組對(duì)邊，分別具有“平移重合”的關(guān)系。與平行四邊形有關(guān)的的問題，大都可以沿著如上的兩個(gè)特征去觀察、研究，并獲得解決。繞點(diǎn)O逆（順）時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°1、平行四邊的“中心對(duì)稱性”和其應(yīng)用如圖，若O是平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，那么平行四邊形ABCD重合于平行四邊形CDAB。OBODOAOCACBD在上述的180°旋轉(zhuǎn)變換中，不僅有,ABCDO還有關(guān)于點(diǎn)O所有中心對(duì)稱的元素都是相互重合的。平行四邊形的這一特征，有著極為廣泛的應(yīng)用。例1 如圖 ，四

34、邊形ABCD為平行四邊形，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，在DB的延長線上和BD的延長線上分別有點(diǎn)G和點(diǎn)H，且BG=DH。（1）請(qǐng)寫出圖中所有的全等三角形。（2）請(qǐng)選一個(gè)全等三角形給出證明（除外）BDAC【觀察與思考】顯然，BD的中點(diǎn)O為整個(gè)圖形的對(duì)稱中心，即有，GHEEFE，。這樣，當(dāng)任取其中的三點(diǎn)在圖中構(gòu)成三角形時(shí)，則分別與它們中心對(duì)稱的AGBCDHFE三點(diǎn)也在圖中構(gòu)成三角形，并且這樣的兩個(gè)三角形是全等的，因此，圖中的全等三角形有：；。這些全等三角形的每條依據(jù)也是是關(guān)于點(diǎn)O為中心對(duì)稱的。解：（2）現(xiàn)在證明和全等。（內(nèi)錯(cuò)角），得AE=CF，BE=DF?！菊f明】本題中不僅全等三角形是中心對(duì)稱的，而且應(yīng)按中心對(duì)

35、稱去尋找相等的對(duì)應(yīng)元素。ABCDOFGEH例2 如圖，在平行四邊形ABCD中，兩條對(duì)角線相交 于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是OA，OB，OC，OD的中點(diǎn)，以圖中的任意四點(diǎn)（即點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，O中的任意四點(diǎn)）為頂點(diǎn)畫出兩種不同的平行四邊形，并說明理由。第二種：ABCDOFGEA第一種：【觀察與思考】當(dāng)然，用試著畫的方法，不難解答本題，但如果按平行四邊形的中心對(duì)稱性來思考，則可有序地得到全部可能的答案。A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H這八個(gè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)O有如下的對(duì)稱關(guān)系：FHEEGEACBD，共四對(duì)。從這四對(duì)中任意取出兩對(duì)，（共四個(gè)點(diǎn)），當(dāng)它們不在同一條直線時(shí)，則必構(gòu)成平行四邊形，這就

36、是：平行四邊形ABCD（已知），平行四邊形AFCH，平行四邊形BEDG，平行四邊形EFGH?！菊f明】這樣依變換性質(zhì)指導(dǎo)下的思考既有秩序又全面。2、平行四邊形的對(duì)邊平行關(guān)系的應(yīng)用 平行四邊形的對(duì)邊平行且相等（即可經(jīng)過平移后重合），其作用常體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：、構(gòu)造相似三角形；、進(jìn)行等積變換。（1）平行四邊形基礎(chǔ)上的相似三角形ABCDGEF例3 如圖，已知平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)B的直線順次與AC，AD以及CD的延長線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，若BE=5，EF=2，則FG的長是 。 【觀察與思考】在圖中，由AB/CG，可得，從中推得而由AF/BC，易知，從中推得。由和得而解：。（2）平行四邊形基礎(chǔ)上的

37、面積問題例4 已知如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)F為線段BC上的一點(diǎn)（端點(diǎn)B，C除外），連結(jié)AF，AC，連結(jié)DF，并延長DF交AB的延長線于點(diǎn)E，連結(jié)CE。DACFBE（1）當(dāng)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，求證與和面積相等；（2）當(dāng)F為BC上任意一點(diǎn)時(shí)，與的面積還相等嗎？說明理由。【觀察與思考】由四邊形ABCD是平行四邊形，不難發(fā)現(xiàn)這樣一來，（1）和（2）的解決途徑同時(shí)被發(fā)現(xiàn)了，其實(shí)，點(diǎn)F為BC上任意一點(diǎn)時(shí)被證明了，當(dāng)然（1）的情況已包含于其中了。解；在情況（1）和情況（2）中，均有。證明如下：設(shè)F為BC上任意一點(diǎn)，則有，（這是因?yàn)锳E/CD）=?！菊f明】如上的解法，一是恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用了“平行四邊形對(duì)邊平行”

38、所帶來的三角形面積的轉(zhuǎn)換；二是把不易直接溝通的兩個(gè)三角形的面積同時(shí)加上后，便與原平行四邊形的面積巧妙地聯(lián)系起來了。七、正方形變換性質(zhì) 從變換的角度來看，正方形的本質(zhì)特征可以反映在以下三個(gè)方面； 特征、正方形是以其中心（即對(duì)角線的交點(diǎn)）為中心的“90°旋轉(zhuǎn)對(duì)稱”圖形； 特征、正方形的鄰邊以其公共頂點(diǎn)為中心“90°旋轉(zhuǎn)重合”； 特征、正方形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)邊中點(diǎn)連線和兩條對(duì)角線，都是它的對(duì)稱軸。與正方形有關(guān)的許多問題，正是要以這些特征為解決的依據(jù)和思考的線索。1、正方形的“90°旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性”及其應(yīng)用AB 如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，若以O(shè)為中心，按順時(shí)針（或

39、逆時(shí)針）旋轉(zhuǎn)90°，則OABCD，BC， CD， DA。即旋轉(zhuǎn)后的圖形與原正方形重合，這就是正方形的“90°旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性”。這一性質(zhì)是正方形本質(zhì)特征的最為典型的表現(xiàn)，因此有著極廣的應(yīng)用。OADCBFE例1 如圖，在正方形ABCD中，O是對(duì)角線，AC，BD的交點(diǎn)，過點(diǎn)O作，OE，OF分別交邊AB，BC于點(diǎn)E和F，若AE=4，CF=3。（1）求EF的長；（2）求的面積繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°【觀察與思考】（1）根據(jù)正方形的“90°旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性”，易知在本題中有：重合于，在中，可求出EF的長。（2）由正方形的“90°旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性”，可知：。解：（1）在和中，

40、（同為的余角）在（2）【說明】對(duì)于正方形的“90°旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性”的認(rèn)識(shí)，不僅幫我們順利地發(fā)現(xiàn)了問題的解決思路，并借助“90°旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性”，規(guī)則地找到了全等三角形的對(duì)應(yīng)元素。另外，在求的面積時(shí)更是借助正方形的“90°旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性”巧妙而有效地溝通了該面積與正方形ABCD的面積及面積的關(guān)系，使問題快速得解。例2 如圖（1），四邊形ABCD是正方形，直線，分別經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，且，若與的距離為ABDC的距離為則正方形ABCD的面積等于 。ABDCOEF（1）【觀察與思考】關(guān)鍵是要把正方形的邊長和兩個(gè)距離溝通起來。若作點(diǎn)E，作點(diǎn)F，則（如圖（1），這時(shí)容易看到：繞點(diǎn)O順時(shí)針

41、旋轉(zhuǎn)90°重合于可知，在中，由可推得解：填【說明】在本題的解法思考中，正方形的“90°旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性”發(fā)揮著關(guān)鍵的引導(dǎo)作用。2、正方形鄰邊的“90°旋轉(zhuǎn)重合性”及其應(yīng)用ABCD如圖，正方形ABCD中，若以頂點(diǎn)A為中心，將邊AB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則與邊AD重合，這一性質(zhì)可簡稱為正方形鄰邊“90°旋轉(zhuǎn)重合性”，這一性質(zhì)在一些關(guān)于正方形題目有著很好的作用。例3 在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OEFG為正方形，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，1）。將一個(gè)最短邊長大于的直角三角形紙片的直角頂點(diǎn)放在對(duì)角線FO上。（1）如圖（1），當(dāng)三角形紙片的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)F重合，一條直線邊落在

42、直線FO上時(shí)，這個(gè)三角形紙片與正方形GE11FOEFG重疊部分（即陰影部分）的面積為 。（2）若三角形紙片的直角頂點(diǎn)不與點(diǎn)O，F(xiàn)重合，且兩條直角邊與正方形相鄰兩邊相交，當(dāng)這個(gè)三角形紙片與正方形OEFG重疊部分的面積是正方形面積的一半時(shí)，試確定三角形紙片直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)（不要求寫出求解過程），并畫出此時(shí)（1）的圖形。【觀察與思考】對(duì)于（1），易知對(duì)于（2），容易想到符合條件的兩種情況，圖（11）和 （22），其中均有，這時(shí)，陰影正方形的邊長為。GEFGEF（11）（22）再根據(jù)正方形鄰邊的“90°旋轉(zhuǎn)重合性”，圖（11）和圖（22）可分別（等積地）演變成一般情況如圖（111）和圖（222

43、）。解：（1）；（2）直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為或此時(shí)的圖形如圖（11）和圖（22）GEF11GE1F1（22）（11）【說明】正是對(duì)正方形鄰的“90°旋轉(zhuǎn)重合性”的深刻認(rèn)識(shí)，使本題的解決順暢而簡捷3、正方形軸對(duì)稱性及其應(yīng)用我們知道，正方形是軸對(duì)稱圖形，它有四條對(duì)稱軸，正方形的這一性質(zhì)，也在許多題目中起著很好的作用。ABCDEPFABCDEPF例4 如圖，已知P是正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是垂足。求證：。（1）（1）【觀察與思考】注意到BD是正方形ABCD的一條對(duì)稱軸，點(diǎn)C和A關(guān)于該對(duì)稱軸對(duì)稱，立刻有如下的解。解：如圖（1）連結(jié)PC。根據(jù)已知條件四邊形CEPF是矩形，得CP=EF。而在中，DP公用，有AP=CP，進(jìn)而有AP=EF以正方形為背景的題目：大都是沿正方形如上的三種變換性質(zhì)生成的，其相應(yīng)的解法從三種變換性質(zhì)入手，再合適不過，恰當(dāng)不過！ 練習(xí)題CABDFEABCDMACBDEF1、如圖，在中，于D，M為BC的中點(diǎn)，則MD的長為 。（1）（2）（3）2、如圖，在中，E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，延長BA到點(diǎn)D，使連結(jié)DE，DF。（1）求證：AF與DE互相平分； （2）若BC=4，求DF的長。3、如圖，在中，D為斜邊BC的中點(diǎn)，E為AB上任意一點(diǎn)（ 不與A，B重合），于D，交AC于點(diǎn)F。求證：ACDEFB4、如圖，在中，AD，CE分別是的平分線，AD