《有理數(shù)》復(fù)習(xí)與鞏固(提高)知識講解教師版

1、有理數(shù)復(fù)習(xí)與鞏固（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 理解正負(fù)數(shù)的意義，掌握有理數(shù)的概念學(xué)會借助數(shù)軸來理解絕對 知識.2 理解并會用有理數(shù)的加、減、乘、除和乘方五種運(yùn)算法則進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算3.值、有理數(shù)比較大小等相關(guān)4 .理解科學(xué)記數(shù)法，有效數(shù)字及近似數(shù)的相關(guān)概念并能靈活應(yīng)用;5 .體會數(shù)學(xué)知識中體現(xiàn)的一些數(shù)學(xué)思想【知識網(wǎng)絡(luò)】-有關(guān)概,鈿一利用運(yùn)算律解有 理教的涯警運(yùn)算-科學(xué)記救、有敢數(shù)字與近何數(shù)【要點梳理】7要點一、有理數(shù)的相關(guān)概念1.有理數(shù)的分類：（1）按定義分類：r正整數(shù)整批L負(fù)整數(shù) 正分?jǐn)?shù) 負(fù)分?jǐn)?shù)非員鞭數(shù)旦魏非正整數(shù)非員數(shù)非正數(shù)作用表示數(shù)的性質(zhì)要點詮釋：（1）用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示相反意義的量;（2

2、）有理數(shù)“?！钡淖饔?舉例 。是自然數(shù)、是有理數(shù)表示沒有3個蘋果用+ 3表示，沒有蘋果用0表示表示某種狀態(tài)0表示冰點表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的界點0非正非負(fù)，是一個中性數(shù)2 .數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線要點詮釋：(1)一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來，數(shù)軸上的點不都表示的是有理 數(shù)，如(2 )在數(shù)軸上，右邊的點所對應(yīng)的數(shù)總比左邊的點所對應(yīng)的數(shù)大3 相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)互稱為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0.要點詮釋：(1 )一對相反數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點位于原點兩側(cè)，并且到原點的距離相等，這兩點是關(guān)于原點對稱的.(2)求任意一個數(shù)的相反數(shù)，只要在這個數(shù)的前面添上“”號即可.(3 )多重符號的

3、化簡：數(shù)字前面"”號的個數(shù)若有偶數(shù)個時，化簡結(jié)果為正，若有奇數(shù)個時，化簡結(jié)果為負(fù)4 .絕對值：(1)代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.數(shù)a的絕對值記作| a .(2)幾何意義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離.要點二、有理數(shù)的運(yùn)算1 法則(1) 加法法則：同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加.絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù).(2)減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù).即a-b=a+(-b)(3 )乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正

4、，異號得負(fù)，并把絕對值相乘.任何數(shù)同0相乘，都得0.1(4) 除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù).即a+ b=a(b工0)b(5)乘方運(yùn)算的符號法則：負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕是正數(shù)；正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)，0的任何非零次幕都是0,(6)有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，最后加減；同級運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；如有括號，先做括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行要點詮釋：“奇負(fù)偶正” 口訣的應(yīng)用：(1 )多重負(fù)號的化簡，這里奇偶指的是“一”號的個數(shù)，例如：一(-3)= - 3,-+ (-3) =3.(2)有理數(shù)乘法，當(dāng)多個非零因數(shù)相乘時，這里奇偶指的是負(fù)因數(shù)的個數(shù)，

5、正負(fù)指結(jié)果中積的符號，例如：(-3)X(- 2)X(- 6)=-36,而(一 3)X(- 2)X 6=36.(3)有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)為負(fù)數(shù)時，指數(shù)為奇數(shù)，則幕為負(fù)；指數(shù)為偶數(shù)，則幕為正，例如：(3產(chǎn)9 , ( 3)327.2 運(yùn)算律：(1) 交換律：加法交換律：a+b=b+a;乘法交換律：ab=ba;(2) 結(jié)合律：加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c);乘法結(jié)合律 * (ab) c=a(bc)(3)分配律：a(b+c)=ab+ac要點三、有理數(shù)的大小比較比較大小常用的方法有：(1)數(shù)軸比較法；(2)法則比較法：正數(shù)大于0, 0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個負(fù)數(shù)，絕對值大

6、的反而小；(3)作差比較法.(4)作商比較法；(5)倒數(shù)比較法.要點四、科學(xué)記數(shù)法1 .科學(xué)記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)表示成a 1 (T的形式(其中1|a 10, n是正整數(shù))，此種記法叫做科學(xué)記數(shù)法例如：.200 000= 2 105.2 .有效數(shù)字：從一個數(shù)的左邊第一個非0數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字.女口 ： 0.000 27有兩個有效數(shù)字：2, 7.注意:萬=1。4 ,億=108【典型例題】類型一、有理數(shù)相關(guān)概念1 .已知x與y互為相反數(shù)，m與n互為倒數(shù)，| x+y |+( a-1)2二。，求a2-( x+y+mn) a+( x+y) 2009+(- mn)201

7、0 的值.【思路點撥】(1)若有理數(shù)x與y互為相反數(shù)，則x+y=0,反過來也成立.(2)若有理數(shù)m與n互為倒數(shù)，則mn=1，反過來也成立.【答案與解析】因為x與y互為相反數(shù)，m與n互為倒數(shù)，3-1)2>0,所以 x+y = 0, mn= 1, a= 1,所以 a2-( x+y+mn) a+(x+y) 2009+ (- mn)2010=a2-( 0+1)a+02009+(- 1) 2010=a2-a+1./a= 1,.原式="I?/+1 = 1【總結(jié)升華】要全面正確地理解倒數(shù)，絕對值，相反數(shù)等概念 舉一反三：【高清課堂：有理數(shù)的復(fù)習(xí)與提高357129復(fù)習(xí)例題2】【變式1】選擇題（

8、1 ）已知四種說法:間=a 時 , a>0; |a|=-a 時，a<0.間就是a與-a中較大的數(shù)間就是數(shù)軸上a到原點的距離.對于任意有理數(shù)，|a | < a< |a|其中說法正確的個數(shù)是（,3（2）有四個說法：有最小的有理數(shù)有絕對值最小的有理數(shù)有最小的正有理數(shù)沒有最大的負(fù)有理數(shù)上述說法正確的是（A .C .D .已知(七坊>0，則()A . ab<0 B , ab>0 C , a>0 且 b<0D . a<0 且 b<0(4)若 |x-1|+|y+3|+|z-5|=0是()A . 120 B . -15 C , 0 D , -1

9、20，則(x+1)(y-3)( z+5)的值（5 ）下列各對算式中，結(jié)果相等的是（B .e3 與卜a|3 C . (-a) 23 與(e3)2 D . (ab) 3與 ab3【答案】（1） C;（ 2）C;（ 3）A；（4）D; （5）C【變式2】某市2008年的國民生產(chǎn)總值約為表示2009年這個市的國民生產(chǎn)總值應(yīng)是（結(jié)果保留【答案】3.67 10 .提示：333.9 1.1333.9億元，預(yù)計2009年比上一年增長10%3個有效數(shù)字）元.10 10367.29 （億元）3.67 10（元）&2 .在下列兩數(shù)之間填上適當(dāng)?shù)牟坏忍?99100100101 .【思路點撥】在a、b均為正數(shù)的

10、條件下，根據(jù)a二b, avb”來比較兩數(shù)的大小.【答案】>QQ1 00【解析】法一：作差法：（）100101991009910110010010010110110099100a-1 b1101001 , -1分別得到ab,b100101法二：作商法：由于9910099 10199991001,所以100 101100 100 10000100 1018101再根據(jù)兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小，得到：10099100【總結(jié)升華】比較大小常用的有五種方法，要根據(jù)數(shù)的 特征選擇使用舉一反三:【變式】在下列兩數(shù)之間填上適當(dāng)?shù)牟坏忍?1111111111111111 J【答案】 >(提示：倒數(shù)

11、法較簡便)類型二、有理數(shù)的運(yùn)算有理數(shù)的混合運(yùn)算】【高清課堂：有理數(shù)專題復(fù)習(xí)3571334233362214(2)(151.5)(4)(3)2512152437355z/42 3 322 1116 21212原式1215(3)原式32(4) 1(4)F1-3A21 -1312(1516)310原式125 111 1 112 (3.9分別相加；分?jǐn)?shù)中，同分母a(b+c)=【總結(jié)升華】有理數(shù)的混合運(yùn)算有很多技巧，如：正、負(fù)數(shù) 或分母有倍數(shù)關(guān)系的分?jǐn)?shù)結(jié)合相加；除法轉(zhuǎn)化為乘法、正向應(yīng)用乘法分配律:ab+ac ;逆向應(yīng)用分配律：ab+ac= a(b+c)等.舉一反三：【變式】(1

12、) ( 5)2 1# 7 °-25 儂9 2()2 25)(5)(135冷)2)9【答 案】Q)5產(chǎn)25 141449 £ 0 251) 199(|°1U.25J1 / 3 (|)281)4(39 23199- /9 2(93,2'2)213)2)29(5)1 o.25)(95、-W91W 21721)先觀察下列各式:241-13根據(jù)以上觀察， 計算:7 1010n(n 3)【答案與解析】7 10200512008'的值.原式11o2005120082005 200866920081 1 1 1 11 134 4 7 7 10111 2007八1!

13、320083 2008【總結(jié)升華】1 1根據(jù)題中提供的拆項方法把每一項拆成13 n的形式然后再進(jìn)行計算.舉一反三：【高清課堂：有理數(shù)的復(fù)習(xí)與提高【變式】用簡單方法計算：1 111 18 2448 80 120【答案】原式111 1 1 1111111、5=一一 (. 24 46688 10 10 122244610 1224類型三、數(shù)學(xué)思想在本章中的應(yīng)用5.( 1)數(shù)形結(jié)合思想：已知有理數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，且| a| >| b| ,求 | a|-| a+b|-| b- a| 的值.a0 bA . 2b+a B . 2b- a C. a D . b(2)分類討論思想：已知

14、a是任一有理數(shù)，試比較| a|與2a的大小.(3)轉(zhuǎn)化思想：(999)135【答案與解析】61 )從數(shù)軸上a、b兩點的位置可以看出avO, b0,且| a| >| b|，所以| a|-| a+b|-| b- a| = - a+a+b- b+a= a.(2)a可能是正數(shù)，0或負(fù)數(shù)，這就需要分類討論：當(dāng) a> 0 時，間二 a> 0, -2av 0,所以 | a| >-2a；當(dāng) 0 時，間=0,2a= 0,所以 | a| = -2a；當(dāng) av 0 時 , | a| 二-a>0, - 2a> 0,又-av - 2a，所以 | a| v -2a.綜上所述：當(dāng)a0時，

15、| a|2a；當(dāng)av 0時，| a| v -2a.(3)( 999)(1000 1) ( 35)( 1000) ( 35) 1 ( 35)34965 .35【總結(jié)升華】在解題中合理利用數(shù)學(xué)思想，是解決問題的有效手段數(shù)形結(jié)合一一 “以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”使問題簡單化，具體化；分類討論中注意分類的兩條原則：分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，而且分類要做到不重不漏；轉(zhuǎn)化思想就是把“新知識”轉(zhuǎn)化為“舊知識”，將“未知”轉(zhuǎn)化為“已知” 類型四、規(guī)律探索6.(安徽)下面兩個多位數(shù)1248624，6248624都是按照如下方法得到的：將第1位數(shù)字乘以2,若積為一位數(shù)，將其寫在第2位；若積為兩位數(shù)，則將其個位數(shù)字寫在第2位.

16、對第2位數(shù)字再進(jìn)行如上操作得到第3位數(shù)字，后面的每一位數(shù)字都是由前一位數(shù)字進(jìn)行如上操作得到的.當(dāng)?shù)?位數(shù)字是3時，仍按如上操作得到一個多位數(shù)，則這個多位數(shù)前100位的所有數(shù)字之和是().A . 495 B, 497C, 501 D. 503【思路點撥】多位數(shù)1248624是怎么來的？當(dāng)?shù)?個數(shù)字是1時，將第1位數(shù)字乘以2得2,將2寫在第2 位上，再將第2位數(shù)字2乘以2得4,將其寫在第3位上，將第3位數(shù)字4乘以2的8,將8寫在第4位上，將第 4位數(shù)字8乘以2得16,將16的個位數(shù)字6寫在第5位上，將第5位數(shù)字6乘以2得12,將12的個位數(shù)字2寫 在第6位上，再將第6位數(shù)字2乘以2得4,將其寫在第7位上，以此類推.根據(jù)此方法可得到第一位是3的多位 數(shù)后 再求和.【答案】A【解析】按照法則可以看出此數(shù)為36