BB55傅立葉級數(shù)ppt課件

1、第五節(jié)第五節(jié)一、三角函數(shù)系的正交性一、三角函數(shù)系的正交性 第五章 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 四、以四、以2 l 為周期的函數(shù)展開為為周期的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)( 略）略） 問題的提出問題的提出非正弦周期函數(shù)非正弦周期函數(shù): :矩形波矩形波otu11tttu0, 10, 1)(不同頻率正弦波逐個(gè)疊加不同頻率正弦波逐個(gè)疊加,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttttusin4 )3sin31(sin4ttu )5sin513sin31(sin4tttu )7sin715sin513sin31(sin4ttttu )7sin715sin513sin31(sin4)( t

2、ttttu)0,( tt)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu 一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性簡單的周期運(yùn)動 :)sin(tAy(諧波函數(shù))( A為振幅, 復(fù)雜的周期運(yùn)動 :)sin(10nnntnAAytnAtnAnnnnsincoscossin令,200Aa,sinnnnAa,cosnnnAbxt得函數(shù)項(xiàng)級數(shù))sincos(210 xnbxnaannn為角頻率, 為初相 )(諧波迭加)稱上述形式的級數(shù)為三角級數(shù).xxnkxnkd)cos()cos(21定理定理 1. 組成三角級數(shù)的函數(shù)系組成三角級數(shù)的函數(shù)系,1,cosx,

3、sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx證證:1xnxdcos1xnxdsin0 xnxk coscos)(nk xxnxkdcoscos00dsinsinxxnxk同理可證 :),2, 1(nxnkxnk)(cos)(cos21上在,正交 ,上的積分等于 0 .即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在0dsincosxxnxk)(nk 上的積分不等于 0 .,2d11xxxn dsin2xxn dcos2),2, 1(n,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且有 但是在三角函數(shù)系中兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在 二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)定理定

4、理 2 . 設(shè)設(shè) f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數(shù)的周期函數(shù) , 且且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端級數(shù)可逐項(xiàng)積分, 則有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn證證: 由定理?xiàng)l件由定理?xiàng)l件,10dsindcosd2)(nnnxxnbxxnaxadxxf0a,對在逐項(xiàng)積分, 得xxkaxxkxfdcos2dcos)(01nxxnxkandcoscosxxnxkbndsincosxxkakdcos2kaxxkxfakdcos)(1),2, 1(k(利用正交性),2, 1(dsin)(1kxxkxfbkxxfad)

5、(10類似地, 用 sin k x 乘 式兩邊, 再逐項(xiàng)積分可得葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù) 稱為的傅里葉系數(shù) ;10sincos2)(nnnxnbxnaaxf), 1,0(dcos)(1nxnxxfan由公式 確定的nnba ,以)(xf)(xf),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn的傅里的傅里葉級數(shù) .稱為函數(shù))(xf 定理定理3 (收斂定理收斂定理, 展開定理展開定理)設(shè) f (x) 是周期為2的周期函數(shù), 并滿足狄利克雷( Dirichlet )條件:1) 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn);2) 在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn), 那么 f (x) 的傅里葉級數(shù)收斂 , 且有10s

6、incos2nnnnxbnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 為間斷點(diǎn)其中nnba ,( 證明略證明略 )為 f (x) 的傅里葉系數(shù) . x 為連續(xù)點(diǎn)注意注意: 函數(shù)展成函數(shù)展成傅里葉級數(shù)的條傅里葉級數(shù)的條件比展成冪級數(shù)件比展成冪級數(shù)的條件低得多的條件低得多.例例1. 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在 上的表達(dá)式為),xxxf0,10,1)(解解: 先求傅里葉系數(shù)先求傅里葉系數(shù)xnxxfandcos)(100dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n將 f (x) 展成傅里葉級數(shù). oyx11xnxxfbndsin)(10dsin12xnx0)c

7、os(2nxnnncos12nn) 1(12,4n,0,5,3,1n當(dāng),6,4,2n當(dāng)nxxfnsin) 1(1 n12)(1n),2,0,(xxxxxf0,10,1)(),2,0,(xx77sin x99sinx1) 根據(jù)收斂定理可知,時(shí),級數(shù)收斂于02112) 傅氏級數(shù)的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sin xoyx11說明說明: :), 2, 1, 0(kkx當(dāng)f (x) 的情況見右圖.xoy例例2.上的表達(dá)式為),xxxxf0,00,)(將 f (x) 展成傅里葉級數(shù). 解解: xxfad)(100dcos1xxnxxnxxfandcos)(10d1xx0221x20co

8、ssin1nnxnxxn2cos1nn2332設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在 01xnnxdsin), 2, 1(nxnxxfbndsin)(1nn 1) 1(),2,1(k12 knkn2, 00dsin1xnxx)(xf42) 1(1nann,2) 12(2k),2,1,0,) 12(,(kkxx)sin) 1(cos) 1(1(121nxnnxnnnnxxfad)(100d1xx0221x2說明說明: 當(dāng)當(dāng)) 12(kx時(shí), 級數(shù)收斂于22)(0)(xf4),2,1,0,) 12(,(kkxx)sin) 1(cos) 1(1(121nxnnxnnnnxoy例例2.上的

9、表達(dá)式為),xxxxf0,00,)(2332設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在 , )(xxf周期延拓)(xF傅里葉展開,)(在xf上的傅里葉級數(shù)定義在定義在 ,上的函數(shù)上的函數(shù) f (x)的傅氏級數(shù)展開法的傅氏級數(shù)展開法), , )(xxf, )2(kxf其它例例3. 將函數(shù)將函數(shù)xxxxxf0, 0,)(級數(shù) .oyx那么xxFad)(10 xxfd)(10d2xx0222xxnxxFandcos)(1xnxxfdcos)(10dcos2xnxx02cossin2nnxnnxx解解: 將將 f (x)延拓成以延拓成以 展成傅里葉2為周期的函數(shù) F(x) , na)1cos(

10、22nn12 knkn2,0),2,1(k,2) 12(4kxnxxFbndsin)(1xnxxfdsin)(10)(xf2xnnnncos1) 1(212)(x例例3. 將函數(shù)將函數(shù)xxxxxf0, 0,)(級數(shù) .展成傅里葉oyx0a例例4.2)(xxxf函數(shù))(x葉級數(shù)展式為, )sincos(210nnnnxbnxaa則其中系. 3b數(shù)提示提示:xxxfbd3sin)(13xxxxd3sin)(21)3sin93cos3(2xxx03232利用“偶倍奇零”(93 考研)的傅里 xxxd3sin20三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)1. 周期為2 的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)定理定

11、理4 . 對周期為對周期為 2 的奇函數(shù)的奇函數(shù) f (x) , 其傅里葉級數(shù)其傅里葉級數(shù)為為周期為2的偶函數(shù) f (x) , 其傅里葉級數(shù)為余弦級數(shù) ,),2,1,0( dcos)(20nxnxxfan),3,2,1( 0nbn),2,1,0( 0nan0),3,2,1(dsin)(2nxnxxfbn它的傅里葉系數(shù)為正弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為例例5. 設(shè)設(shè)的表達(dá)式為 f (x)x ,將 f (x) 展成傅里葉級數(shù).是周期為2 的周期函數(shù),它在上),)(xf解解: 若不計(jì)若不計(jì)),2, 1,0() 12(kkx是則)(xf周期為 2 的奇函數(shù), yxo0dsin)(2xnxxfbn),2,1,

12、0(0nan),3,2,1(n0dsin2xnxx因而02sincos2nnxnnxxnncos21) 1(2nnn1根據(jù)收斂定理可得 f (x) 的正弦級數(shù):)(xf,(x)3sin312sin21(sin2xxx12nnxnnsin) 1(1),1,0,) 12(kkxyxo級數(shù)的部分和 n2n3n4上在),迫近 f (x) 的情況見右圖.n52. 在0,上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù),0),(xxf)(xF周期延拓 F (x)(xF f (x) 在 0 , 上展成周期延拓 F (x)余弦級數(shù)奇延拓偶延拓xoy正弦級數(shù) f (x) 在 0 , 上展成xoy, 0(),(xxf0, 0 x)

13、0,(),(xxf,0(),(xxf)0,(),(xxf1xyo例例6. 將函數(shù)將函數(shù))0(1)(xxxf分別展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù) . 解解: 先求正弦級數(shù)先求正弦級數(shù). 去掉端點(diǎn), 將 f (x) 作奇周期延拓,0dsin)(xnxxf2nb0dsin) 1(2xnxx02cossincos2nnxnnxnnxxnnncoscos12, 2 , 1 , 00nan) 1() 1(12nn), 2, 1(n x012,1222knkknk2,1),2, 1(k21xxsin)2(x2sin2x3sin32x4sin4)0( x注意注意: 在端點(diǎn) x = 0, , 級數(shù)的和為0 ,與給定函數(shù)1

14、xyo因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . nxnxnnsin) 1() 1(1211) 1() 1(12nnnbnb), 2, 1(n再求余弦級數(shù).x1y將)(xf則有o0a0d) 1(2xxna0dcos) 1(2xnxx0222xx202cossin2nnxnnxx1cos22nn12,) 12(42knkkn2,0),2, 1(k作偶周期延拓 ,0dcos2xnxxdcos0 xnx1) 1(22nn121xxcosx3cos312)0( xx5cos512說明說明: 令令 x = 0 可得可得8513112228) 12(1212nk即41212) 12(14kkxk)

15、12cos(1yox思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 將函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)時(shí)為什么最好畫出其圖形 ?答答: 易看出奇偶性及間斷點(diǎn)易看出奇偶性及間斷點(diǎn) , 2. 計(jì)算傅立葉系數(shù)時(shí)為什么有些系數(shù)要單獨(dú)算 ?答答: 用系數(shù)公式計(jì)算時(shí)用系數(shù)公式計(jì)算時(shí) , 如出現(xiàn)某些正整數(shù)作分母,這些正整數(shù)對應(yīng)的系數(shù)就必須單獨(dú)計(jì)算 .從而便于計(jì)算系數(shù)和寫出收斂域 .內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 周期為 2 的函數(shù)的傅里葉級數(shù)及收斂定理 )sincos(2)(10 xnbxnaaxfnnn)(間斷點(diǎn)x其中xxnxfandcos)(1xxnxfbndsin)(1),2, 1 ,0(n),2, 1(n注意注意: 假假設(shè)設(shè)0 x為間斷點(diǎn),則

16、級數(shù)收斂于2)()(00 xfxf2. 周期為 2 的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù) 奇函數(shù)正弦級數(shù) 偶函數(shù)余弦級數(shù)3. 在 0 , 上函數(shù)的傅里葉展開法 作奇周期延拓 , 展開為正弦級數(shù) 作偶周期延拓 , 展開為余弦級數(shù)1. 在在 0 , 上的函數(shù)的傅里葉展開法唯一嗎上的函數(shù)的傅里葉展開法唯一嗎 ?答答: 不唯一不唯一 , 延拓方式不同級數(shù)就不同延拓方式不同級數(shù)就不同 .思考與練習(xí)思考與練習(xí)處收斂于2.)(xf0 x,1 x0,12x則它的傅里葉級數(shù)在x在4x處收斂于 .提示提示:2)()(ff2 )(f)(f2222)4()4(ff2)0()0( ff21102設(shè)周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為 ,xyo113. 寫出函數(shù)寫出函數(shù))(xf0, 1x x0, 1上在,傅氏級數(shù)的和函數(shù) .)(xS0, 1x x0, 10 x,0 x,0答案:xyo11)(xfP355 1(1); 2 (1) , (2) ; 3(1) (3); 4; 5 ; 6作業(yè)作業(yè) 傅里葉傅里葉 (1768 1830)法國數(shù)學(xué)家. 他的著作熱的解析 理論(1822) 是數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性 書中系統(tǒng)的運(yùn)用了三角級數(shù)和 三角積分, 他的學(xué)生將它們命名為傅里葉級數(shù)和傅里葉積分. 最卓越的工具