BBD25微分及其應(yīng)用ppt課件

1、二、微分運(yùn)算法則二、微分運(yùn)算法則三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用第五節(jié)一、微分的概念一、微分的概念 微分及其應(yīng)用 第二章 我們已知，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)相當(dāng)自變量變化的問題。在某一過程中，計(jì)算相應(yīng)函數(shù)增量直接計(jì)算一般比較麻煩。因此我們當(dāng)自變量有一很小的增量時(shí)，快慢程度， 但在實(shí)踐中還會遇到與導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)的需要尋找一個計(jì)算函數(shù)增量的即簡單，于是引進(jìn)了微分的概念。又有一定精確度的近似公式。引例引例1：自由落體運(yùn)動距離：自由落體運(yùn)動距離221gts 時(shí)刻獲得在當(dāng)0tt增量, t那么函數(shù)的增量為20200021)(21)()(gtttgtsttss20)(21tgtgt高階無窮小時(shí)的 tt

2、0一一. 微分的概念微分的概念的線性主部ttgts0一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少? 設(shè)薄片邊長為 x , 面積為 A , 那么,2xA0 xx面積的增量為2020)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x關(guān)于x 的線性主部高階無窮小0 x時(shí)為故xxA02稱為函數(shù)在 的微分0 x當(dāng) x 在0 x取得增量x時(shí),0 x變到,0 xx邊長由其引例引例2:的微分,定義定義: 若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在點(diǎn) 的增量可表示為0 x)()(00 xfxxfy( A 為不依賴于x 的常數(shù))則稱函數(shù))(xfy 而 稱為xA在)(xf0 x點(diǎn)記作yd,df或即xA

3、yd定理定理: 函數(shù)函數(shù))(xfy 在點(diǎn) 可微的充要條件是0 x處可導(dǎo)，在點(diǎn)0)(xxfy , )(0 xfA且)( xoxA即xxfy)(d0在點(diǎn)0 x可微可微,定理定理 : 函數(shù)函數(shù)證證: “必要性必要性” 知)(xfy 在點(diǎn) 可微 ,0 x那么)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)(0)( xoxA)(xfy 在點(diǎn) 的可導(dǎo),0 x且)(xfy 在點(diǎn) 可微的充要條件是0 x)(xfy 在點(diǎn) 處可導(dǎo),0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0定理定理 : 函數(shù)函數(shù))(xfy 在點(diǎn) 可微的充要條件是0 x)(xfy 在點(diǎn) 處可導(dǎo),0 x且, )(0 xf

4、A即xxfy)(d0“充分性充分性”知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 線性主部 即xxfy)(d0在點(diǎn) 的可導(dǎo),0 x)0)(0時(shí) xf那么說明說明:0)(0 xf時(shí) ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x時(shí)yyd很小時(shí), 有近似公式xyyd與是等價(jià)無窮小,當(dāng)故當(dāng))(0 xdyy且微分的幾何意義xxfy)(d0 xx0 xyo)(xfy 0 xyydxtan當(dāng) 很小時(shí),xyyd時(shí)，當(dāng)xy 則有xxfyd)(d從而)(ddxfxy

5、導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分自變量的微分,為稱 x記作xdxyxd記例如例如,3xy yd02. 0d2xx23xxd02. 0d2xx24. 0,arctanxy ydxxd112基本初等函數(shù)的微分公式 (見 P108表)又如又如,二、二、 微分運(yùn)算法則微分運(yùn)算法則設(shè) u(x) , v(x) 均可微 , 那么)(d. 1vu )(d. 2uC(C 為常數(shù))(d. 3vu)0()(d. 4vvu分別可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分為xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d一階微分形式的不變性一階微分形式的不變性5. 復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)vudd uC

6、dvuuvdd 2ddvvuuv無論u是中間變量還是自變量，均有例例1., )1(ln2xey求 .dy解解:211dxey)1(d2xe211xe)(d2xxxeexxd21122xeexxxd12222xe 知, )1sinarcsin(2xy 求.d y解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?y所以yd例例222)1(sin11xx1sin2x1cos)1(2xxy dxxxxd2sin)1(sin11222方程兩邊求微分, 得知,yxexy所確定求.d y解：解：xyyxddyd例例3.)d(dyxeyxxxeeyyxyxd),()(yxedxyd例例4. 設(shè)設(shè),0)cos(sinyxxy.dy解解: 利用

7、一階微分形式不變性利用一階微分形式不變性 , 有有0)cos(d)sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yx)sin(cosyxxyxyxsin)sin( xyy 由方程所確定求 xyy 由xyd d xxd) d() 1 (ttdcos) d()2(221xtsin1CC注意: 數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.說明說明: 上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.例例5. 在下列括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立在下列括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:例例6. 設(shè)設(shè))(xyy 由方程063sin33yxyx確定,.d0 xy解解:

8、 方程兩邊求微分, 得xx d32當(dāng)0 x時(shí),0y由上式得xyxd21d0求yy d32xxd3cos30d6y三、三、 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用)()(0 xoxxfy當(dāng)x很小時(shí),)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原則使用原則:;)(, )() 100好算xfxf.)20靠近與xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:特別當(dāng)xx,00很小時(shí),xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式:x1)1 () 1 (x很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4( )1ln()5(x證明證明: 令

9、)1 ()(xxf得, 1)0(f)0(f,很小時(shí)當(dāng) xxx1)1 (0175. 01800 xx29sin的近似值 .解解: 設(shè)設(shè),sin)(xxf取300 x,629x那么1802918029sin6sin6cos2123)0175. 0(485. 0)180(例例1. 求求29sin4848. 029sin)()()(000 xxxfxfxf5245的近似值 .解解:24335524551)2243(51)24321(33)2432511(0048. 3例例2. 計(jì)算計(jì)算xx1)1 (xffxf)0()0()(例例3. 有一批半徑為有一批半徑為1cm 的球的球 , 為了提高球面的光潔度,

10、解解: 已知球體體積為已知球體體積為334RV鍍銅體積為 V 在01. 0, 1RR時(shí)體積的增量,VVVd01. 01RRRR 2401. 01RR)(cm13. 03因此每只球需用銅約為16. 113. 09 . 8( g )用銅多少克 . )cmg9 . 8:(3銅的密度估計(jì)一下, 每只球需要鍍上一層銅 , 厚度定為 0.01cm , 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分概念 微分的定義及幾何意義 可導(dǎo)可微2. 微分運(yùn)算法則微分形式不變性 :uufufd)()(d( u 是自變量或中間變量 )3. 微分的應(yīng)用-近似計(jì)算思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè)函數(shù))(xfy 的圖形如下, 試在圖中標(biāo)出的點(diǎn)0 x處的yy ,d及,dyy