概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程 第一章 隨機(jī)事件與概率

1、 直觀定義 事件A 出現(xiàn)的可能性大小. 統(tǒng)計(jì)定義 事件A 在大量重復(fù)試驗(yàn)下 出現(xiàn)的頻率的穩(wěn)定值稱為該事件的概率. 古典定義；幾何定義. 非負(fù)性公理： P(A)0; 正則性公理： P()=1; 可列可加性公理：若A1, A2, , An 互不相容，則11()iiiiPAP A隨機(jī)試驗(yàn)可大量重復(fù)進(jìn)行.( )( ) nn AfAn進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)，記 n(A) 為事件A的頻數(shù)， 稱 為事件A的頻率.頻率fn(A)會(huì)穩(wěn)定于某一常數(shù)(穩(wěn)定值).用頻率的穩(wěn)定值作為該事件的概率. 古典方法 設(shè) 為樣本空間，若 只含有限個(gè)樣本點(diǎn); 每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等， 則事件A的概率為:P(A) = A中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)

2、 / 樣本點(diǎn)總數(shù) 若 樣本空間充滿某個(gè)區(qū)域， 其度量(長度、面積、體積)為S； 落在中的任一子區(qū)域A的概率， 只與子區(qū)域的度量SA有關(guān)， 而與子區(qū)域的位置無關(guān) (等可能的). 則事件A的概率為: P(A)= SA /S例1.2.3 蒲豐投針問題 平面上畫有間隔為d 的等距平行線， 向平面任意投擲一枚長為l 的針， 求針與平行線相交的概率.解： 以x表示針的中點(diǎn)與最近一條平行線的距離， 又以表示針與此直線間的交角. 易知樣本空間滿足： 0 x d/2; 0 . 形成x-平面上的一個(gè)矩形，其面積為：S = d( /2). A = “針與平行線相交” 的充要條件是: x l/2 sin . 針是任意

3、投擲的，所以這個(gè)問題可用幾何方法 求解得0sin22( )( /2)AldSlP ASdd 性質(zhì)1.3.1 P()=0. 注意: 逆不一定成立. 性質(zhì)1.3.2 (有限可加性) 若AB=，則P(AB) = P(A)+P(B). 可推廣到 n 個(gè)互不相容事件.性質(zhì)1.3.3 (對(duì)立事件公式) P( )=1P(A). A購買：從01，35 中選7個(gè)號(hào)碼.開獎(jiǎng)：7個(gè)基本號(hào)碼，1個(gè)特殊號(hào)碼. 1) 7個(gè)基本號(hào)碼 2) 6個(gè)基本號(hào)碼 + 1個(gè)特殊號(hào)碼 3) 6個(gè)基本號(hào)碼 4) 5個(gè)基本號(hào)碼 + 1個(gè)特殊號(hào)碼 5) 5個(gè)基本號(hào)碼 6) 4個(gè)基本號(hào)碼 + 1個(gè)特殊號(hào)碼 7) 4個(gè)基本號(hào)碼，或 3個(gè)基本號(hào)碼

4、+ 1個(gè)特殊號(hào)碼 中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)：735C1270061077127127773535,ppC C CC C CCC將35個(gè)號(hào)分成三類： 7個(gè)基本號(hào)碼、 1個(gè)特殊號(hào)碼、 27個(gè)無用號(hào)碼記 pi 為中i 等獎(jiǎng)的概率。利用抽樣模型得： 中獎(jiǎng)概率如下：12317189,672452067245206724520ppp456567737112285,672452067245206724520ppp72047506724520,p 64993500.966515.6724520不中獎(jiǎng)的概率為： p0=1p1p2p3p4p5p6 p7 求n 個(gè)人（n小于等于365）中至少有兩人生日相同的概率. 看成 n

5、 個(gè)球放入 N=365個(gè)盒子中. P(至少兩人生日相同)=1P(生日全不相同) 用盒子模型得：pn= P(至少兩人生日相同)=365!1365 (365)!nnp20=0.4058, p30=0.6963, p50=0.9651, p60=0.9922 定義1.4.1 對(duì)于事件A、B，若 P(B)0，則稱 P(A|B) = P(AB) / P(B) 為在 B 出現(xiàn)的條件下，A 出現(xiàn)的條件概率. 1) 縮減樣本空間： 將 縮減為B=B. 2) 用定義： P(A|B) = P(AB) / P(B). 10個(gè)產(chǎn)品中有7個(gè)正品、3個(gè)次品，從中 不放回地抽取兩個(gè)， 已知第一個(gè)取到次 品，求第二個(gè)又取到次

6、品的概率. P(B|A) = P(AB) / P(A) = (1/15) / (3/10) = 2/9 解：設(shè) A = 第一個(gè)取到次品， B = 第二個(gè)取到次品，例1.4.1乘法公式;全概率公式；貝葉斯公式.性質(zhì)1.4.2 (1) 若 P(B)0，則 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)0，則 P(AB) = P(A)P(B|A). (2) 若 P(A1A2 An1)0，則 P(A1A2 An) = P(A1)P(A2|A1) P(An|A1A2 An1)性質(zhì)1.4.3 若事件B1, B2 , , Bn是樣本空間的一組分割，且 P(Bi)0，則11()() (|)( )nnii

7、iiiP ABP B P A BP A 全概率公式用于求復(fù)雜事件的概率. 使用全概率公式關(guān)鍵在于尋找另一組事件 來“分割”樣本空間. 全概率公式最簡單的形式：( )( ) (| )( ) (| )P AP B P A BP B P A B 設(shè)10 件產(chǎn)品中有 3 件不合格品，從中 不放回地取兩次，每次一件，求取出 的第二件為不合格品的概率。解： 設(shè) A = “第一次取得不合格品”， B = “第二次取得不合格品”.由全概率公式得：( )( ) (|)( ) (|)P BP A P B AP A P B A= (3/10)(2/9)+(7/10)(3/9) = 3/10例1.4.2 乘法公式是求

8、“幾個(gè)事件同時(shí)發(fā)生”的概率； 全概率公式是求“最后結(jié)果”的概率； 貝葉斯公式是已知“最后結(jié)果” ，求“原因”的概率. 某人從甲地到乙地，乘飛機(jī)、火車、汽車遲到的概率分別為0.1、0.2、0.3，他等可能地選擇這三種交通工具。若已知他最后遲到了，求他分別是乘飛機(jī)、火車、汽車的概率. （1/6， 2/6， 3/6）若事件B1, B2 , , Bn是樣本空間的一組分割，且P(A)0, P(Bi)0，則1()() (|)(|)()()() (|)1, 2,.,() (|)iiiiiinjjjP ABP B P A BP BAP AP AP B P A BinP BP A B貝葉斯（Bayes）公式 1

9、) B1, B2, ., Bn可以看作是導(dǎo)致A發(fā)生的原因; 2) P(Bj|A)是在事件A發(fā)生的條件下, 某個(gè)原因Bj 發(fā)生的概率, 稱為 “后驗(yàn)概率”; 3) Bayes公式又稱為“后驗(yàn)概率公式”或“逆概公式”; 4) 稱P(Bj) 為“先驗(yàn)概率”. 事件的獨(dú)立性 直觀說法：對(duì)于兩事件，若其中任何一個(gè) 事件的發(fā)生不影響另一個(gè)事件的發(fā)生， 則這兩事件是獨(dú)立的. P(A|B) = P(A) P(AB)/P(B) = P(A) P(AB) = P(A)P(B) 定義1.5.1 若事件 A 與 B 滿足：P(AB)=P(A)P(B), 則稱A與B相互獨(dú)立，簡稱A與B獨(dú)立. 結(jié)論 A、B 為兩個(gè)事件，

10、若 P(A)0, 則 A 與 B 獨(dú)立等價(jià)于 P(B|A)=P(B). 性質(zhì)1.5.1 若事件A與B獨(dú)立，則 A 與 獨(dú)立、 與 B獨(dú)立、 與 獨(dú)立.BABA對(duì)于A、B、C三個(gè)事件，稱滿足： P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C) 為A、B、C 兩兩獨(dú)立.稱滿足：P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 為A、B、C三三獨(dú)立.定義1.5.3 若事件 A1,A2 , An滿足： 兩兩獨(dú)立、三三獨(dú)立、n n 獨(dú)立 則稱A1,A2 , An 相互獨(dú)立. 若A、B、C 相互獨(dú)立，則AB 與 C 獨(dú)立,AB 與 C 獨(dú)立,AB 與 C 獨(dú)立. 例1.5.1 兩射手獨(dú)立地向同一目標(biāo)射擊一次，其 命中率分別為 0.9 和 0.8，求目標(biāo)被擊中的概率. 解: 設(shè) A =“甲中”, B= “乙中”, C= “目標(biāo)被擊中”, 所以解法i) P(C) = P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B) = 0.9+0.80.90.8 = 0.98.解法ii) 用對(duì)立事件公式 P(C) = P(AB) = 1 (1 0.9)(1 0.8) = 1 0.02 = 0.98. 伯