第五講：直線與平面及平面與平面的相對(duì)位置關(guān)系(相交),點(diǎn)、直線和平面的綜合題

1、2021-12-231點(diǎn)、直線、平面綜合問(wèn)題點(diǎn)、直線、平面綜合問(wèn)題距離問(wèn)題距離問(wèn)題作垂直、求實(shí)長(zhǎng)作垂直、求實(shí)長(zhǎng)( (度量度量) )相對(duì)位置關(guān)系相對(duì)位置關(guān)系( (定位定位) )角度問(wèn)題角度問(wèn)題( (度量度量) )直線與平面、平面與平面的相對(duì)位直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置置相交（含垂直）相交（含垂直）2021-12-232M平面與平面相交平面與平面相交 兩平面相交，其交線為直線，兩平面相交，其交線為直線，交線是兩平面的共有線，交線是兩平面的共有線，同時(shí)同時(shí)交線交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。要討論的問(wèn)題：要討論的問(wèn)題： 求求兩平面的兩平面的交線交線方法：方法： 確定兩平

2、面的確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)。兩個(gè)共有點(diǎn)。 確定確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線的一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。方向。 判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：即：判別可見(jiàn)性。判別可見(jiàn)性。求兩平面交線的問(wèn)題可以看作是求兩平面交線的問(wèn)題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問(wèn)題。求兩個(gè)共有點(diǎn)的問(wèn)題。ABCFKNL可通過(guò)正面投影直可通過(guò)正面投影直觀地進(jìn)行判別。觀地進(jìn)行判別。a ab bc cd de ef fc c f f d d b b e e a a m m (n(n ) ) 平面平面ABCABC與與DEFDEF都為都為正垂面正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正

3、垂線交線必為一條正垂線，只要求只要求得交線上的一個(gè)點(diǎn)便可作出交得交線上的一個(gè)點(diǎn)便可作出交線的投影。線的投影。 求交線求交線 判別可見(jiàn)性判別可見(jiàn)性 從正面投影上可看出，從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面在交線左側(cè)，平面ABCABC在上，在上，其水平投影可見(jiàn)。其水平投影可見(jiàn)。n nm m如何判別？如何判別？例例1 1：求兩平面的交線：求兩平面的交線MNMN， 并判別可見(jiàn)性。并判別可見(jiàn)性。還可通過(guò)重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性。還可通過(guò)重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性。還有何辦法判別？還有何辦法判別？步驟：步驟：空間及投影分析空間及投影分析作作 圖圖XOb b c c f f h h a a e e a ab bc ce ef

4、 fh h1(2)1(2) 平面平面EFHEFH是一水平面，它的是一水平面，它的正面投影有積聚性。正面投影有積聚性。a a b b 與與e e f f 的交點(diǎn)的交點(diǎn)m m 、 b b c c 與與f f h h 的交點(diǎn)的交點(diǎn)n n 即為兩個(gè)共有點(diǎn)的正面投影，即為兩個(gè)共有點(diǎn)的正面投影，故故m m n n 即即交線交線MNMN的正面投影的正面投影。 求交線求交線 判別可見(jiàn)性判別可見(jiàn)性點(diǎn)點(diǎn)在在FHFH上，上，在上方，在上方，點(diǎn)點(diǎn)在在BCBC上，上，在下方，故在下方，故fhfh可見(jiàn)可見(jiàn)，n2n2不可見(jiàn)。不可見(jiàn)。m mn n 2 2 n nm m 1 1 例例2 2：求兩平面的交線：求兩平面的交線MNM

5、N， 并判別可見(jiàn)性。并判別可見(jiàn)性。步驟：步驟：空間及投影分析空間及投影分析作作 圖圖XO2021-12-235 兩一般位置平面相兩一般位置平面相交，求交線步驟：交，求交線步驟：1 1用求直線與平面交用求直線與平面交點(diǎn)的方法，作出兩平面點(diǎn)的方法，作出兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)的兩個(gè)共有點(diǎn)K K、E E。求兩平面的交線求兩平面的交線l ll l n n m m m m n n P PV VQ QV V1 1 2 2 2 21 1k k k keee e2 2連接兩個(gè)共有連接兩個(gè)共有 點(diǎn)，畫出交線點(diǎn)，畫出交線KEKE。XO直線與平面垂直線與平面垂直的幾何條件：直的幾何條件： 若一直線垂直于若一直線垂直于平面

6、內(nèi)的任意兩條平面內(nèi)的任意兩條相交直線，則直線相交直線，則直線與平面互相垂直。與平面互相垂直。垂直垂直-直線與平面垂直直線與平面垂直; ; 平面與平面垂直平面與平面垂直2021-12-237定理定理1 1 若一直線垂直于一平面，則該直線的水平投影必若一直線垂直于一平面，則該直線的水平投影必垂直于該平面的水平線的水平投影；其正面投影必垂直于垂直于該平面的水平線的水平投影；其正面投影必垂直于該平面的正平線的正面投影該平面的正平線的正面投影。k kn nk k n n XO2021-12-238定理定理2 2（逆）（逆） 若一直線的水平投影垂直于一平面水若一直線的水平投影垂直于一平面水平線的水平投影；

7、其正面投影垂直于該平面正平線的平線的水平投影；其正面投影垂直于該平面正平線的正面投影，則該直線必垂直于該平面。正面投影，則該直線必垂直于該平面。XO2021-12-239例例3 3：平面由：平面由BDFBDF給定，試過(guò)定點(diǎn)給定，試過(guò)定點(diǎn)K K作平面的法線。作平面的法線。a a c ca ac c n n n nXO2021-12-2310h h 例例4 4：試過(guò)定點(diǎn)：試過(guò)定點(diǎn)K K作特殊位置平面的法線。作特殊位置平面的法線。h hh hh hh h h h （a a）（c c）（b b）2021-12-2311例例5 5：平面由兩平行線：平面由兩平行線ABAB、CDCD給定，試判斷直線給定，試

8、判斷直線MNMN是否是否垂直于該平面。垂直于該平面。e e f f e ef f不垂直不垂直XO122021-12-23兩平面垂直的幾何條件兩平面垂直的幾何條件 若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。所有平面都垂直于該平面。A AD D2021-12-2313 反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個(gè)平面的反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個(gè)平面的任意一點(diǎn)向第二個(gè)平面作的垂線必屬于第一個(gè)平面。任意一點(diǎn)向第二個(gè)平面作的垂線必屬于第一個(gè)平面。兩平面垂直兩平面垂直兩平面不垂直兩平面不垂直2021-12-2314g g 例例6 6 平面由平

9、面由BDFBDF給定，試過(guò)定點(diǎn)給定，試過(guò)定點(diǎn)K K作已知平面的垂面。作已知平面的垂面。h ha a c ca ac c h h g g2021-12-2315例題例題 試判斷試判斷A ABCBC與相交兩直線與相交兩直線KGKG和和KHKH所給定的平面所給定的平面是否垂直。是否垂直。f f f fd d d d結(jié)論：結(jié)論：因?yàn)橐驗(yàn)锳DAD直線不在直線不在 A ABCBC平面上，平面上，所以兩平面所以兩平面不垂直。不垂直。2021-12-2316例題試過(guò)定點(diǎn)例題試過(guò)定點(diǎn)A A作直線與已知直線作直線與已知直線EFEF正交。正交。2021-12-2317E EQ Q分析分析過(guò)已知點(diǎn)過(guò)已知點(diǎn)A A作平面

10、垂直于已知直線作平面垂直于已知直線EFEF，并交于點(diǎn)并交于點(diǎn)K K，連接，連接AKAK，AKAK即為所求。即為所求。F FA AK K2021-12-2318作圖作圖2 2 1 1a a e ef fa af f e e 1 1 2 22 2 1 1P PV V1 1 2 2k k k k192021-12-23距離問(wèn)題距離問(wèn)題n基本問(wèn)題：點(diǎn)到直線的距離基本問(wèn)題：點(diǎn)到直線的距離 點(diǎn)到平面的距離點(diǎn)到平面的距離n衍生問(wèn)題衍生問(wèn)題: : 兩直線間距離兩直線間距離( (平行和交叉平行和交叉) ) 直線到平面的距離直線到平面的距離 兩平面間的距離兩平面間的距離點(diǎn)、直線、平面綜合問(wèn)題點(diǎn)、直線、平面綜合問(wèn)題

11、n根據(jù)要求求距離根據(jù)要求求距離kkk k距離距離的的實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)解題要點(diǎn)：解題要點(diǎn)：1 1、作垂線、作垂線; ;2 2、求垂足、求垂足; ;3 3、連接線段、連接線段, ,求實(shí)長(zhǎng)求實(shí)長(zhǎng). .作圖結(jié)果要求：作圖結(jié)果要求：表示距離的線段表示距離的線段的投影、實(shí)長(zhǎng)都的投影、實(shí)長(zhǎng)都須作出。須作出。距離問(wèn)題距離問(wèn)題例：求圖中點(diǎn)例：求圖中點(diǎn)A A到到平面平面CDECDE的距離。的距離。aaa accddeec ce ed dXOn根據(jù)要求求距離根據(jù)要求求距離例：求點(diǎn)例：求點(diǎn)A A到直線到直線CDCD的距離。的距離。距離的實(shí)距離的實(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)kkk k解題要點(diǎn)：解題要點(diǎn)：1 1、作垂面、作垂面; ;2 2、求垂足、求

12、垂足; ;3 3、求實(shí)長(zhǎng)、求實(shí)長(zhǎng). .LPAK距離問(wèn)題距離問(wèn)題aaa addeee ed dOX222021-12-23n求兩交叉直線的公垂線。求兩交叉直線的公垂線。aab bc cd dccddbba akkllk kl l解題要點(diǎn)：解題要點(diǎn)：1.1.從空間理解概念從空間理解概念; ;2.2.明確作圖思路明確作圖思路. .距離問(wèn)題距離問(wèn)題OXEPALKCDBFEPALKCDBF空間幾何元素之間相對(duì)位置關(guān)系空間幾何元素之間相對(duì)位置關(guān)系例：經(jīng)過(guò)例：經(jīng)過(guò)A A點(diǎn)求作直線點(diǎn)求作直線AB AB ，使其與，使其與Q Q平面平行，且平面平行，且 與直線與直線CDCD相交。相交。b bbbQ QV VQ Q

13、H Ha aaac cd dccdd解題要點(diǎn)：解題要點(diǎn)：1.1.求線先定面求線先定面; ;2.2.明確平面的跡明確平面的跡線表示線表示. .LQABLQABOX242021-12-23求角度求角度n直線的傾角直線的傾角用直角三角形法用直角三角形法n平面的傾角平面的傾角用最大斜度線用最大斜度線n兩直線的夾角兩直線的夾角求角所在平面實(shí)形求角所在平面實(shí)形n直線與平面的夾角直線與平面的夾角借助垂線借助垂線n兩平面的夾角兩平面的夾角作垂面作垂面252021-12-23求角度求角度n求直線求直線ABAB與與P P平面的夾角。平面的夾角。ppp paabba ab bOX262021-12-23LPf分析分

14、析272021-12-23小結(jié)本講基本要求小結(jié)本講基本要求相交問(wèn)題相交問(wèn)題 1 1熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積聚性）交點(diǎn)的求法和求兩個(gè)面的交線的作圖方法（影具有積聚性）交點(diǎn)的求法和求兩個(gè)面的交線的作圖方法（其中一平面的投影具有積聚性）。其中一平面的投影具有積聚性）。 2 2熟練掌握一般位置線、面相交求交點(diǎn)的方法；掌握一熟練掌握一般位置線、面相交求交點(diǎn)的方法；掌握一般位置面、面相交求交線的作圖方法。般位置面、面相交求交線的作圖方法。 3 3熟練熟練掌握利用重影點(diǎn)判別投影可見(jiàn)性的方法。掌握利用重影點(diǎn)判別投影可見(jiàn)性的方法。垂直問(wèn)

15、題垂直問(wèn)題 掌握線面垂直的投影特性及作圖方法。了解面面垂直的掌握線面垂直的投影特性及作圖方法。了解面面垂直的投影特性及作圖方法。投影特性及作圖方法。2021-12-2328例例 試過(guò)試過(guò)K K點(diǎn)作一直線平行于已知平面點(diǎn)作一直線平行于已知平面ABCABC，并與，并與直線直線EFEF相交相交 。OX292021-12-23分析分析 過(guò)已知點(diǎn)過(guò)已知點(diǎn)K K作平面作平面P P平行平行于于 ABCABC；直線；直線EFEF與平與平面面P P交于交于H H；連接；連接KHKH，KHKH即為所求。即為所求。F FP PE EK KH H2021-12-2330作圖作圖m m n n h h h hn nm mP PV V1 1 1 12 2 2 21 1過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)K K作平面作平面KMNKMN/ ABCABC平平面。面。2 2求直線求直線EFEF與與平面平面KMNKMN的交點(diǎn)的交點(diǎn)H H 。3 3連接連接KHKH，KHKH即為所求。即為所求。OX312021-12-23例例 試過(guò)點(diǎn)試過(guò)點(diǎn)N N 作一平面，使該平面與作一平面，使該平面與V V面的夾角為面的夾角為6060，與與H H 面的夾角為面的夾角為4