2020年泄露天機(jī)高考押題全國(guó)I卷-理科數(shù)學(xué)(一)-(含解析)

1、絕密啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)（一）號(hào)場(chǎng) 考 密注意事項(xiàng)：1 .本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。 答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在答題卡上。2 .回答第I卷時(shí)，選出每小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì) 應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他 答案標(biāo)號(hào)。寫在試卷上無效。3 .回答第II卷時(shí)，將答案填寫在答題卡上，寫在試卷上無效。、一證老4 .考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12小題，每小題 5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1 .已知全集 U x

2、 Z|1 x 5 , A 1,2,3 , ：B 1,2 ,則 A，B （）A. 1,2B. 1,3C. 3D. 1,2,32 .如果復(fù)數(shù)洛（其中i為虛數(shù)單位，b R）的實(shí)部和虛部互為相反數(shù), 那么b等于（）A.2B. 2C.、2D. 2333 .如圖，正方形ABCD內(nèi)得圖形來自寶馬汽車車標(biāo)的里面部分， 正方形內(nèi)在正方形切圓中黑色部分和白色部分關(guān)于正方形對(duì)邊中點(diǎn)連線成軸對(duì)稱,內(nèi)隨機(jī)一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（A.花8C.D.4 .已知（2段），且tan 應(yīng)，那么sin （A.B.C.D.5.在數(shù)列 an 中，若 ai 1, an i 2an 3 n N,則 aioiA. 2100 3B,

3、2101 3C.2102D.21026 .在 ABC 中，“ cosA cosB” 是"sin A sinB” 的(B.必要而不充分條件D.既不充分也不必要A.充分而不必要條件C.充分必要條件條件7 .歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對(duì)圓周率作過研究，第一個(gè)用科學(xué)方法尋求圓 周率數(shù)值的人是阿基米德，他用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長(zhǎng)確定圓周長(zhǎng) 的上下界，開創(chuàng)了圓周率計(jì)算的幾何方法，而中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得 的近似值，他的方法被后人稱為割圓術(shù).近代無窮乘積 式、無窮連分?jǐn)?shù)、無窮級(jí)數(shù)等各種 值的表達(dá)式紛紛出現(xiàn)，使得 值的計(jì) 算精度也迅速增加.華理斯在1655年求出一個(gè)公式：-2 2 4,

4、21 3 3 5 5 7根據(jù)該公式繪制出了估計(jì)圓周率 的近似值的程序框圖，如下圖所示，執(zhí) 行該程序框圖，已知輸出的T 2.8,若判斷框內(nèi)填入的條件為k m?,則 正整數(shù)m的最小值是（）2JL-I 州+1A. 2B. 3C. 4D. 58 .設(shè)m,n是不同的直線，是不同的平面，則（）A.若 m/, n ,則 m/n B.若m , n , n m ,貝nC.若 m/, n/ , mn,貝/9 .已知F為拋物線C:y2 4x的焦點(diǎn)，過F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M ,垂足為E ,若|AB 6 ,則|EM|的長(zhǎng)為（ ）A. 2,2B. .6C. 2D. J310.函數(shù)

5、f xkx 4 lnx x ( x 1),若 f0的解集為6t，且家中只有一個(gè)整數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍為A 222. ln2 , ln3B.1ln22,A-141C. ,ln3 3 2ln2D.1ln34, 3 2ln211 .點(diǎn)P為棱長(zhǎng)是2的正方體ABCD A1B1C1D1的內(nèi)切球。球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為BiCi的中點(diǎn)，若滿足DP BM ,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為（）A.B 2,互冗C 4痣4D 8112t12 .已知定義在 R上的函數(shù)f(x)滿足f(x y) f(x) f(y) 2x 2y 2 ,且f1,則下列說法正確的有()(1)若函數(shù)g(x) f(x) f ( x),則函數(shù)g(x)是奇函數(shù)

6、; f(0) f(2) 4；(3)設(shè)函數(shù)h(x) f(x) 2,則函數(shù)h(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,9)；(4)設(shè)n N*,若數(shù)列f(n) 1是等比數(shù)列，則f(n) 2n 1 .A.(4)B. (1)(4)C. ( 1 ) (3)D. (1) (2) (3) (4)第II卷(非選擇題)二、填空題：本大題共 4小題，每小題 5分，共20分.13 .某班有男生30人，女生20人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法在班上抽取15人參加座談會(huì)，則抽到的女生人數(shù)為 .14 .若(2x 1)dx 2(t 0),則 t . 0x 3y 3 015 .若實(shí)數(shù)x, y滿足不等式組2x y 3 0,則x y的最大值為 rx y 1

7、 02216. 已知雙曲線C:與 41(a 0,b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為FF2,過F2的a b直線l與C交于A,B (其中點(diǎn)A在x軸上方)兩點(diǎn)，且滿足AF2彘.若C的離心率為3 ,直線l的傾斜角為120 ,則實(shí)數(shù) 的值是 2三、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. (12分)在4ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.向量m 2a,b ,n 1, cosC ,且 m/ n .(1)若A 30 ,求角C的值;(2)求角B的最大值.18. (12分)如圖，在矩形 ABCD中，CD 2, BC 1, E,F是平面ABCD同一側(cè)面點(diǎn)，EA FC,

8、 AE AB, EA 2, DE /，F(xiàn)C 1.(1)證明：平面CDF 平面ADE;(2)求二面角E BD F的正弦值.2斗 1(a b 0) b2219. (12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:3 a的離心率為 用,且左焦點(diǎn)F1到左準(zhǔn)線的距離為4.5(1)求橢圓C的方程;(2)若與原點(diǎn)距離為1的直線li：y kx m與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn)，直 線12與li平行，且與橢圓C相切于點(diǎn)M (O, M位于直線li的兩側(cè)).記4 MABOAB勺面積分別為S, S2,若S S2,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.20. (12分)某位學(xué)生為了分析自己每天早上從家出發(fā)到教室所花的時(shí)間， 隨機(jī)選取了

9、10天的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如下(單位：分鐘)：23, 21, 22, 19, 22, 19, 17, 19, 21, 17.(1)若每天上學(xué)所花的時(shí)間X服從正態(tài)分布N( , 2),用樣本的平均數(shù)和 標(biāo)準(zhǔn)差分別作為和的估計(jì)值.求和的值；若學(xué)校7點(diǎn)30分上課，該學(xué)生在7點(diǎn)04分到7點(diǎn)06分之間任意時(shí)刻 從家出發(fā)，求該學(xué)生上學(xué)不遲到的概率的范圍；(2)在這10天中任取2天，記該學(xué)生早上從家出發(fā)到教室所花時(shí)間的差的絕對(duì)值為Y,求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N( , 2),則P( X ) 0.6826,P( 2 X 2 ) 0.9544 , P( 3 X 3 ) 0.9974 .21. (

10、12 分)已知函數(shù) f(x) ex (a lnx),其中 a R .(1)若曲線y f(x)在x 1處的切線與直線y.垂直，求a的值；e(2)記f(x)的導(dǎo)函數(shù)為g(x),當(dāng)a (0,ln2)時(shí)，證明：g(x)存在極小值點(diǎn)小請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22. (10分)【選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】x t已知直線1的參數(shù)方程是2(t是參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程為y 二 t 422花2cos .(1)求圓心C的直角坐標(biāo)；(2)由直線1上的點(diǎn)向圓C引切線，求切線長(zhǎng)的最小值.23. (10分)【選修4-5:不等式選講】已知函數(shù)f(x) m |x 2 , m

11、R,且f(x 2) 0的解集為1,1.(1)求m的值；一一 111(2)右 a, b,c R，且一 一 一 m,求證：a 2b 3c 9.a 2b 3c '第I卷(選擇題)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1 .已知全集 U x Z|1 x 5 , A 1,2,3 ,1B 1,2 ,則 A。B()A. 1,2B.1,3C. 3D.1,2,3【答案】C【解析】全集 U x Z|1 x 51,2,3,4,5 , A 1,2,3 ,由B 1,2 ,可得B 3,4,5 ,所以AB 3 ,故選C.2 .如果復(fù)數(shù)/（其中i為虛數(shù)

12、單位，b R）的實(shí)部和虛部互為相反數(shù), 那么b等于（）A. 2B. 2C. ,2D. 2332 bi【斛析】七2 bi 1 2i12i12i【答案】A2 2b 4 b i 2 2b 4 b i555因?yàn)樵搹?fù)數(shù)的實(shí)部和虛部互為相反數(shù)，因此 2 2b 4 b,因此b 2,故3選A.正方形內(nèi)在正方形3.如圖，正方形ABCD內(nèi)得圖形來自寶馬汽車車標(biāo)的里面部分, 切圓中黑色部分和白色部分關(guān)于正方形對(duì)邊中點(diǎn)連線成軸對(duì)稱， 內(nèi)隨機(jī)一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（ ）【解析】設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2 ,則正方形的面積Si 4,則圓的半徑為r 1,陰影部分的面積為S2根據(jù)幾何概型及其概率的計(jì)算公式可得pS2

13、1一花24。故選C4.已知（2A.3B.C.【解析】因?yàn)榛?2tansincos又 sin2 cos21 ,解得sinB.5.在數(shù)列an中，若a11,2anN ,則 aioi ()A.21003B.2101c.夕02D.21023【答案】D【解析】an 12an 3,2 anan 13-3 2,且 a1 3 4,an 3所以，數(shù)列an3是以4為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)歹IJ,n 1an 3 4 2因此，a10121023,故選D.6.在 ABC 中，“ cosAcosB ”是 a sin A sinB”的(A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析：

14、T.余弦函數(shù)y cosx在區(qū)間0,冗上單調(diào)遞減，且0 A冗，0 B九,由 cosA cosB ,可得 A B ,a b,由正弦定理可得sin A sin B ,因此，“ cosA cosB”是“sin A sinB”的充分必要條件，故選C7.歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對(duì)圓周率作過研究，第一個(gè)用科學(xué)方法尋求圓 周率數(shù)值的人是阿基米德，他用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長(zhǎng)確定圓周長(zhǎng) 的上下界，開創(chuàng)了圓周率計(jì)算的幾何方法，而中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接 正多邊形就求得 的近似值，他的方法被后人稱為割圓術(shù).近代無窮乘積 式、無窮連分?jǐn)?shù)、無窮級(jí)數(shù)等各種值的表達(dá)式紛紛出現(xiàn)，使得 值的計(jì)算精度也迅速增加.華理斯在1655年

15、求出一個(gè)公式：-2 2 4 4 6 6 M21 3 3 5 5 7根據(jù)該公式繪制出了估計(jì)圓周率的近似值的程序框圖，如下圖所示，執(zhí)行該程序框圖，已知輸出的T 2.8,若判斷框內(nèi)填入的條件為k m?,則 正整數(shù)m的最小值是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】初始：k 1, T 2,第一次循環(huán)：T 2 2 2 8 2.8, k 2,繼 1 3 3續(xù)循環(huán)；第二次循環(huán)：丁 8 ： ： J8 2.8, k 3,此時(shí)T 2.8,滿足條件，結(jié)束 3 3 545循環(huán)，所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是k 3?,所以正整數(shù)m的最小值是3,故選B.8 .設(shè)m，n是不同的直線，是不同的平面，則（）A.若

16、m/ , n ,貝 lj mnB.若 m,n ,n m,則 nC.若 m/, n/ , mn,貝lj /D.若 m , n ,n m ,則【答案】D【解析】對(duì)于A,若m/ , n ,則直線m,n可以平行，也可以異面，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B,因?yàn)椴灰欢艹闪?，所以?dāng)不一定成立，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C,若m，n/ , m n,則，或平面與平面相交，所以C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D若m , n , n m，則 成立，所以D正確.故選D.9 .已知F為拋物線C:y2 4x的焦點(diǎn)，過F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M ,垂足為E ,若|AB 6 ,則|EM|的長(zhǎng)為( )A. 2 2B. 6C.

17、2D. 3【答案】B【解析】由已知得F 1,0 ,設(shè)直線l的方程為x my 1,并與y2 4x聯(lián)立，得 y2 4my 4 0 ,設(shè) Axi,yi,B x2,y2,E xo,y°, yiy24m,則 y0 -y1y22m,xo2m2 1 E2m21,2m2又 AB x x2 2 m y1 v2 4 4m2 4 6 ,解得 m2 ；,線段AB的垂直平分線為y 2m m x 2m2 1 ,令y 0,得m10.函數(shù)f x只有一個(gè)整數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍為B.1ln2C 1ln341一, 13 2ln2D.1ln31 1 2ln2令 f x 0,得到kx2m2 3,0 ,從而 |ME J4 4

18、m2 展,故選 B.kx 4 Inx x ( x 1),若 f x 。的解集為 s,t ,且 s,t 中l(wèi)n x 12ln x。，解得x e;令9 x。，解得1e,故g x在1,e遞增，在e, 遞減,畫出函數(shù)草圖，如圖所示:2k 4結(jié)合圖象3k 42?，解得上2 kln 31ln33 ,故選A.11.點(diǎn)P為棱長(zhǎng)是2的正方體ABCDA1B1C1D1的內(nèi)切球。球面上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M為BiCi的中點(diǎn),若滿足DP則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為（B.2、.5%5C.4757t5根據(jù)題意，點(diǎn)P為棱長(zhǎng)是2的正方體ABCD AiBiCiDi的內(nèi)切球O球面上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M為BQ的中點(diǎn),設(shè)BBi中點(diǎn)為NABi中點(diǎn)為K ,如下圖

19、所示:工】在平面BBiCiC中，CN BM ,由題意可知DP BM ,CN為DP在平面BBiCiC內(nèi)的射影，所以直線DP在過點(diǎn)D且與BM垂直的平面內(nèi)，又因?yàn)镻在正方體內(nèi)切球的球面上，所以點(diǎn)P的軌跡為正方體的內(nèi)切球與過 D且與BM垂直的平面相交得到的小圓，即P的軌跡為過D,C,N的平面即為平面CDKN與內(nèi)切球的交線，因?yàn)镈,O,N位于平面DDiBiB內(nèi)，設(shè)。到平面CDKN的距離為h ,11_1_1_11_一所以由 VC DONVODCN ,可得ON DD1ACCDCNh3222327代入可得1 1 72 1壺1 1 2 75 h,解得h痣，3 23 25正方體的內(nèi)切球半徑為R 1由圓的幾何性質(zhì)可

20、得所截小圓的半徑為r Ji吏2代，55所以小圓的周長(zhǎng)為C 2< 也，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為4回，故選C. 5512.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x y) f(x) f(y) 2x 2y 2 ,且(1)若函數(shù) g(x) f(x) f(0) f(2) 4；(3)設(shè)函數(shù) h(x) f(x)(4)設(shè)n N*,若數(shù)列A.(4)f( x),則函數(shù)g(x)是奇函數(shù)；2 ,則函數(shù)h(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,9)；f(n) 1是等比數(shù)列，則f(n) 2n 1 .B. (1)(4)C. ( 1 ) (3)D. (1) (2) (3) (4)【答案】B【解析】對(duì)于(1), g( x) f( x) f(x

21、)f(x) f( x) g(x),f1,則下列說法正確的有()所以函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，故(1)正確;對(duì)于(2),令 X 1, y 0,代入可得 f(1) f(1) f(0) 21 20 2 ,因?yàn)?f(1) 1,f(0) 0;令 X 1 , y 1 ,則 f (2) f(1)2 21 21 2 3 ,f(0) f(2) 3,故(2)錯(cuò)誤；對(duì)于(3),令 x 1, y 2,則 f(3) f(1) f(2) 21 22 2 7,h(3) 7 2 9,即函數(shù)h(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,9),故(3)正確；對(duì)于(4),令 x 1 , y 1 ,貝ij f(0)f(1) f( 1) 21 2 1 2 ,

22、 f (1) 1 , f 0 ,1f( 1)2；當(dāng) n 2 ,由 f(xy)f(x) f(y)2X2y2 ,可知 f(x)f(y)f(xy) 2x 2y2 ,所以f(n1) 1f (n1) 1 f(n1)f (n1)f(n1) f(n1) 1f(2n) 2n 1 2n12f (n) f( 1)2n2 12f(n)f(1) 2n21 2 1f(2n) 2 f 5) 2n1 2,2 2f (n) 1f(n) 12 f(n)2 2f(n) 1 f (2n) 2n 2n_n1 一f(2n) 2f (n) 23,.數(shù)列f。是等比數(shù)列，f(n 1) 1 f(n 1) 1 f(n) 12 ,一 13即 1f

23、(n) 2n1 2 2f(n) 2n 1 3, f(n) 2n 1,故(4)正確，故選B.第II卷(非選擇題)二、填空題：本大題共4小題，每小題 5分，共20分.13.某班有男生30人，女生20人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法在班上抽取 15人參加座談會(huì)，則抽到的女生人數(shù)為 .【答案】6【解析】因?yàn)槟信谋壤秊?0: 20 3:2,由分層抽樣的概念可知在抽取的容量為15的樣本中男女生的比例也應(yīng)為32 2則抽取的女生人數(shù)為15-2-6,3 214.若（2x 1）dx 2（t 0）,則 t . 0【答案】1t【解析】由2x 1 dx x2 x |0 t2 t 2,解得t 1或2 （舍）， 0故答案為1.

24、x 3y 3 015.若實(shí)數(shù)x, y滿足不等式組2x y 3 0,則x y的最大值為.x y 1 0【答案】9x 3y 3 0【解析】畫出不等式組2x y 3 0所表示的可行域，如圖, x y 1 0由圖知平移直線x y z,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A 4,5時(shí)，直線在y軸上的截距z最大，即X y在點(diǎn)A 4,5處取得最大值4 5 9,故答案為9.2216 .已知雙曲線C:冬 41(a 0,b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi、F2,過F2的 a b直線l與C交于A,B (其中點(diǎn)A在x軸上方)兩點(diǎn)，且滿足AF2 彘.若C的離心率為3 ,直線1的傾斜角為120 ,則實(shí)數(shù)的值是【答案】7【解析】由e22.2a b2a

25、得直線l與雙曲線C的右支交于A, B兩點(diǎn),設(shè)| F2BI k ,則 |AF2 | k .根據(jù)雙曲線定義，| FiB| 2a k , | AF112a k .在AF1F2中，由余弦定理，得(2 ak)2(2c)2k)2 2 2c k cos 60 ；在BFE中，由余弦定理，得2a22ck22 2ckcos120 ，并整理，得2a c 222三、解答題：本大題共 6個(gè)大題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17 . (12分)在ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.向量m 2a,b , n 1, cosC ,且 m/ n .(1)若A 30 ,求角C的值；(2)求角B的最

26、大值.【答案】(1) 120 ； (2) 30 .【解析】(1)因?yàn)閙 2a,b , n 1, 8sC ,且m/n,所以 2a cosC b ,即 2acosC b 0 , a b由正弦7E理 ，得 2sin AcosC sin B 0sinA sinB所以 2sin AcosC sin A C 0 ,整理，得 3sin AcosC cosAsinC 0將A 30代入上式，得tanC73,又C 0,冗，所以C 120 .(2)方法一：由式，因?yàn)閟inA 0,sin B 0,所以 cosC 0 C 90cosA 0式兩邊同時(shí)除以cosAcosC ,得3tanA tanC 0,x - x ac t

27、an A tanC tan A 3tan A 2 tan A tan B tan A C22,1 tan AtanC 1 3tan A 1 3tan A又 1 3tan2 A 2 逐tan A,tanB_2tan A_32、3tanA 3當(dāng)且僅當(dāng)褥tan A 1,即A 30時(shí)取等號(hào),又B 0,冗，所以B的最大值為30 .方法二：由（1）知,2acosC b 0,由余弦定理cosC2ab代入上式并化簡(jiǎn)得a2 2b2 c2 0, 22122321222 . 2 a c c a a c所以 cosB a c b2 一2ac2ac2ac又3a2 1c2 2, 3a2 1c2.3ac, cosB 吏，2

28、2. 22'2ac 2 '當(dāng)且僅當(dāng)3a2 羅，即c Qa時(shí)取等號(hào)，又B 。，冗，所以B的最大值為30 .18. （12分）如圖，在矩形ABCD中，CD 2BC 1E,F是平面ABCD同一側(cè)面點(diǎn)，EA FC, AE AB, EA 2, DE /，F(xiàn)C 1.（1）證明：平面CDF 平面ADE ;（2）求二面角E BD F的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）叵. 6【解析】（1） 四邊形ABCD是矩形，CD AD, AE AB , CD/ AB ,故 CD AE ,又 AD，AE A,.CD 平面 ADE,CD 平面CDF , .平面CDF 平面ADE .BC 1, EA 2,

29、 DE 卮DE2 AD2 AE2, AE AD,又 AE ABAB AD AAE 平面 ABCD.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D xyz則 D 0,0,0 , B 1,2,0 , F 0,2,1 , E 1,0,2DB1,2,0 ,0,2,1 ,設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量m x,y,z , t m DB 0 ,口 x 2y 0 人得 m 2, 1,2 .由 mDF 0,得 2yZ。,令 x2,同理可求得平面BDE的一個(gè)法向量n2,/. cos m, n二 sin m, n306 ，故二面角E BD F的正弦值為,30619. （12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓2C

30、：3a23 1(a b 0) b2的離心率為 理，且左焦點(diǎn)F1到左準(zhǔn)線的距離為4.5(1)求橢圓C的方程；(2)若與原點(diǎn)距離為1的直線li：y kx m與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn)，直 線12與li平行，且與橢圓C相切于點(diǎn)M (O, M位于直線li的兩側(cè)).記4 MABOAB勺面積分別為S, 4,若S S2,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.【答案】(1) V f 1；i,75 i .54，【解析】(1)因?yàn)闄E圓C的離心率為近，所以c近， 5a 5 .a2又橢圓C的左焦點(diǎn)E到左準(zhǔn)線的距離為4,所以c 4,c所以 a2 5, c2 1, b2 a2 c2 4, 22所以橢圓C的方程為二上1.54(2)因?yàn)樵c(diǎn)與

31、直線11 : y kx m的距離為1mr-所以 Jk2 1 1，即 m *1,y kx n設(shè)直線 l2：y kx n ,由 x2 y2 ，得 4 5k2 x2 10knx 5n2 20 0,1 54因?yàn)橹本€12與橢圓C相切，一 一2所以 A 10kn 4 4 5k2 5n2 200,整理得 n2 5k2 4,因?yàn)橹本€l1與直線l2之間的距離d m 2 n，,k2 1，11所以 S1 - AB d , S2 - AB 1 ,22所以5k2 41252k2 1 k2 12因?yàn)閗20,所以-4,5 ,m又O,M位于直線11的兩側(cè)，所以m，n同號(hào), 故實(shí)數(shù)的取值范圍為iJ5 1 .所以工m2,而，所以

32、1 2 1，石1，20. (12分)某位學(xué)生為了分析自己每天早上從家出發(fā)到教室所花的時(shí)間， 隨機(jī)選取了 10天的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如下(單位：分鐘)：23, 21, 22, 19, 22, 19, 17, 19, 21, 17.(1)若每天上學(xué)所花的時(shí)間X服從正態(tài)分布N( , 2),用樣本的平均數(shù)和 標(biāo)準(zhǔn)差分別作為和的估計(jì)值.求和的值；若學(xué)校7點(diǎn)30分上課，該學(xué)生在7點(diǎn)04分至U 7點(diǎn)06分之間任意時(shí)刻 從家出發(fā)，求該學(xué)生上學(xué)不遲到的概率的范圍；(2)在這10天中任取2天，記該學(xué)生早上從家出發(fā)到教室所花時(shí)間的差 的絕對(duì)值為Y,求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N( , 2),則P(

33、X ) 0.6826,P( 2 X 2 ) 0.9544 , P( 3 X 3 ) 0.9974 .【答案】(1)20,2;(0.9772,0.9987) ;( 2)分布歹I見解析，E(Y) 11245【解析】(1) 樣本的平均數(shù)為1一 (23 21 22 19 22 19 17 19 21 17) 20 ,10樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為10 (2320)2 2 (21 20)22 (22 20)2 3 (19 20)2 2 (17 20)22,學(xué)校7點(diǎn)30分上課，若該學(xué)生7點(diǎn)04分準(zhǔn)時(shí)從家出發(fā)，則該學(xué)生到達(dá) 教室所花時(shí)間最多為26分鐘，若該學(xué)生7點(diǎn)06分準(zhǔn)時(shí)從家出發(fā)，則該學(xué) 生到達(dá)教室所花時(shí)間最多為24

34、分鐘,1由于 P(X 26) P(X 3 ) 1 (1 P( 3 X 3 ) 211 - (1 0.9974) 0.9987 ,1P(X 24) P(X 2 ) 1 (1 P( 2 X 2 )211 - (1 0.9544) 0.9772 .所以該學(xué)生上學(xué)不遲到的概率的范圍是(0.9772,0.9987).(2)把該學(xué)生這10天早上從家出發(fā)到教室所花的時(shí)間從小到大排列為17, 17, 19, 19, 19, 21, 21, 22, 22, 23.在這10天中任取2天，所花時(shí)間的差的絕對(duì)值為丫，則Y的可能值為0,1, 2, 3, 4, 5, 6,且 P(Y 0) C2 C3 產(chǎn) C2C06455，P(Y15C2c2c2c1C1o645P(Y 2)c2c； c2 c3c2c1C201445，P(Y 3)C2o645P(Y 4)c2 c2c3c1CwP(Y5)等C10445，P(Y6)c2c1C20245，c 21126