高中數(shù)學(xué)2.1平面直角坐標(biāo)系中的基本公式課堂探究新人教B版必修2

1、2.1平面直角坐標(biāo)系中的基本公式課堂探究探究一數(shù)軸上的坐標(biāo)運(yùn)算(1) 向量的數(shù)量 ( 或坐標(biāo) ) 與向量的長(zhǎng)度是不同的量，向量的數(shù)量( 或坐標(biāo) ) 是在向量的長(zhǎng)度前面加上向量的方向符號(hào)，它可能為正也可能為負(fù)，還可以為零向量的數(shù)量(或坐標(biāo) )的絕對(duì)值等于向量的長(zhǎng)度(2) 向量的坐標(biāo)用AB表示，BA表示向量的坐標(biāo)，向量的長(zhǎng)度ABBA記為 | ，線段的長(zhǎng)度記為 | | ，且 | | |x21| ，21ABABABxAB xx數(shù)軸上任意三點(diǎn)A， B，C，都有關(guān)系式AC AB BC，但卻不一定有 | | | ，它與 A， B， C三個(gè)點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)【典型例題1】 (1) 已知， ， 是數(shù)軸上任意三點(diǎn)A

2、 BC若 AB 5， CB 3，求 AC 證明： AC CBAB 解： 因?yàn)?AC AB BC，所以 AC AB CB 5 32 證明： 設(shè)數(shù)軸上 A， B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為xA， xB， xC，則 AC CB ( xC xA) ( xB xC) xB xA AB，所以 AC CB AB(2) 已知數(shù)軸上兩點(diǎn)( ) ， (5) ，分別求出滿(mǎn)足下列條件時(shí)a的取值A(chǔ) a B兩點(diǎn)間距離為5兩點(diǎn)間距離大于5兩點(diǎn)間距離小于3解： 數(shù)軸上兩點(diǎn)A， B 之間的距離為 | AB| |5 a| 根據(jù)題意得|5 a| 5，解得 a 0 或 a 10根據(jù)題意得|5 a|>5 ，即 5a>5 或 5 a

3、< 5，故 a<0 或 a>10根據(jù)題意得 |5 a|<3 ，即 3<5 a<3，故 2<a<8探究二平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用(1) 距離公式還可以變形為 | AB| 2 ( x1 x2) 2 ( y1 y2) 2(2) 在涉及求平方和的最小值的問(wèn)題時(shí)，可通過(guò)兩點(diǎn)間距離公式的形式進(jìn)行構(gòu)造變形，利用動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的最小距離求解1 / 5【典型例題 2】 已知點(diǎn) A( a, 3) ，B(3,3a3) 的距離為5，求 a 的值思路分析： 由兩點(diǎn)的距離公式可以表示出| |，而| 5，可得關(guān)于a的方程，解方ABAB程即可求出a 的值解： 因?yàn)?x1 a， y

4、1 3， x2 3， y2 3a 3，所以|AB| 5，即 ( a3) 2 (3 a) 2 25，展開(kāi)得 a2 6a 99a2 25，所以 10a2 6a 16 0，即 5a2 3a 80，解之得 a 1 或 a，因此 a 的值為 1 或探究三平面內(nèi)中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用對(duì)于平面內(nèi)中點(diǎn)坐標(biāo)公式需要從以下兩方面來(lái)認(rèn)識(shí)：從公式上看，根據(jù)方程思想，可以知二求一，即只要知道公式兩邊的任意兩個(gè)量，就可以求出第三個(gè)量從圖象上看，只要知道任意兩個(gè)點(diǎn)，就可以求出第三個(gè)點(diǎn)【典型例題 3】 已知 ABC的兩個(gè)頂點(diǎn) A(3,7) ，B( 2,5) ，若 AC， BC 的中點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，求點(diǎn) C的坐標(biāo)思路分析： 由于

5、AC， BC 的中點(diǎn)的連線為ABC中位線，應(yīng)與底邊AB 平行又因?yàn)檫匒B 與 x 軸、 y 軸均不平行，所以?xún)芍悬c(diǎn)不會(huì)在同一條坐標(biāo)軸上再根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)即可求解1解： 設(shè)點(diǎn) C的坐標(biāo)為 ( x， y) ，邊 AC的中點(diǎn)為 D， BC的中點(diǎn)為E，則 DE 2AB因?yàn)榕c坐標(biāo)軸不平行，所以，兩點(diǎn)不可能都在x軸或y軸上ABD E線段的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為，AC線段的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為BC若點(diǎn) D在 y 軸上，則 0，即 x 3，此時(shí)點(diǎn)E 的橫坐標(biāo)不為零，點(diǎn)E 要在坐標(biāo)軸上只能在x 軸上，所以 0，即 y 5，所以 C( 3， 5) 2 / 5若點(diǎn) D在 x 軸上，則 0，即 y 7，此時(shí)點(diǎn)E 只能在

6、y 軸上，所以 0，即 x 2，此時(shí) C(2 ， 7) 綜上可知，適合題意的點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ( 3， 5) 或(2 ， 7) 點(diǎn)評(píng)對(duì)本題而言，討論三角形兩邊的中點(diǎn)在不同的坐標(biāo)軸上是關(guān)鍵探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn) 1：因擴(kuò)大取值范圍而致誤【典型例題4】 求函數(shù) y的最小值錯(cuò)解： 因?yàn)?x211，所以1又因?yàn)?x2 4x 8( x 2) 244，所以2所以 y3所以函數(shù) y的最小值為3錯(cuò)因分析： 沒(méi)有驗(yàn)證等號(hào)是否成立，而導(dǎo)致擴(kuò)大了y 的取值范圍，實(shí)際上x(chóng) 是同步的，不能輕易分開(kāi)若分別討論，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件是否滿(mǎn)足題意正解： 因?yàn)?y，令 A(0,1) ， B(2,2) ， P( x, 0) ，則 y

7、 | PA| | PB| 這樣求函數(shù)的最小值問(wèn)題，就轉(zhuǎn)化為在x 軸上求一點(diǎn)P，使得 | PA| | PB| 取得最小值問(wèn)題借助于光學(xué)的知識(shí)和對(duì)稱(chēng)的知識(shí)，如圖所示，作出點(diǎn)A 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A(0 ，1) ，連接 BA交 x 軸于點(diǎn) P，可知 | BA| 即為 | PA| | PB| 的最小值即|BA|所以函數(shù)的最小值ymin易錯(cuò)點(diǎn) 2：因考慮問(wèn)題不全面而致誤3 / 5【典型例題5 】已知一平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為( 1 ， 2) ， (3,1)，(0,2) ，求這個(gè)平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)錯(cuò)解： 設(shè) A( 1， 2) ， B(3,1) ， C(0,2) ，第四個(gè)頂點(diǎn)D 的坐標(biāo)為 ( x， y) ，由于四邊形 ABCD為平行四邊形，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得解得所以點(diǎn) D的坐標(biāo)為 ( 4， 1) ，即平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為( 4， 1) 錯(cuò)因分析： 誤認(rèn)為平行四邊形為四邊形ABCD，其實(shí)還有四邊形ABDC，四邊形ACBD，由于考慮不全面而導(dǎo)致丟解正解： 設(shè) A( 1， 2) ， B(3,1) ， C(0,2) ，第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ( x， y) ，(1) 若四邊形 ABCD是平行四邊形，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得解得所以點(diǎn) D的坐標(biāo)為 ( 4， 1) (2) 若四邊形 ABDC是平行四邊形，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得解得