全國高考理科數(shù)學(xué)試題及答案山東

1、2009 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)理科數(shù)學(xué)本試卷分第I卷和第U卷兩部分,共 4 頁，滿分 150 分，考試時(shí)間 120 分鐘。考試結(jié)束后, 將本試卷和答題卡一并交回.注意事項(xiàng)：1. 答題前，考生務(wù)必用 0.5 毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)、縣區(qū)和科類 填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上.，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上指定位置。2. 第I卷每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，答案不能答在試卷上。3. 第U卷必須用 0.5 毫米黑色簽字筆在答題卡各題的答題區(qū)域內(nèi)作答；不能寫在試題卷上如需改動(dòng)，

2、先畫掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙，修正帶, 不按以上要求作答的答案無效。4. 填空題請直接填寫答案，解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.。 參考公式：柱體的體積公式 V=Sh 其中 S 是柱體的底面積，h 是錐體的高。1 錐體的體積公式 V=-Sh，其中 S 是錐體的底面積，h 是錐體的高。3如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B);R 如果事件 A,B 獨(dú)立,那么 P(AB)=P(A)P(B).事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是 p ,那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A 恰好發(fā)生 k 次的概率：Pn(k)=C：pk(1-p嚴(yán)(k=0,12l

3、)l,n).第I卷(共 60 分)一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 50 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只 有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、集合 A0,2,aj B J1,a,若 AU B0,1,2,4,16?,則a的值為()2、 復(fù)數(shù)口等于().1-iA. 1 2iB.1 -2i C.2 i D.2-i3、 將函數(shù) 八sin2x的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移 1 個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)解析4式是().2打2A.y二cos2xB.y = 2cos xC. y= 1sin(2x) D.y二2sin x4、 一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為().A.2二2一3B.

4、4二2、3c.2二5、已知a,B表示兩個(gè)不同的平面，m 為平面 一條直線，貝廠_是“m 的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件aC.充要條件 D.既不充分也不必要條件x _x6、函數(shù)y二罕壬e eyf2BP1PCD.PA_y的圖像大致為().+y在平面內(nèi)的一點(diǎn), 1A.PALPBQLOBL一PC 邛A = 0c1A)-1PC -車yB)1 .xPJ C8、某工重(單位：96 , 106,什羊本數(shù)據(jù)分組為96 B 98), 98 , 100)000 , 102), 102 , 104), 104 ,106,已知樣本中產(chǎn)品凈重小于 100 克的個(gè)數(shù)是 36,則樣本中凈重大率/組 于或等于 9

5、8克并且小于 104 克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是().0150 x2y20.1259、 設(shè)雙曲線 務(wù)-與=1的一條漸近線與拋物線 y=x2+1 只有一個(gè)0 100a b0.075公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為().0.050A.5B.5C.D.542一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測有圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是D第 7 題圖第 8 題圖10、定義在 R 上的函數(shù) f(x)滿足 f(x)=fx：f 0，則f(2009)的值為()11、在區(qū)間-1 , 1上隨機(jī)取一個(gè)數(shù) x, cos-的值介于 0 到1之間的概率為().2 2A.1B. -C. !D.-3x-y-6乞012、設(shè)

6、x, y 滿足約束條件0,0若目標(biāo)函數(shù) z=ax+by (a0, b0)的是最大值為 12,23則 2 的最小值為 a_a bA.25B.8C.D.4第 12 題圖第丨丨卷、填空題：本大題共 4 小題，每小題 4 分，共 16 分13、不等式 2x-1-x-2v0 的解集為.14、若函數(shù) f(x)=ax_x-a(a0 且 a = 1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是15、 執(zhí)行右邊的程序框圖，輸入的 T=.16、已知定義在 R 上的奇函數(shù)f (x)，滿足f(x_4) - -f(x),且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),若方程 f(x)=m(m0)在區(qū)間1-8,8上有四個(gè)不同的根 為，X2, X3,

7、X4,則X1X2X3- X419、(本小題滿分 12 分)AFB在某校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投 3 次；在 A 處每投進(jìn)一球得 3 分, 在 B處每投進(jìn)一球得 2 分；如果前兩次得分之和超過 3 分即停止投籃，否則投第三次，某同學(xué)在 A 處的命中率 q1為 0.25，在 B 處的命中率為 q2，該同學(xué)選擇先在 A 處投一球，以后都在 B 處投，用表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為02345p0.03P1P2P3F4三、解答題：本大題共 6 分，共吟分III17、(本小題滿分：12 分)設(shè)函數(shù) fx)=cOs(:,H 小正周期;=m(m0/cOsB1, f()=3

8、3JE2x+ )+sin2X(1)求函數(shù) f(x) 的最大值和最/8-6-4-202464J /,設(shè) A,B,C 為也 ABC 的三個(gè)內(nèi)角，若cos-，且 C 為銳角，求 si nA.418、(本小題滿分 12 分)如圖，在直四棱柱ABCD-ABJGU中，底面 ABCD 為等腰梯形,AB=4,BC=CD=2,AA=2,E、E1、F 分別是棱 ADAA,、AB 的中點(diǎn)AB/CD，D(1) 證明：直線 EE/平面 FCC ；(2)求二面角 B-FG-C 的余弦值。Ei：ED（2）當(dāng) b=2 時(shí)，記b2（log2an1）（ nN ），證明：對任意的nN，不等式21、（本小題滿分 12 分）兩縣城 A

9、 和 B 相距 20km 現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外以 AB 為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn) C 建造垃 圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離有關(guān)， 對城 A 和城 B 的總影響度 為城 A與城 B 的影響度之和，記 C 點(diǎn)到城 A 的距離為 xkm,建在 C 處的垃圾處理廠對城 A 和城 B 的總影響度為 y,統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明： 垃圾處理廠對城 A 的影響度與所選地點(diǎn)到城 A 的 距離的平方成反比，比例系數(shù)為 4;對城 B 的影響度與所選地點(diǎn)到城 B 的距離的平方成反比，比例系數(shù)為 k,當(dāng)垃圾處理廠建在丄的中點(diǎn)時(shí)，對城 A 和城 B 的總影響度為 0.065.（1） 將 y 表示成 x 的函數(shù)；（

10、2） 討論（1）中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧 上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠 對城 A 和城 B 的總影響度最?。咳舸嬖?，求出該點(diǎn)到城 A 的距離;若不存在，說明理由。（22）（本小題滿分 14 分）2 2 _設(shè)橢圓 E:務(wù)每=1（ a,b0 ）過 M（ 2,2），N6,1）兩點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，a b（1） 求橢圓 E 的方程；（2） 是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且 T TOA _OB?若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說明理由。參考答案1、A.vA=0,2,a, B=Sa2, AUB=0,1,2,4,16/. 0,

11、b0) 過直線 x-y+2=0與直線 3x-y-6=0 的交點(diǎn)(4,6 )時(shí)，目標(biāo)函數(shù) z=ax+by (a0, b0)取得最大 12,即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,而-=(-烏2a 3b=匹(衛(wèi)空)_2 =25,故選 A.a b a b 66 a b 66e2xe 12Xe19、2 2D.雙曲線冷-爲(wèi)=1 的一條漸近線為a b_ byx，由方程組y爲(wèi) X ,消去 y,得ay = x2+1113、x | _1：x : 1.原不等式等價(jià)于不等式組2x1(x 2)c0小，/ c、c2x_1 (x_2)：0X0 且 a= 1)有兩個(gè)零點(diǎn)，就是函數(shù)y二ax(a 0,且a =1與函數(shù) y =

12、 x a 有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知當(dāng)0a: 1時(shí)兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合，當(dāng) a 1 時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù) y =ax(a 1)的圖象過點(diǎn)(0,1),而直線 y=xa 所過的點(diǎn)一定在點(diǎn)(0,1)的上方，所以一定有兩個(gè)交點(diǎn).所以實(shí)數(shù) a的取值范圍是 a 115、30.按照程序框圖依次執(zhí)行為 S=5,n=2,T=2;S=10, n=4,T=2+4=6;S=15, n=6,T=6+6=12;S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30S,輸出 T=3016、 -8.因?yàn)槎x在 R 上的奇函數(shù)，滿足f (x-4)=f (x),所以f(x-4) = f (_x),所以，由f (

13、x)為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線 x= 2對稱且f (0) = 0,由f (x -4) = - f (x)知f(x-8) = f(x),所以函數(shù)是以 8 為周期的周期函數(shù)，又因?yàn)閒(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間-2,0上也是增函數(shù).如圖所示，那么方程 f(x)=m(m0)在區(qū)間-8,8】上有四個(gè)不同的根X1,X2,X3,X4,不妨設(shè)X1：X2：X3：x4由對稱性知X1 X2= -12 X3 -X4=4所以x1x2x3滄=T2 4 = -817、解：(1) f(x)=cos(2x+ )+si n2x.=cos2xcossi n2xsi n1=丄-si n 2x333222所以

14、函數(shù) f(x)的最大值為匚厶,最小正周期二.2(2)f( C)=13sin乞=!,所以sin匹二三，因?yàn)?C 為銳角，所以些 ,所以322343233兀1C ,所以 sinA=cosB=.23x_218、解法一:(1)在直四棱柱 ABCD-AB1C1D1中，取 AiBi的中點(diǎn) Fi,連接 AD, CFi, CF,因?yàn)?AB=4,CD=2 且 AB/CD,所以 CDAFi, AiFiCD 為平行四邊形，所以 CFHAiD, 又因?yàn)?E、Ei分別是棱 AD AAi的中點(diǎn)，所以EEHAIDA1所以 CFHEEi,又因?yàn)镋Ei平面 FCC,CFi u 平面 FCC,AF和(2)因?yàn)?AB=4,BC=C

15、D=2, F 是棱 AB 的中點(diǎn),所以 BF=BC=CFBCF 為正三角形,取 CF 的 中點(diǎn) 0,則 OBLCF,又因?yàn)橹彼睦庵?ABCD-AB1C1D1中,CCi丄平面 ABCD 所以 CC 丄 B0 所以 0BL平面 CCF,過 0 在平面 CCF 內(nèi)作 OFLCF,垂足為 P,連接 BP,則/ 0P 助二面角 B-FG-C的一個(gè)平面角，在厶 BCF 為正三角形中，0B =.3 ,在 Rt CGF 中， 0卩臼厶 CCF,v如二匹OU 2二遼J22+ 222所以直線EE1II平面 FCC.CC1C1F在 Rt 0PF 中,BP =.,0P20B2=.13二.142/ OP2cos/OPB

16、 =BP V142-y ,所以二面角 B-FCi-C的余弦值為口.7解法二：(1)因?yàn)?AB=4,BC=CD=2,是棱 AB 的中點(diǎn)，所以BF=BC=CFBCF 為正三角形，因?yàn)?ABC 助 等腰梯形，所以/BACKABC=60 ,取 AF 的中點(diǎn) M, 連接 DM 貝 U DMLAB,所以DMLCD,以 DM 為 x 軸,DC 為 y 軸,DDi為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，,A (、3,-1,0 ) ,F3,1,0 ) ,C (0,2,0 ),則 D (0,0,0 )C (0,2,2 ) ,E(13,4,0),Ei(3-1,i),所以EEi =(DC1FiBiyX,1)，CF =(Q, T

17、,0), CCii=(0,0,2) FC1 =(-J3,1,2)設(shè)平面 CCF 的法向量為4-CF=0所以、3x一八0取n=(i,、3o),則n CC0z =0n EE13i一丄.31 o=O,所以 n _EE；,所以直線 EE平面 FCC2 2(2)FB =(0,2,0),設(shè)平面 BFC 的法向量為；=(為畀,乙)，則竺=所以丨 口FC = 0|n|-1 (3)2=2,| ni|- 220 (3)27,斗 T一所以 cos n,7 U2遼，由圖可知二面角 B-FCi-C 為銳角，所以二面角 |n llnl2需7B-FG -C 的余弦值為呂.I9、( 1)P(B)=1-q2.根據(jù)分布列知:=0

18、 時(shí) P(ABB)二 P(A)P(B)P(B) = 0.75(1-q2)2=0.03,所以1-q0.2，q2=0.2.(2)當(dāng) =2 時(shí),PI=P(ABBABBH P(ABB) P(ABB)二P(A)P(B)P(B) P(A)P(B)P( B)=0.75q2(2)X2=1.5q2(1 - q2)=0.24當(dāng) =3 時(shí),P2=P(ABB)=P(A)P(B)P(B) =0.25(1-q2)2=0.01,當(dāng) =4 時(shí),P3=P(ABB)二 P(A)P(B)P(B) =0.75q22=0.48,當(dāng) =5 時(shí),P4=P(ABB AB)=P(ABB)P(AB)二 P(A)P(B)P(B) P(A)P(B)

19、 =0.25q2(1-q2) 0.25q2=0.24所以隨機(jī)變量的分布列為02345p0.030.240.010.480.24隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望-0 0.03 2 0.24 3 0.01 4 0.48 5 0.24 =3.63n =(x, y, z)則,取 ni=(2,0,、3),則=2 1-3 0 0 -3=2,yi =0yi2乙=0(3) 該同學(xué)選擇都在 B 處投籃得分超過 3 分的概率為P(BBB BBB BB)2 2二P(BBB) P(BBB) P(BB) =2(1_q2)q2q2= 0.896;該同學(xué)選擇(1)中方式投籃得分超過 3 分的概率為 0.48+0.24=0.72. 由此看

20、來該同學(xué)選擇都在 B處投籃得分超過 3 分的概率大.20、( 1)解：因?yàn)閷θ我獾膎 - N ,點(diǎn)(n, Sn)，均在函數(shù)y = bxr(b 0且b = 1,b,r均為常數(shù)的圖像上.所以得Sn= bn r,當(dāng) n = 1 時(shí),a S b r,當(dāng)n _2時(shí)，an二Sn-Sn丄二bn r _(bnJL r) = bn-bn=(b -1)bn，又因?yàn)閍.為等比數(shù)列，所以r - -1,公比為 b ,an=(b -1)bn(2)當(dāng) b=2 時(shí)，an=(b-1)bn=2心，bn二 當(dāng) n=1 時(shí)，左邊=3,右邊=邁，因?yàn)?.2 ,所以不等式成立.n 12(log2an1) = 2(log22一1) = 2

21、n則bn1 _ 2n 1所以b_ 1 b21bn1bn2n 02n 1b2bn2nF 面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式b 1bib21b2bn13bn_256川駕成立.假設(shè)當(dāng) n =k 時(shí)不等式成立,即 2 3b1bk132bk56川專百成立.則當(dāng)n=k 1 時(shí),左邊=22bk1bk13bibkbk12,J2k 1 2k 3i-2k 2k + 2所以當(dāng) n = k 1 時(shí),不等式也成立. 由、可得不等式恒成立.21 解：(1)如圖,由題意知 AC 丄 BC,BC2= 400 -x2,其中當(dāng)x=10、.2時(shí)，y=0.065,所以 k=949所以y表示成x的函數(shù)為廠廠亦2(0：x：設(shè)m =x2,n =40

22、0-x2,則 m n =400,y=m n,所以 y=m n 弋 n 喘唸 13 葺罟)專當(dāng)且僅當(dāng)4n9m即m nn = 240n 240時(shí)取”=”m =160B49下面證明函數(shù) y =4 5 6 7-一 在(0,160)上為減函數(shù),在(160,400)上為增函數(shù).m 400 m4949設(shè) 0mmv160,貝 U出牡 二一- _(一 -)mi400 gm2400 m249、 /、4(400 - mh)(400 -m2)- 9口口2gm2一(400 mj(400 m2)=(m2_ 呻m1m2(400 -m1)(40m2)因?yàn)?0m4X240X240 9mm9X160X160 所以4(400F)(

23、400-m2)-9mm2,耳口2(400 -0)(400 -m2)所以(m2_m)4(400-mi)(400-m29mm20即y函數(shù)12(400 -11)(400 -12)為減函數(shù).49同理，函數(shù) y在(160,400)上為增函數(shù)，設(shè) 160mmv400,則m 400 m4丄9/ 4丄9、 /、4(400- 葉)(400 - m2)-9葉口2H2()二血-0)-m1400 gm2400 m2m1m2(400 g)(400 m2)因?yàn)?1600mmv400,所以 4(400 - mi)(400 - m2)9X160X160所以4(400_ 葉)(400 _ m?) _9口肌 壬0口和2(400 -mj(400 -m2)所以(m25)4(400一耐(40052)一9嘶:0 即yy函數(shù) y = 在(160,400)m1m2(40 -m1)(40 -m2)m 400-m上為增函數(shù).所以當(dāng) m=160 即x=4、10時(shí)取”=”,函數(shù) y 有最小值，所以弧上存在一點(diǎn)，當(dāng)x =410時(shí)使建在此處的垃圾處理廠對城 A 和城 B 的總影響度最小.2 2 _ _解:(1)因?yàn)闄E圓 E:務(wù)2=1( a,b0 )過 M (2，2) ， N(6,1)兩點(diǎn),a b42彳11戸