二次三項(xiàng)式分解因式有答案詳解

1、百度文庫(kù)讓每個(gè)人平辱地捉升口我十字相乘法分解二次三項(xiàng)式因式總結(jié)知識(shí)歸納對(duì)于首項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式的十字相乘法,重點(diǎn)是運(yùn)用公式x2 + (a+b)x + ab = (x + a)(x + b)進(jìn)行因式分解.掌握這種方法的關(guān)鍵是確左適合條件的兩個(gè)數(shù),即把 常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)數(shù)的積,且其和等于一次項(xiàng)系數(shù).對(duì)于二次三項(xiàng)eP+bx + c(a、b、c都是整數(shù),且)來(lái)說(shuō),如果存在四個(gè)整數(shù),q,彳 滿足仆厶=“,c,c2 = c , 并且6/2 +a2c =b , 那么二次三項(xiàng)式(ix2 +bx + c即 aa2x2 +(ac2 +6Z2c1)x + c,c2 可以分解為(axx + cx)(6/2x +

2、c2) o 這里要確泄四個(gè)常數(shù)q, q , a2, c2, 分析和嘗試都要比首項(xiàng)系數(shù)是1的類型復(fù)雜,因此一般要借助畫十字交叉線的方法來(lái)確定.下面我們一起來(lái)學(xué)習(xí)用十字相乘法因式分解.1.在方程、不等式中的應(yīng)用例1.：x2-11x + 24>0,求x的取值范圍.分析：此題為二次不等式,可以應(yīng)用因式分解化二次為一次,即可求解.解：vx2-11x + 24>0/.(X - 3)(x - 8) > 0x- 3> 0 fx- 3 < 0或<x-8>0'x8<0x > 8 或 x v 3例2.如果x4 -x3 + nix2 -2mx-2能分解成兩

3、個(gè)整數(shù)系數(shù)的二次因式的積,試求m的值,并把這個(gè) 多項(xiàng)式分解因式.分析：應(yīng)當(dāng)把F分成x2 -x2 ,而對(duì)于常數(shù)項(xiàng)-2,可能分解成(-1)x2,或者分解成(-2)x 1,由此 分為兩種情況進(jìn)行討論.解： 設(shè)原式分解為(/+心_1)(/+加+ 2),其中a、b為整數(shù),去括號(hào),得：x4 + (a + h)x3 + x2 + (2a 一 h)x 一 2將它與原式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行比照,得：a+b = -1, m = 1, 2a b = -2m解得：= b = 0, m=此時(shí),JM； = (x2+2)(x2-x-1)(2)設(shè)原式分解為(疋+口一2)(,+心+1),其中c、d為整數(shù),去括號(hào),得：x4 + (c

4、+ d)xy -x2 + (c - 2d)x - 2將它與原式的各項(xiàng)系數(shù)逬行比照,得：c + cl = L m = 1, c 2d = 2m解得：c = 0, =一1, m = -此時(shí),原式= (x2_2)(x2_x+1)2.在幾何學(xué)中的應(yīng)用例.：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬為X、y,周長(zhǎng)為16cm,且滿足 x-y-x2 +2xy-y2 +2 = 0,求長(zhǎng)方形的而積.分析：要求長(zhǎng)方形的而積,需借助題目中的條件求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬.解： x- y-x2 + 2小_ y2 + 2 = 0/.(X2 -2xy + /)-(x-y)-2 = 0- (x-y)1 _(x_y)_2 = 0(x_y_2)(x_y + l)

5、 = 0.x-y-2 = 0或x-y+ 1 = 0又 x + y = 8x y + 1 = 09解得：兀=35.,= 4.5長(zhǎng)方形的而積為15c赤或二c加44.在代數(shù)證實(shí)題中的應(yīng)用例.證實(shí)：假設(shè)4x-y是7的倍數(shù),其中x, y都是整數(shù),貝ij8x2 + 10xy- 3>-2是49的倍數(shù). 分析：要證實(shí)原式是49的倍數(shù),必將原式分解成49與一個(gè)整數(shù)的乘積的形式.證實(shí)一:8x2 + lQxy-3y2 = (2x + 3y)(4x 一 y)2(2x + 3y) = 4x + 6y = 4x - y + 7yV 4x-y是7的倍數(shù),7y也是7的倍數(shù)(y是整數(shù))2(2x + 3y)是7的倍數(shù)而2與

6、7互質(zhì),因此,2x + 3y是7的倍數(shù),所以8x2 + 10xy - 3/是49的倍數(shù).證實(shí)二：.4x y是7的倍數(shù),設(shè)4x-y = 7m (m是整數(shù))那么 y = 4xIm又 V 8x2 + 10與一 3y2 = (2x + 3y)(4x 一 y):.(2x + I2x -21m)(4x 4x + 7m) = 7ni(14x 21fn) = 49ni(2x 一 3m)Vx, m是整數(shù),.加(2兀一3加)也是整數(shù)所以,8x2+10-3y2是49的倍數(shù).中考點(diǎn)撥例1.(2000 湖北)把4/y2 一5疋),2 一9),2分解因式的結(jié)果是、解：4/y2_5x2y29,2= y2(4x4-5x2-9

7、)=>-2(4x2 -9)(x2 + 1)= y2(x2 + 1)(2a + 3)(2x-3)說(shuō)明：多項(xiàng)式有公因式,提取后又符合十字相乘法和公式法,繼續(xù)分解徹底.例2.(2000 甘肅)因式分解：6x2-7x-5 =解：6x2 - 7x-5 =(2x+lX3x-5)說(shuō)明：分解系數(shù)時(shí)一左要注意符號(hào),否那么由于不慎將造成錯(cuò)誤.題型展示例1假設(shè)x2-y2 +mx + 5y6能分解為兩個(gè)一次因式的積,那么m的值為()A. 1 B. -1C. ±1 D. 2解：x2 _ y2 + mx + 5y _ 6 = (x + y)(x _ y) + mx + 5y - 6-6可分解成(-2) x

8、 3或(3)x2,因此,存在兩種情況：由(1)可得：/H = 1 由(1)可得：2 = -1應(yīng)選擇C.說(shuō)明：對(duì)二元二次多項(xiàng)式分解因式時(shí),要先觀察其二次項(xiàng)能否分解成兩個(gè)一次式乘積,再通過(guò)待左系 數(shù)法確是其系數(shù),這是一種常用的方法.例2：a. b、c為互不相等的數(shù),且滿足(“一C),=4(一a)(c b)°求證：a-b=b-c證實(shí)：(a - c)' =4(b-a)(c-b)(a _ c) _ 4(b _ 6/)(c _ b) = 0a2 -2ac + c2 -4bc + 4ac-4ab + 4/?2 = 0(a + c) - 4b(a + c) + 4b1 = 0. (a + c

9、-2/?) = 0.a + c-2b = 0. a _ b = b _ c說(shuō)明：抓住條件,應(yīng)用因式分解使命題得證.例3.假設(shè)x3+5x2+7x + a有一因式X+1.求a,并將原式因式分解.解：vX3 +5x2 +7x + a 仃一因式x+.當(dāng) x+l = 0,即 x = -l 時(shí),xi+5x2+7x+a=0a = 3x3 +5a2 +7x + 3=a3 +x2 + 4x2 + 4x + 3x + 3=x2(x+ 1) + 4x(x + 1) + 3(x + 1)=(x + l)(x2 +4x + 3)=(x + l)(x + l)(x + 3)=(x + 1)2(x + 3)說(shuō)明：由條件知,

10、x = -l時(shí)多項(xiàng)式的值為零,代入求得a,再利用原式有一個(gè)因式是X+1,分解時(shí) 盡量岀現(xiàn)X + 1,從而分解徹底.實(shí)戰(zhàn)模擬1.分解因式：(1) a2b2+6cib + 39(2) 15x2/, +7xnyn -4y2/r*2(3) (x2 + 3x) 一 22(/ + 3x) + 722.在多項(xiàng)式 x+1, x + 2, x + 3, x2 +2x-3, x2+2x-l, x2+2x + 3 ,哪些是多項(xiàng)式 X2 + 2x4 -10x2 +2x2 + 9的因式？3.多項(xiàng)式2x3-x2-3x + k有一個(gè)因式,求k的值,并把原式分解因式.4.分解因式：3x2 +5xy-2y2 +x + 9y-4

11、 ；5.：x + y = 05, x + 3y = 1.2 ,求 3x2 +2xy + 9y2 的值.試題答案1.(1) 解：原式=(")+ 16ab + 39 = (ab + 3)("/? + 13)(2) 解：原式=(3xM-/+,)(5r+4/+,)(3) 解：原式=(十 +3x 4)(x2 + 3x 18)= (x + 4)(x l)(x + 6X" 3)2.解：(a2 + 2x)4 - 10(x2 + 2.v) + 9 =(X,+ 2x)2 -9 (x2 +_ =(x,+ 2x + 3)(x + 2x - 3)(十 +2x + 1)(十 + 2x - 1

12、)=(x2 + 2x + 3)(x + 3)(x- l)(x + l)2(x2 + 2x- 1)Jt1!1 x + 9 x + 3, x+2x + 3, x+2x1 是多項(xiàng)式(x2 + 2x)4 -10(x2 + 2a-)2 + 9 的因式.說(shuō)明：先正確分解,再判斷.3.解：設(shè) 2%5 -x2 -13兀 + £ =(2x 4- l)(x2 + or + b)那么 2x3x + k = 2" +(2a + l)F +(a + 2b)x + b'2a + = -:.a+ 21)= 13b = ka = -1解得：J/2 = -6k = 一6/.k = -6且2x' x' 3x-6 = (2x l)(x2 _x-6)= (2x l)(x 3)(x4-2)說(shuō)明：待走系數(shù)法是處理多項(xiàng)式問題的一個(gè)重要方法,所給多項(xiàng)式是三次式,有一個(gè)一次因式, 那么另一個(gè)因式為二次式,由多項(xiàng)式乘法法那么可知其二次項(xiàng)系數(shù)為1.4.解：簡(jiǎn)析：由于項(xiàng)數(shù)多,直接分解的難度較大,可利用待左系數(shù)法.設(shè) 3x2 + 5xy- 2y2 +x + 9y-4=(3% 一 y + m)(x + 2y + /?)=3x2 + 5xy 一 2y2 + (nt + 3n)x + (2m 一 n)y + mnm + 3n = 1比擬