向量的內(nèi)積、長度及正交性PPT課件

1、1 向量的內(nèi)積、長度及正交性1. 內(nèi)積的定義及性質(zhì)2. 向量的長度及性質(zhì)3. 正交向量組的定義及求解4. 正交矩陣與正交變換定義定義1 1維向量維向量設有設有n1122,nnxyxyxyxyM MM M1122,nnx yx yx yx y=+L L令 . ,的的與與為為向向量量稱稱yxyx內(nèi)積內(nèi)積1.內(nèi)積的定義及性質(zhì)內(nèi)積的性質(zhì) :,為實數(shù)為實數(shù)維向量維向量為為其中其中 nzyx;,)1 (xyyx;,)2(yxyx ;,) 3(zyzxzyx. 0,00,0)4(xxxxxx時，；當時，當2(5),x yx xy y定義2 令 ）非負性（1）齊次性（2 . 或或的的維維向向量量為為稱稱xnx

2、長度長度范數(shù)范數(shù)向量的長度具有下述性質(zhì)：; 0,0; 0,0 xxxx時時當當時時當當;xx 2.向量的長度及性質(zhì)22212,nxx xxxx=+L L0, -11xyxyxy由 施 瓦 茨 不 等 式 ，為單位向量。稱時當xx,1單位化。的過程稱為把向量得到量是一個單位向量。由向則取若axaxaaxa, 0的夾角。與維向量稱為時當yxnyxyxyx,arccos,0,0（1）正交的定義（2）正交向量組的定義一組兩兩正交的非零向量，稱為正交向量組3.正交向量組的定義及求解交。零向量與任何向量都正正交。與稱向量時yxyx,0, 0021111 T由由.01 從而有從而有. 02 r 同理可得同理

3、可得.,21線性無關(guān)線性無關(guān)故故r 使使設有設有r ,21證明02211 r 得得左左乘乘上上式式兩兩端端以以,1aT0111 T（3） 正交向量組的性質(zhì)線線性性無無關(guān)關(guān). ., , , ,則則非非零零向向量量, ,是是一一組組兩兩兩兩正正交交的的, , , ,維維向向量量若若定定理理rrn 2121 1例1 已知三維向量空間中兩個向量 121,11121 321,正交，試求一個非零向量 ，使 兩兩正交。3即即 02,0,3213232131xxxxxx 解之得解之得. 0,231 xxx則則有有若若令令, 13 x 1013213xxx 由上可知由上可知 兩兩正交兩兩正交.321 ,則有則有

4、0,3231 解解 ., 0, 213213正正交交且且分分別別與與設設 Txxx定義定義 設設V為向量空間，如果為向量空間，如果r個向量個向量12,.,rV 且滿足且滿足12,.,r 線性無關(guān)；線性無關(guān)；（1）（2）V 中任一向量都可由中任一向量都可由12,.,r 線性表示，線性表示，那么，向量組那么，向量組12,.,r 就稱為向量空間就稱為向量空間V 的的一個基一個基，r 稱為向量空間稱為向量空間V 的的維數(shù)維數(shù)，并稱，并稱V 為為 r 維向量空間維向量空間。1122. . .rrxaaa1212,.,.,.rrxa aa 數(shù)組稱為向量 在中的基坐標（4） 標準正交基. ,)( , 321

5、2121 的一個標準正交基是則稱向量兩兩正交且都是單位如果的一個基是向量空間維向量設定義VeeeeeeRVVeeenrrnr.212100,212100,002121,0021214321 eeee例如（1）正交化，取 ，11ab ,1112122bbbabab ,21的一個基的一個基為向量空間為向量空間若若Vaaar（5）標準正交基的求解.,2121212121交化標準正基稱為把這樣一個問題價等與使位向量的單就是要找一組兩兩正交的一個標準正交基要求的一個基是向量空間設rrrrreeeeeeVVL L L L L L L L121121112211 , ,rrrrrrrrrb ab ababa

6、bbbb bb bbb-=-L L.,111等價與兩兩正交，且那么rrraabbbb（2）單位化，取121212,rrrbbbeeebbb=L L。的一個標準正交基為那么Veeer,21132333121122 , ,b ab ababbb bb b=-例 用施密特正交化方法，將向量組) 1, 1 , 5 , 3(),4 , 0 , 1, 1 (),1 , 1 , 1 , 1 (321 aaa標準正交化標準正交化.解 先正交化， 1 , 1 , 1 , 111 ab 1112122,bbbabab 1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 3 , 1, 2, 0 ?。┱?/p>

7、交化。稱為施密特（的過程組導出正交向量上述由線性無關(guān)向量組Schmidt, 11rrbbaa222321113133,bbbabbbbabab 3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 , 3 0 , 2, 1 , 1 再單位化， 143,141,142, 03 , 1, 2, 0141222bbe 0 ,62,61,610 , 2, 1 , 161333bbe得標準正交向量組如下 21,21,21,211 , 1 , 1 , 121111bbe112111112112222212221212=nnnnTnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaAEEAaaa

8、aaaLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL4.正交矩陣與正交變換定義4 如果n階矩陣A滿足ATA=E（即A-1=AT），那么稱A為正交矩陣，簡稱正交陣。T1T212T,nnEL LM MTTT11121TTT21222TTT12nnnnnnE L LL LM MM MM MM ML LT1,;,1,2,0,ijiji jnijL L性質(zhì) 正交變換保持向量的長度不變證明,為為正正交交變變換換設設Pxy .xxxPxPxyyyTTTT 則有則有定義5 若 為正交陣，則線性變換 稱為正交變換Pxy P作業(yè)P138：1,2（2）2 方陣的特征值與特征向量 1.特征值與特征向量的定義

9、及求解 2.特征值與特征向量的性質(zhì) 3.小結(jié)說明., 0. 1言的言的特征值問題是對方陣而特征值問題是對方陣而特征向量特征向量 x .0,0,. 2 的的特特征征值值都都是是矩矩陣陣的的即即滿滿足足方方程程值值有有非非零零解解的的就就是是使使齊齊次次線線性性方方程程組組的的特特征征值值階階方方陣陣AEAxEAAn 1.特征值與特征向量的定義及求解., , 6的特征向量的對應于特征值稱為量非零向的特征值稱為矩陣這樣的數(shù)那么成立使關(guān)系式維非零列向量和如果數(shù)階矩陣是設定義AxAxAxxnnA0. 3 EA 1112121222120nnnnnnaaaaaaaaalll-=-L LL LLLLLLLL

10、LL L次次方方程程為為未未知知數(shù)數(shù)的的一一元元稱稱以以n 0 EA . 的的為為A特特征征方方程程,次次多多項項式式的的它它是是n 記記 EAf 稱稱其其. 的的為為方方陣陣A特特征征多多項項式式 則則有有的的特特征征值值為為階階方方陣陣設設,. 4 21nijaAn 121122(1);nnnaaalll+=+L LL L12(2).nAl ll=L L解解例例5 5 .3113的特征值和特征向量的特征值和特征向量求求 A的特征多項式為的特征多項式為A3113EA1)3(2 )2)(4(682 . 4, 221 的特征值為的特征值為所以所以A,00231123,2211 xx對應的特征向量

11、應滿足對應的特征向量應滿足時時當當 ,21xx 解得解得.11 1 p取為取為所以對應的特征向量可所以對應的特征向量可,001111,00431143,421212 xxxx即即由由時時當當 .11 ,221 pxx取為取為所以對應的特征向量可所以對應的特征向量可解得解得例例6 6 .201034011的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩陣求矩陣 A解解,)1( )2(201034011 2 EAA的特征多項式為的特征多項式為. 1, 2321 的特征值為的特征值為所以所以A由由解方程解方程時時當當. 0)2(,21 xEA ,0000100010010140132 EA,1001 p 得

12、基礎解系得基礎解系由由解方程解方程時時當當. 0)(,132 xEA ,000210101101024012 EA所以kp1(k0)是對應于1= 2l的全部特征向量。,1212 p 得基礎解系得基礎解系所以kp2(k0)是對應于的全部特征向量。23=1ll的特征值；是22)1(A.,)2(11的特征值是可逆時當AA例7 設 是方陣A的特征值，證明例8 設3階矩陣A的特征值為1，-1，2，求A*+3A-2E的特征值。2.特征值與特征向量的性質(zhì)（1）特征值的性質(zhì)., 221212121線性無關(guān)則各不相等如果向量依次是與之對應的特征個特征值的是方陣設定理mmmmppppppmA（2）特征向量的性質(zhì)求

13、矩陣特征值與特征向量的步驟： ;det . 1EAA 的特征多項式的特征多項式計算計算 ;,0det . 2 21的的全全部部特特征征值值就就是是的的全全部部根根求求特特征征方方程程AEAn .,0 , . 3 的的特特征征向向量量就就是是對對應應于于的的非非零零解解求求齊齊次次方方程程組組對對于于特特征征值值iiixEA 3.小結(jié)作業(yè)P139：6（2）；133 相似矩陣 1.1.相似矩陣與相似變換的定義相似矩陣與相似變換的定義 2.2.相似矩陣的性質(zhì)相似矩陣的性質(zhì) 3.3.利用相似變換將方陣對角化利用相似變換將方陣對角化 4.4.小結(jié)小結(jié)1.相似矩陣與相似變換的定義.,., , 111的的相

14、相似似變變換換矩矩陣陣變變成成稱稱為為把把可可逆逆矩矩陣陣進進行行相相似似變變換換稱稱為為對對行行運運算算進進對對相相似似與與或或說說矩矩陣陣的的相相似似矩矩陣陣是是則則稱稱使使若若有有可可逆逆矩矩陣陣階階矩矩陣陣都都是是設設定定義義BAPAAPPABAABBAPPPnBA 證明證明相相似似與與BA PEPAPPEB 11 PEAP 1PEAP 1.EA BAPPP 1,使使得得可可逆逆陣陣., 1的的特特征征值值亦亦相相同同與與從從而而式式相相同同的的特特征征多多項項與與則則相相似似與與階階矩矩陣陣若若定定理理BABABAn2.相似矩陣的性質(zhì)推論推論 若若 階方陣階方陣A與對角陣與對角陣n

15、n 21.,21個個特特征征值值的的即即是是則則相相似似nAn ., 1對角化對角化這就稱為把方陣這就稱為把方陣為對角陣為對角陣使使若可找到可逆矩陣若可找到可逆矩陣階方陣階方陣對對AAPPPAn ,1為為對對角角陣陣使使假假設設存存在在可可逆逆陣陣 APPP .,21npppPP 用用其其列列向向量量表表示示為為把把3.利用相似變換將方陣對角化,1 PAPAPP得得由由 nnnppppppA 212121,即即 .,2211nnppp nnApApAppppA,2121 ., 2 , 1nipApiii 于于是是有有nnppp,2211., 的的特特征征向向量量的的對對應應于于特特征征值值就就

16、是是的的列列向向量量而而的的特特征征值值是是可可見見iiiApPA ., PAPPnnnA使使陣陣個個特特征征向向量量即即可可構(gòu)構(gòu)成成矩矩這這個個特特征征向向量量得得并并可可對對應應地地求求個個特特征征值值恰恰好好有有由由于于反反之之.)( 2個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量有有的的充充分分必必要要條條件件是是能能對對角角化化即即與與對對角角矩矩陣陣相相似似階階矩矩陣陣定定理理nAAAn 如果如果 階矩陣階矩陣 的的 個特征值互不相等，個特征值互不相等，則則 與對角陣相似與對角陣相似推論推論nAAn如果如果 的特征方程有重根，此時不一定有的特征方程有重根，此時不一定有 個線性無關(guān)的特征

17、向量，從而矩陣個線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣 不一定能不一定能對角化對角化AnA 163053064A設設A能否對角化？若能對角能否對角化？若能對角,P則則求求出出可可逆逆矩矩陣陣化化例例10.1為為對對角角陣陣使使APP 解解 163053064EA 212 . 2, 1321 的全部特征值為的全部特征值為所以所以A 得方程組得方程組代入代入將將0121 xEA 063063063212121xxxxxx解之得解之得基礎解系基礎解系,0121 .1002 解解系系得得方方程程組組的的基基礎礎代代入入將將, 02 3 xEA .1 , 1 , 13 T .,321線線性性無無關(guān)關(guān)由由于于 11

18、0101102, 321 P令令.200010001 1 APP則則有有所以所以 可對角化可對角化.A注意注意 , ,213 P若令若令111 012 100. 1 APP則則有有00 00002 11即矩陣即矩陣 的列向量和對角矩陣中特征值的位置的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應要相互對應P00111100tA設201111(1)(1) (1)110AEtlllllllll-=-=-= -+-123=1=1lll-得，問問t為何值時，矩陣為何值時，矩陣A能對角化？能對角化？1=1l-時，可求得線性無關(guān)的特征向量恰有時，可求得線性無關(guān)的特征向量恰有1個，個，例例1123=1ll，有有2

19、個線性無關(guān)的特征向量，即方程個線性無關(guān)的特征向量，即方程解解故矩陣故矩陣A可對角化的充分必要條件是對應重根可對角化的充分必要條件是對應重根101101=10001101000rAEtt: :要要R(A-E)=1，得，得t+1=0，即，即t=-1.因此，當因此，當t=-1時，矩陣時，矩陣A能對角化能對角化.亦即系數(shù)矩陣亦即系數(shù)矩陣A-E的秩的秩R(A-E)=1.（A-E）x=0有有2個線性無關(guān)的解，個線性無關(guān)的解， 相似矩陣與相似變換相似矩陣與相似變換這種變換的重要意義在于這種變換的重要意義在于簡化對矩陣的各種簡化對矩陣的各種運算運算，其方法是先通過相似變換，將矩陣變成與，其方法是先通過相似變換

20、，將矩陣變成與之等價的對角矩陣，再對對角矩陣進行運算，從之等價的對角矩陣，再對對角矩陣進行運算，從而將比較復雜的矩陣的運算轉(zhuǎn)化為比較簡單的對而將比較復雜的矩陣的運算轉(zhuǎn)化為比較簡單的對角矩陣的運算角矩陣的運算相似變換相似變換是對方陣進行的一種運算，它把是對方陣進行的一種運算，它把A變成，而可逆矩陣變成，而可逆矩陣 稱為進行這一變換的稱為進行這一變換的相似變換矩陣相似變換矩陣APP1 P4.小結(jié)作業(yè)P139:15,164 對稱矩陣的對角化 1.1.對稱矩陣的性質(zhì)對稱矩陣的性質(zhì) 2.2.利用正交矩陣將對稱陣對角化利用正交矩陣將對稱陣對角化 3.3.小結(jié)小結(jié)性質(zhì)性質(zhì)1 1 對稱矩陣的特征值為實數(shù)。對稱

21、矩陣的特征值為實數(shù)。1.對稱矩陣的性質(zhì).,0,0)( , 以以取取實實向向量量從從而而對對應應的的特特征征向向量量可可系系知知必必有有實實的的基基礎礎解解由由是是實實系系數(shù)數(shù)方方程程組組線線性性方方程程組組所所以以齊齊次次為為實實數(shù)數(shù)的的特特征征值值由由于于對對稱稱矩矩陣陣 EAxEAAiii 1T5 ,= ,.AnPP APP APAn 定理設 為 階對稱矩陣 則必有正交矩陣使其中 是以 的 個特征值為對角元的對角矩陣 , ,(),.AnAkAER AEnkk 推論 設 為 階對稱矩陣是 的特征方程的 重根 則矩陣的秩從而對應特征值 恰有 個線性無關(guān)的特征向量12121212 ,.Ap pp

22、p 性質(zhì)2 設是對稱矩陣 的兩個特征值是對應的特征向量.若則 與 正交根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩陣根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩陣A對角化的步驟對角化的步驟為為：2.利用正交矩陣將對稱陣對角化將特征向量正交化將特征向量正交化;3.將特征向量單位化將特征向量單位化.4.2. ;, 0的特征向量的特征向量求出求出由由AxEAi 1.;的特征值的特征值求求A解解 20212022EA 214 0 . 2, 1, 4321 得得,020212022)1( A 310130004)2(A例例12 12 對下列各實對稱矩陣，分別求出正交矩陣對下列各實對稱矩陣，分別求出正交矩陣 ，使使 為對角陣

23、為對角陣.APP1 P(1)第一步 求 的特征值A()0,iAE xAl-=第二由求出 的步特征向量 得得由由對對, 04, 41 xEA 04202320223232121xxxxxxx解之得基礎解系解之得基礎解系 .1221 得得由由對對, 0, 12 xEA 0202202323121xxxxxx解之得基礎解系解之得基礎解系.2122 得得由由對對, 02, 23 xEA 02202320243232121xxxxxxx解之得基礎解系解之得基礎解系.2213 第三步 將特征向量正交化.,3, 321321故它們必兩兩正交故它們必兩兩正交的特征向量的特征向量個不同特征值個不同特征值的的是屬于是屬于由于由于 A第四步 將特征向量單位化. 3 , 2 , 1, iiii 令令,3132321 得得,3231322 .3232313 ,22121212231,321 P作作.200010004 1 APP則則 310130004)2(A 310130004EA ,422 . 4, 2321 得特征值得特征值 得得基基礎礎解解系系由由對對, 02, 21 xEA 110