圓錐曲線軌跡方程的求法

1、圓錐曲線軌跡方程的求法一直以來，圓錐曲線這部分內(nèi)容都是高考必考內(nèi)容，作為解析幾何中一個重要的部分，在歷次考試中也是讓相當一部分考生感到棘手?，F(xiàn)在，我就圓錐曲線的軌跡方程的問題作一個歸納總結(jié)。在一般情況下，我們對于求圓錐曲線的軌跡方程采用的方法有:直接法，定義法，相關(guān)點法，參數(shù)法。下面就以上幾種方法作一下介紹。利用動點運動的條件作出等量關(guān)系，表示成x,y的等式。例:已知點A(-2,0),B(3,0).動點P(x,y)滿足 PA· PB =x2,則點P的軌跡是（ ）.A、圓 B、橢圓 C、雙曲線 D、拋物線解: PA=（-2-x,-y）, PB=(3-x,-y), PA· PB

2、=x2則（-2-x）（3-x）+(-y)(-y)=x2 整理得:y2=x+6所以P點的軌跡為拋物線。答案:D.一、 有定義法求軌跡方程根據(jù)圓錐曲線的基本定義解題。例:如圖，已知圓O的方程為x2+y2=100,點A的坐標為(-6,0),M為圓O上的任意一點,AM的垂直平分線交OM于點P,則點P的軌跡方程（ ） A.+=1B. =1C.+ =1D. - =1解:由于P為AM的垂直平分線上的點，|PA|=|PM|所以|PA|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|=R=10>|OA|=6根據(jù)橢圓的定義知:P點軌跡方程為+=1.解答:A二、 用相關(guān)點法求軌跡方程當動點M隨著已知方程的曲線上另一動

3、點C（x0,y0）運動時，找出點M與點C之間的坐標關(guān)系式，用（x,y）表示（x0,y0）再將x0,y0代入已知曲線方程，即可得到點M的軌跡方程。例:如圖所示從雙曲線x2-y2=1上一點Q引直線x+y=2的垂線，垂足為N，求線段QN的中點P的軌跡方程.解:設(shè)動點P的坐標為(x,y)，點Q的坐標為（x1,y1），則N點的坐標為（2x-x1,2y-y1）.N點在直線x+y=2上，2x-x1+2y-y1=2 又PQ垂直于直線x+y=2,=1即x-y+y1-x1=0 聯(lián)立得:x1=x+y-1,x2=x+y-1又點Q在雙曲線上，x12-y12=1 將x1,x2代入中，得動點P的軌跡方程式為 2x2-2y2

4、-2x+2y-1=0三、 用參數(shù)法求軌跡方程 選取適當?shù)膮?shù)，分別用參數(shù)表示動點坐標得到動點軌跡的普通方程.例：（04.成都)過拋物線y2=2px(p>0)的頂點O作兩條互相垂直的弦OA,OB,再以O(shè)A,OB為鄰邊作矩形AOBM,如圖,求點M的軌跡方程.解:設(shè)M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2) OA的斜率為k(顯然k0),則OB的斜率為-. OA所在直線方程為y=kx.代入y2=2px得x1=,y1= OB所在直線方程為y=-x,代入y2=2px得x2= 2pk2,y2=-2pk即B(2pk2, -2pk) OB=(2pk2, -2pk),OA=(, )OM= OA+ OB

5、 =(+2pk2, -2pk)所以有x=2p(-k)2 +4p, y=2p(-k) 消去(-k)得：y2=2p(x-4p)(p>0)即求得M點的軌跡方程。注:在利用參數(shù)法求解時,要選擇合理的參數(shù),同時要注意參數(shù)的取值范圍.除上述四種常用求曲線軌跡方程方法外,我們還介紹兩種重要的求解方法.一.幾何法 二.交軌法1.幾何法求解.(利用平面幾何或解析幾何中的圖形性質(zhì))例:已知圓的方程為x2+y2=4,若拋物線過點A(-1,0),B(1,0)且以圓的切線為準線,則拋物線的焦點軌跡方程是( ).A.=1(x0)B .+=1(x0)C. =1(y0)D .+=1(y0)解:如圖所示,根據(jù)題意及拋物線

6、的圖形性質(zhì)有:令焦點為P.則有|BP|=|BE| |AP|=|AG|所以|BP|+|AP|=|BE|+|AG|=2|OF|由|OP|=2知|BP|+|AP|=4=2a所以a=2,方程為+=1且焦點不在AB直線上,所以y 0.解答:D2.用交軌法來求軌跡方程.(一般用于兩動曲線交點的軌跡方程,其過程是選出一個適當?shù)膮?shù),求出兩動曲線的方程或動點坐標適合的含參數(shù)的等式,再消去參數(shù),即得所求動點軌跡的方程)例:如圖所示,垂直于x軸的直線交直線交雙曲線=1 于MN兩點，A1，A2為雙曲線的頂點，求直線A1M與A2N的交點P的軌跡方程，并指出軌跡形狀.解:設(shè)M(x1,y1)則N（x1,-y1）,P(x,y),A1(-a,0),A2(a,0) 則A1M的方