容斥原理的極值問(wèn)題

1、容斥原理的極值問(wèn)題文件排版存檔編號(hào)WZEKBNTL9EN灑有關(guān)容斥原理的極值問(wèn)題所謂“極值問(wèn)題就是通常說(shuō)的最大值,最小值的問(wèn)題,題干中通常有“至少,“至多等題眼,解決這類問(wèn)題通常有兩種方法,一是極限思 想,另一種就是逆向思維.通過(guò)以下幾個(gè)例題具體看一下：1. 某社團(tuán)共有46人,其中35人愛(ài)好戲劇,30人愛(ài)好體育,38人愛(ài)好寫 作,40人愛(ài)好收藏,至少有幾個(gè)4個(gè)活動(dòng)都參加解析：逆向思維,分別考慮不喜歡其中某項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)是多少,由題意可 知,分別為11,16, 8,6,只有當(dāng)這四項(xiàng)集合互相沒(méi)有交集的時(shí)候,四項(xiàng)活動(dòng) 都喜歡的人數(shù)才最少,因此最少人數(shù)為46-11-16-8-6=52. 參加某部門招聘測(cè)

2、試的共有120人,測(cè)試內(nèi)容共有6道題.1至6道題 分別有86人,88人,92人,76人,72人和70人答對(duì),如果答對(duì)3道題或 3道以上的人員能通過(guò)測(cè)試,那么至少有多少人能通過(guò)測(cè)試解析極限思想：要使通過(guò)的人最少,那么就是對(duì)1道,2道的人最多, 并且應(yīng)該是對(duì)2道的人最多這樣消耗的總題目數(shù)最多,假設(shè)都只對(duì)了2 道,那120人總共對(duì)了 240道,而現(xiàn)在對(duì)了 86+88+92+76+72+70=484,比 240多了 244道,每個(gè)人還可以多4道這樣總?cè)藬?shù)最少,244/4=61.逆向思維：先算出來(lái)1-6題每題錯(cuò)的人數(shù)120-86=34 120-88=32 120-92=28 120-76=44 120-

3、72=48 120-70=50要使通過(guò)的人數(shù)最少,就是沒(méi)通過(guò) 的人數(shù)最多,讓錯(cuò)的人都只錯(cuò)4道就錯(cuò)的人最多,總的錯(cuò)的題數(shù)為34+32+28+44+48+50=236236/4=59120-59=61注意：算出來(lái)的值要跟上述的每一題做錯(cuò)的值相比,只有大于上述每一個(gè) 值,才可以直接拿總數(shù)去減3. 一次測(cè)試共有五道試題,做對(duì)第1、2、3、4、5題的分別占測(cè)試人數(shù)的 81%、91%、85%、79%、74%,如果做對(duì)三道或三道以上為及格,那么這次考 試的及格率至少是多少？參考第二題的思想,一個(gè)類型100-81,91,85,79,74=19+9+15+21+26=90 90/3=30, 100-30=70o

4、由于30>26 錯(cuò)的最多的題次,所以直接除以3.4. 一次測(cè)試共有五道試題,做對(duì)1、2、3、4、5題的分別占測(cè)試人數(shù)的84%、88%、72%、80%、56%,如果做對(duì)三道或三道以上為及格,那么這次考 試的及格率至少是多少？100-84, 8& 72, 80, 56=16+12+28+20+44=120, 120/3=40,16+12+28+20/2=38, 100-38=62解析1：及格率至少多少,就是錯(cuò)的要最多,也就是錯(cuò)3道題目要最多.錯(cuò) 的題目：16+12+28+20+44=120, 120/3=40,考慮40<44,所以錯(cuò)的題目有多 算了.所以：要錯(cuò)3題最多,那么第五

5、道題肯定要錯(cuò),那么題目可以轉(zhuǎn)化為： 前四道題錯(cuò)2題的最多,即16+12+28+20=76, 76/2=38, 3844.所以錯(cuò)三道 最多為38%o那么及格率至少為1-38%=62%o跟第二題的解法作比照,掌握不同的處理方式解析2：假設(shè)這次測(cè)試有100人參加,那么五題分別做對(duì)的人數(shù)為84、88、72> 80、56人.全班共做對(duì)84+88+72+80+56=380 題.要求及格率 最少,也就是讓不及格人盡量的多,即僅做對(duì)兩題的人盡量的多；要讓及格 的人盡量的少,也就是說(shuō)共做對(duì)5題和共做對(duì)4題的人要盡量的多.我們可 以先假設(shè)所有人都只做對(duì)兩題,那么共做對(duì)100X2=200 題.由于共做對(duì) 5題

6、的最多有56人,他們一共多做了 56X3=168 題,這時(shí)還剩下380-200+168 =12 題.由于做對(duì)4題的人要盡量的多,所以每2題分給一 個(gè)人,可以分給124-2=6 人,即最多6個(gè)人做對(duì)4題.加上做對(duì)5題的 56人,那么及格的人最少有56+6=62 人,也就是及格率至少為62%.5. 在陽(yáng)光明媚的一天下午,甲、乙、丙、丁四人給100盆花澆水.甲 澆了 30盆,乙澆了 75盆,丙澆了 80盆,丁澆了 90盆.請(qǐng)問(wèn)：1恰好被3人澆過(guò)的花最少有多少盆解析：100盆花共被澆水275次,平均每盆被澆次,那說(shuō)明一定有一些花被 澆3次或4次才可能使得平均數(shù)為.要使被澆3次的花少,只需被澆4次的 花多即可,由于甲只澆了 30盆,那么被澆4次的花最多只能有30盆.排除 這