數(shù)值分析報告精彩試題及問題詳解

1、標準文案大全1.2.3.數(shù)值分析試題 填空題(2 0 X 2')位有效數(shù)字.2 設x=0.231是精確值x*=0.229的近似值,那么x 有 _2_一 3假設 f(x)=x7f 2 0,2 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 7,2 8=0X3 + 1 ,貝u f2 0,21,22,2 3,24,2 5,2 6,2 7= _J設, A|機, XI、II AX|15.4. 非線性方程f(x)=O的迭代函數(shù)x= (x)在有解區(qū)間滿足| :' (x)| <1,那么使用該迭代函數(shù)的迭代解法一定是局部收斂的.5. 區(qū)間a, b上的三次樣條插值函數(shù)S(x)在a,b上具有直

2、到_2階的連續(xù)導數(shù).6. 當插值節(jié)點為等距分布時,假設所求節(jié)點靠近首節(jié)點,應該選用等距節(jié)點下牛頓差商公式的 前插公式,假設所求節(jié)點靠近尾節(jié)點,應該選用等距節(jié)點下牛頓差商公式的后插公式；如果要估計結(jié)果的舍入誤差,應該選用插值公式中的拉格朗日插值公式.n7. 拉格朗日插值公式中f(xj的系數(shù)ai(x)的特點是：a a")工_J;所i=0以當系數(shù) ai(x)滿足ai(x)>1,計算時不會放大 f(xj的誤差.8. 要使20的近似值的相對誤差小于0.1%,至少要取_j4位有效數(shù)字.9. 對任意初始向量X0)及任意向量g,線性方程組的迭代公式x(k+1)=Bxk)+g(k=0,1,)收斂

3、于方程組的精確解x*的充分必要條件是10. 由以下數(shù)據(jù)所確定的插值多項式的次數(shù)最高是_5.x00.511.522.5y=f (x)-2-1.75-10.2524.2511. 牛頓下山法的下山條件為lf(xn+1)|v|f(xn)|.12. 線性方程組的松弛迭代法是通過逐漸減少殘差ri (i=0,1,n)來實現(xiàn)的,其中的殘I差 r i = (b -a 1x1-a g_X2-a ©Xn)/a, (i =0,1,n).13. 在非線性方程f(x)=O使用各種切線法迭代求解時,假設在迭代區(qū)間存在唯一解,且f(X)的二階導數(shù)不變號,那么初始點X0的選取依據(jù)為 f(xO)f (x0)>0.

4、14. 使用迭代計算的步驟為建立迭代函數(shù)、選取初值、迭代計算.二、判斷題(10XT)1、 假設A是n階非奇異矩陣,那么線性方程組AX b 一定可以使用高斯消元法求解.(X )2、解非線性方程f(x)=O的牛頓迭代法在單根x*附近是平方收斂的.( )3、假設A為n階方陣,且其元素滿足不等式nan,|aj(i = 1,2,n)那么解線性方程組AX b的高斯塞德爾迭代法一定收斂.(X )4、 樣條插值一種分段插值.()5、 如果插值結(jié)點相同,在滿足相同插值條件下所有的插值多項式是等價的.()6、從實際問題的精確解到實際的計算結(jié)果間的誤差有模型誤差、觀測誤差、截斷誤差及舍入誤差.( )7、解線性方程組

5、的的平方根直接解法適用于任何線性方程組AX= b.(X )8迭代解法的舍入誤差估計要從第一步迭代計算的舍入誤差開始估計,直到最后一步迭 代 計 算 的 舍 入 誤 差.(X )9、數(shù)值計算中的總誤差如果只考慮截斷誤差和舍入誤差,那么誤差的最正確分配原那么是截斷誤差=舍入誤差.( )10、 插值計算中防止外插是為了減少舍入誤差.(X )三、計算題(5X 10')1、用列主元高斯消元法解線性方程組.Xq - X2X3 45x“ - 4x2 3x3 = -422x< x2 x 11解答：(1, 5, 2)最大元5在第二行,交換第一與第二行：5x4 - 4x2 3x3 = -12x4 -

6、 x2x3 = 42x4 x2 x3 = 11l_2i=1/5=0.2,l 31=2/5=0.4 方程化為：5乙-4x2 十 3x3 = -12-0.2x204x3 = -1.62.6x2 一 0.2x3 = 15.8(-022.6 )最大元在第三行,交換第二與第三行：5Xq - 4x2 + 3x3 = -122.6x2 一 0.2x3 二 15.8-0.2x20.4x3 二 一1.6L32=-0.2/2.6=-0.076923, 方程化為：5Xq - 4x2 + 3x3 = -122.6x2 一 0.2x3 = 15.80.38462x3 二 0.38466回代得：x 3.00005x2 二

7、 5.99999 x3 二 T.000102、用牛頓一一埃爾米特插值法求滿足以下表中插值條件的四次插值多項式x),并寫出其截斷誤差的表達式(設f(x)在插值區(qū)間上具有直到五階連續(xù)導數(shù)).Xi012標準文案f(Xi)1-13f ' (Xi)15解答：做差商表xiF(xi)Fxi,xi+1Fxi.xi+1.xi+2Fxi,xi+1,xi+2,xi+3Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4011-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)()/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、對

8、下面的線性方程組變化為等價的線性方程組,使之應用雅克比迭代法和高斯一一 賽德爾迭代法均收斂,寫出變化后的線性方程組及雅克比迭代法和高斯一一賽德爾迭代 法的迭代公式,并簡單說明收斂的理由.2Xj - x2 +X4 = 1Xq -X3 + 5x4 = 6|X2 + 4X3 - X4 = 8-Xi 3x2 - X3=3解答:交換第二和第四個方程,使系數(shù)矩陣為嚴格對角占優(yōu):2X41X2+x4 = 1- xq + 3x2 - x3=3x2 +4x3 _ x4 = 8x4 -x3 5x4 二 6雅克比迭代公式:2x x2 +_ Xi + 3X2 _ X3X2 +4X3 -大全1-X35X4 = 6標準文案

9、大全?計算機數(shù)學根底2?數(shù)值分析試題一、單項選擇題每題3分,共15分x= 0.0 aia2anX lOs(aO)的絕對誤差1.準確值x*與其有t位有效數(shù)字的近似值(D) 0.5X 10S+1-2-10 052 10_-12-1 014 10(A),(B)0-12 -111 4100-1 21 100 12-52-1 0 -42111142 -11410(C)2141(D)2-141-001 2 _1315 一3.過(0 ,1),(2 , 4),3 , 1點的分段線性插值函數(shù)P(x)=(st(A) 0.5 X 10 一 -(B) 0.5X 10 s(C) 0.5 X 10s+ z2.以下矩陣是嚴

10、格對角占優(yōu)矩陣的為 )3x+10 蘭x 蘭2(A)2(B)-3x 10 2 x 乞33 x 10乞x乞2* 2、-3x2+10 2cxE3(C)存-1-3x 10(D)尹1-x 44. 等距二點的求導公式是1f (xQ(-ykyk 1)h*1f (xk 1) (yk -yk1)h(B)1f (xk)仏 - y1)h. 1f (Xk 1) (yk - yk 1)h1f (Xk) =h(yk +yk+)(C)h(D)* 1f (Xk十)=i(yk十一yk)lh5. 解常微分方程初值問題的平均形式的改良歐拉法公式是1yk 1亠2皿 yc)那么yp, yc分別為().yp =yk +hf (Xk,yQ

11、yp = yk +hf (xy, yk)(A)丿(B)$c =yk +hf(Xk*yk)pc = yhf (Xk, yp)Ap =yk + f (Xk, yk)Wp = yk +hf (Xk, Yk)(C)丿(D)丿c =yk 十 f(Xk,yp)c = yk +hf (Xk和 yp)二、填空題(每題3分,共15分)6. 設近似值 xi,X2滿足xi)=0.05 , (X2)=0.005,那么；(XiX2)=.7. 三次樣條函數(shù)S(x)滿足：S(x)在區(qū)間a,b內(nèi)二階連續(xù)可導,S(Xk)=yk(),k=0,1,2,n,且滿足 S( X)在每個子區(qū)間Xk, Xk+i上是.bnn8. 牛頓科茨求積

12、公式f (x)dx ：八 Ak f(Xk),那么Ak =ak=0k =09. 解方程f(x)=0的簡單迭代法的迭代函數(shù)(x)滿足在有根區(qū)間內(nèi) ,那么在有根區(qū)間內(nèi)任意取一點作為初始值,迭代解都收斂.10. 解常微分方程初值問題的改良歐拉法預報一一校正公式是預報值： yk 彳=yk hf(xk,yk),校正值：yk+1=三、計算題(每題15分,共60分)11. 用簡單迭代法求線性方程組-3x2 2x 20« 4論 +11x2 + x3 =336捲 +3x2 +12x3 =36的X(3) 取初始值(0,0,0) T,計算過程保存4位小數(shù).12. 函數(shù)值 f(0)=6 ,f(1)=10 ,

13、f (3)=46 ,f (4)=82 ,f (6)=212,求函數(shù)的四階均差 f(0,1,3,4,6) 和二階均差f (4 , 1, 3).13. 將積分區(qū)間8等分,用梯形求積公式計算定積分:1 x2dx,計算過程保存4位小數(shù).14. 用牛頓法求 J15的近似值,取x=10或11為初始值,計算過程保存4位小數(shù).四、證實題(此題10分)15. 證實求常微分方程初值問題f(x, y)Wo) =y°在等距節(jié)點a=xo<X1< <Xn=b處的數(shù)值解近似值的梯形公式為h rry(Xk+1) : yk+1=yk+ f ( Xk, yk)+ f (Xk+1, yk+1)2其中 h

14、=Xk+1 Xk(k=0,1,2,n 1)?計算機數(shù)學根底(2)?數(shù)值分析試題答案一、單項選擇題(每題3分,共15分)1. A 2. B 3. A 4. B 5. D二、填空題(每題3分,共15分)6. 0.05X2 +0.005 X17. 3 次多項式h.(X)叮1 10.yk+-f (xk,yk)f(xk 1,yk,1)hf(xk+1, y)8. b a 9.15分,共60分三、計算題每題11.寫出迭代格式%k刊、,心-0 0.375x2k) -0.25x3k) 2.5= -0.3636x1k) 0 0.090 9x3k) 3X(0) =(0,0,0) T.dxj(1)X3得到 X1) =

15、 (2.5x12)x22)x32)得到 X2) =(2.875=0 0.375 0-0.25 0 2.5 二 2.5-0.3636 0 0 0.0909 0 3=3=-0.5 0 - 0.25 0 0 3 = 3,3, 3)t=0 0.375 3-0.25 3 2.5 = 2.875二-0.363 6 2.5 0 0.0909 3 3 二 2.363 7二-0.5 2.5-0.25 3 0 3 =1.0000,2.363 7 , 1.000 0) T0.5x1k) 0.25x2k) 0 3乂3) = 0 + 0.375 域 2.363 7 0.25匯 1 + 2.5 = 3.136 4 x23

16、) = -0.363 6 2.875 0 0.090 9 1 3 = 2.0456 x33) = -0.5 2.875-0.25 2.3637 0 3 二 0.9716L得到 X(3) =(3.136 4 , 2.045 6 , 0.971 6) T.12. 計算均差列給出.Xkf (Xk)一階均差二階均差三階均差四階均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/15f(0,1,3,4,6)=15f(4, 1,3)=613. f (x)=. 1x2, h=-0.25 .分點X0=1.o,X1=1.25 ,X2=1.5,X3=1.75 ,X4=2.0 ,X

17、5=2.25 ,8X6=2.50 , X7=2.75 , X8=3.0.函數(shù)值：f (1.0)=1.4142, f (1.25)=1.600 8, f (1.5)=1.8028, f (1.75)=2.015 6, f (2.0)=2.2361, f (2.25)=2.462 2, f (2.50)=2.692 6, f (2.75)=2.926 2, f(3.0)=3.162 3.3hf (x)dx f (xo) f (X8)122(f(Xi) f(X2) f(X3)f(X4)f(X5) f(X6)f(X7) (9 分)=0.25 X 1.414 2+3.162 3+2 X (1.600 8

18、+1.802 8+2.015 6 2+2.236 1+2.462 2+2.692 6+2.926 2)=0.125 X (4.576 5+2 X 15.736 3)=4.506 12 214. 設x為所求,即求 x - 115=0的正根.f(x)=x 115.由于 f (x)=2x, f (x)=2 , f (10) f (10)=(100 115) X 2<0, f(11) f (11)=(121 115) X 2>0 取 X0=11.有迭代公式Xk+1=Xk d=Xk f (Xk)x2 -1152Xk(k=0,1,2.11115X1= 10.727 32 2 11X2=P7型.

19、115= 10.723 822 10.727 3X3=27空竺=10.723 822X0.7238x* 10.723 8四、證實題(此題10分)15. 在子區(qū)間xk+1,Xk上,對微分方程兩邊關于x積分,得xyy(Xk+i) y(Xk)=f (x, y(x)dxLXk用求積梯形公式,有hy(Xk+ y(xk)= f (Xk,y(xj)f (Xk 1, y(Xk J)2將 y(Xk), y(Xk+1)用 yk, yk+1 替代,得到y(tǒng)(Xk+d ：yk+1=yk+ f(xk, yk)+f (xk+1, yk+1)( k=0,1,2,n 1)2數(shù)值分析期末試題一、填空題210 = 20分一15-2

20、1(1)設 A =-210,那么 1 A 二=-13.3-822x1 -5x 2=1(2)對于方程組丿,Jacobi迭代法的迭代矩陣是10x1 4x2=3Bj°2.52.5.0(3) 3 x*的相對誤差約是* 1x的相對誤差的一倍.3(4)求方程x = f (x)根的牛頓迭代公式是Xn - f(Xn)1f'(Xn)(5) 設 f (x) =X3 x -1,那么差商 f0,1,2,3 = _J.(6) 設n n矩陣G的特征值是 ,七,那么矩陣G的譜半徑r(G)二maxr.1蘭空1 2(7) A = ,那么條件數(shù)Cond/A) = _91 一(8)為了提升數(shù)值計算精度,當正數(shù)x充

21、分大時,應將ln(x - x2 -1)改寫為- In(x：-Jx2 1).(9) n個求積節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精確度至少為n - 1次.f(xj.(10)擬合三點(x1 , f ( x1 ),(X2,f(X2),(X3,f(X3)的水平直線是2xt _ x2 十 x3 = 1二、(10分)證實：方程組* Xj +x2 +x3 =1使用Jacobi迭代法求解不收斂性.嚴 + x2 -2x3 = 1證實：Jacobi迭代法的迭代矩陣為-00.5-0.51Bj =_1010.50.50 JBj的特征多項式為丸 一0.50.5det(上 IBj)=1 丸 1 =九(九2十1.25)-0.5-0.

22、5 丸Bj的特征值為 = 0 , ' 2 - 1.25i , ' 3 = - 1.25i,故:(Bj =1.25 > 1,因而迭代法不收斂性.三、(10分)定義內(nèi)積1(f,g)二 0 f (x)g(x)dx試在Hr =Span'1,x沖尋求對于f(x) = ._x的最正確平方逼近元素 p(x).解：o(x)三 1 ,1(X)三 X,(1,f) =x xdx 二-.051 xdx 二-03(0, 0)=法方程132132一；dx ",( i, °) = oXdx1,(i,i)= ：x2dx = l,( o,f)二 oo2 o311_2412解得C

23、o,C1.所求的最正確平方逼近元素為1515412p(x)x,° 冬 x 冬 11515四、(10分)給定數(shù)據(jù)表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6試用三次多項式以最小二乘法擬合所給數(shù)據(jù).23解：y(x)二 Co cm C2XC3X-1-24-8 1一50100 11-11-1010034A =1000,AT A =10034011110340130 一1248 一LATy = (2.9,4.2,7,14.4)T法方程At Ac = At y的解為 c0 =0.4086,s =0.39167,c2 =0.0857,c3 =0.00833得到三次多項式23y(x) =0.

24、4086 0.39167x 0.0857 x0.00833 x誤差平方和為 匚3 = 0.000194五.10分依據(jù)如下函數(shù)值表x0124f(x)19233建立不超過三次的Lagra nge插值多項式,用它計算f2.2,并在假設f4xw1下,估計計算誤差.解:先計算插值基函數(shù)10(xH(x-1)(x-2)(x-4)(0 _1)(0 _2)(0 _4)li(x)(x -0)(x -2)(x-4)(1 -0)(1 -2)(1 - 4)-2x28x312X(x 0)(x 1)(x 4)(2 -0)(2-1)(2-4)x213X(x 0)(x 1)(x 2)(4 _0)(4_1)(4 _2)1 3x2

25、41x12所求Lagrange插值多項式為311451L3(x)二' f(Xi)h(x) = l0(x) 9h(x) 23I2(x) 3I3(x)x3 x2 x 1 從而i=s442f(2.2)L3(2.2) =25.0683.據(jù)誤差公式f()R3(x) =(X - Xo)( X - xj( X - X2)( X - X3)及假設 f (x)蘭 1 得誤差4!估計:R3(x)f (4)()(2.2-0)(2.2-1)(2.2-2)(2.2-4)V 0.9504= 0.03964!4!六.10分用矩陣的直接三角分解法解方程組0 10 1X2312 4 3X317010 3一X4 一I_7 一0250 10 1l211U22U23U2412 4 3131l321U33U340 10 3(l41l42l431- % 一11 01010 1202由矩陣乘法可求出 uij和lij1I21I31J411 32'42'4311U22U23U24011U33U34解下三角方程組10U44iry/ly2有 y1 =5,y2 =3,y3y4得原方程組的解為x1,X2y3丿4 一17-4.再解上三角方程組x4 = 2 .1 01七. 10分試用Simpson公式計