現(xiàn)代通信原理11第十一章 差錯控制編碼和線性分組碼

1、1現(xiàn)代通信原理第十一章 差錯控制編碼和線性分組碼2單元概述單元概述 實際信道傳輸數(shù)字信號時，不可避免地會產(chǎn)生誤碼。差錯控制編碼的目的是用信道編碼的方法檢測和糾正誤碼，降低誤比特率。在檢錯重發(fā)控制編碼方式中，信道編碼只是為了檢測誤碼，而在前向糾錯方式中，信道編碼用于糾正誤碼。 檢錯和糾錯能力是用信息冗余度即由附加附加在信息中的監(jiān)督碼元來實現(xiàn)的。信息碼元與監(jiān)督碼元之間建立某種檢驗關系，根據(jù)建立檢驗關系的方法不同，可以分為分組碼和卷積碼。線性分組碼中信息碼元和監(jiān)督碼元是用現(xiàn)行方程聯(lián)系起來的，卷積碼中它們是以卷積的方式聯(lián)系起來。碼距是確定糾錯檢錯能力的重要度量。3單元學習提綱單元學習提綱 （1）前向糾

2、錯、檢錯重發(fā)差錯控制方法； （2）檢錯和糾錯的基本原理； （3）分組碼、卷積碼、線性碼、系統(tǒng)碼的定義； （4）碼距的定義，它與檢錯、糾錯能力的關系； （5）線性分組碼中監(jiān)督方程、監(jiān)督矩陣、生成方程、生成矩陣的含義；4（6）漢明碼的特點及構(gòu)造；（7）循環(huán)碼的特點及編碼方法；（8）糾正一位誤碼的循環(huán)碼的一種譯碼方法；（9）交織碼糾正突發(fā)錯誤的原理；（10） 卷積碼的編碼方法，生成多項式與編碼器的構(gòu)造； 5 （11）卷積碼的樹狀圖、網(wǎng)格圖的表示；（12）卷積碼維持比譯碼的基本原理和譯碼過程；（13）糾錯編碼誤比特率性能，編碼增益的含義；（14）糾錯編碼在衛(wèi)星信道、移動通信等實際通信系統(tǒng)中的應用。6第

3、十一章 差錯控制編碼和線性分組碼 1、概述： 數(shù)字通信系統(tǒng)是以電子方式傳輸信息的，接收方收到的數(shù)據(jù)應當就是發(fā)送方發(fā)送的數(shù)據(jù)，但這些電子信息都易受到干擾，太陽黑子活動、電源抖動或施工者用鋤頭對電纜的碰撞都會對傳輸產(chǎn)生不可預料的影響。 為保證傳輸數(shù)據(jù)的完整性，通常采用一定的措施，如利用均衡器糾正信道參數(shù)，加大發(fā)送功率、擴展信道頻帶寬度等辦法來減少加性干擾。 采用上述方法仍難以滿足要求時，必須采用差錯控制措施，即用來和。7 對于數(shù)據(jù)傳輸，人們主要關心的是信息碼元的差錯概率，即誤碼率Pe，在中等傳輸速率（1200/2400波特）下，采用一般的調(diào)制方法，對于干線有線載波信道， Pe約為10-410-6的

4、數(shù)量級，對于無線短波通信， Pe只有10-210-3的數(shù)量級，對于傳輸速率更高的系統(tǒng)，誤碼性能還要差。 在數(shù)據(jù)通信中，如計算機與計算機之間的數(shù)據(jù)傳送，Pe要求低于10-9，這就需要加入糾錯編碼。8從差錯控制角度看，信道可以分為三類 1、。誤碼的出現(xiàn)是隨機的，誤碼之間是統(tǒng)計獨立的。如由正態(tài)分布白噪聲引起的誤碼（稱為）就具有這種性質(zhì)。 2、。誤碼是成串集中出現(xiàn)的，即在短促的時間區(qū)間存在大量誤碼，在較長的時間區(qū)間無誤碼出現(xiàn)。產(chǎn)生的主要原因是脈沖干擾，信道中的衰落現(xiàn)象也是產(chǎn)生的主要原因。 3、。既存在又存在的信道稱為混合信道。911.1 差錯控制編碼的基本概念 1、檢錯重發(fā)方式（ARQ）。 2、前向糾

5、錯方式（FEC）。 3、混合糾錯檢錯方式（HEC）。 4、反饋校驗方式（IRQ）。 11.1.1 差錯控制方式1011。 采用檢錯重發(fā)方式，發(fā)端經(jīng)編碼后發(fā)出能夠發(fā)現(xiàn)錯誤的碼，接收端收到后經(jīng)檢驗如果發(fā)現(xiàn)傳輸中有錯誤，則通過反向信道把這一判斷結(jié)果反饋給發(fā)送端。然后，發(fā)送端把信息重發(fā)一次，直到接收端確認為止。采用這種差錯控制方法，一般在計算機數(shù)據(jù)通信中應用。檢錯重發(fā)方式分為，如圖所示。圖中ACK是確認信號，NAK是否認信號。12 ，發(fā)對或發(fā)錯，發(fā)送端均要等待接收端的回應。特點是系統(tǒng)簡單，時延長。 ，無ACK信號，當發(fā)送端收到NAK信號后，重發(fā)錯誤碼組以后的所有碼組，特點是系統(tǒng)較為復雜，時延減小。 。

6、無ACK信號，當發(fā)送端收到NAK信號后，重發(fā)錯誤碼組，特點是系統(tǒng)復雜，時延最小。1314。 發(fā)送端經(jīng)編碼發(fā)出能糾正錯誤的碼，接收端收到這些碼組后，通過譯碼能發(fā)現(xiàn)并糾正誤碼。前向糾錯方式不需要反饋通道，特別適合只能提供單向信道的場合，特點是時延小，實時性好，但系統(tǒng)復雜。但隨著編碼理論和微電子技術(shù)的發(fā)展，編譯碼設備成本下降，加之有單向通信和控制電路簡單的優(yōu)點，在實際應用中日益增多。15。 混合糾錯檢錯方式是前向糾錯方式和檢錯重發(fā)方式的結(jié)合，發(fā)送端發(fā)出的碼不但有一定的糾錯能力，對于超出糾錯能力的錯誤要具有檢錯能力。這種方式在實時性和復雜性方面是前向糾錯和檢錯重發(fā)方式的折衷，因而在近年來，在數(shù)據(jù)通信系

7、統(tǒng)中采用較多。16 反饋校驗方式（IRQ）又稱回程校驗。收端把收到的數(shù)據(jù)序列全部由反向信道送回發(fā)送端，發(fā)送端比較發(fā)送數(shù)據(jù)與回送數(shù)據(jù)，從而發(fā)現(xiàn)是否有錯誤，并把認為錯誤的數(shù)據(jù)重新發(fā)送，直到發(fā)送端沒有發(fā)現(xiàn)錯誤為止。不需要糾錯、檢錯的編譯器，設備簡單。需要反向信道；實時性差；發(fā)送端需要一定容量的存儲器。IRQ方式僅適用于傳輸速率較低、數(shù)據(jù)差錯率較低的控制簡單的系統(tǒng)中。1711.1.2 差錯控制編碼的分類 1、按照差錯控制編碼的不同功能，可以分為（僅能檢測誤碼）、糾錯碼（僅可以糾正誤碼）和（兼有糾錯和檢錯功能）。 2、按照和附加的之間的檢驗關系可以分為（信息碼元和監(jiān)督碼元滿足一組線性方程式）和18 3、

8、按照和之間的約束關系可以分為和。分組碼中，碼元序列每n位分成一組，其中k個是信息碼元，r=n-k個是監(jiān)督碼元，監(jiān)督碼元僅與本組的信息碼元有關。卷積碼中，編碼后序列也編為分組，但監(jiān)督碼元不僅與本組信息碼元有關，還與前面碼組的信息碼元有關。 4、按照糾正錯誤的類型不同，可以分為和。19 5、按照構(gòu)成差錯控制編碼的數(shù)學方法來分類，可以分為、和。其中代數(shù)碼建立在近代數(shù)學基礎上，是目前發(fā)展最為完善的編碼，其中線性碼是是代數(shù)碼的一個最重要的分支。 6、按照每個碼元的取值不同，可以分為和2011.1.4 檢錯和糾錯的基本原理 香農(nóng)著名的信道編碼定理指出：對于一個給定的有擾信道，若信道容量為C，只要發(fā)送端以低

9、于C的速率R發(fā)送信息，則一定存在一種編碼方法，使編碼錯誤概率P隨著碼長n的增加，按指數(shù)下降到任意小的值。 糾錯編碼的的基本思想就是在被傳送的信息碼元中附加一些監(jiān)督碼元，在兩者之間建立某種校驗關系，當這種校驗關系因傳輸錯誤而受到破壞時，可以被發(fā)現(xiàn)并予以糾正。 21以一組二進制碼為例 三位二進制碼元有8個碼組，如果用來表示天氣的8種情況000（晴），001（雷），010（雹），011（陰），100（風），101（云），110（雨），111（雪），如果有一個誤碼，接收端以為是另一條信息，這種編碼沒有檢錯和糾錯能力。 如果這8種碼組只用來傳送4條信息，即只準使用其中的4種碼組000（晴），011（陰）

10、，101（云），110（雨），如果有一位誤碼，不會在接收端產(chǎn)生誤判，會檢出錯誤。22 4個狀態(tài)只用2位二進制碼就可以表達，所增加的第3位，就稱為監(jiān)督碼元。增加1位監(jiān)督碼元，只能檢出1位誤碼，對于上例，如果有2位誤碼，將發(fā)生誤判。如將000（晴）誤傳成101（云）。 要抗多位誤碼，就要增加監(jiān)督碼元的個數(shù)，即增加冗余度。23碼距與檢錯和糾錯能力 定義： 1、：碼組中非零碼元的個數(shù)。如001，碼重為1；011，碼重為2。 2、：兩個碼組中對應碼位上具有的不同二進制碼元的個數(shù)定義為兩個碼組的距離（漢明距，簡稱碼距），如111和000，碼距為3，111和100碼距為2，111和110碼距為1。 3、：對

11、于許用的n個碼組，各碼組之間最小的碼距稱為最小碼距。2425 對于如圖所示的3位二進制碼，如果8個碼組可用，（000，001，010，011，100，101，110，111），各點之間最小相差1個邊長，最小碼距為1。 如果只有4個碼組可用，選（010，111，100，001）或（110，011，000，101），各點之間相差2個邊長，最小碼距為2。 如果只有2個碼組可用，分別選（111，000）（100，011）（110，001）（101，010），各點之間相差3個邊長，最小碼距為3。26碼距與檢錯和糾錯能力 如上所述，一種編碼的最小碼距直接關系到這種碼的檢錯和糾錯能力，因此最小碼距是信道編碼

12、的一個重要參數(shù)。在一般情況下，對于分組碼有如下結(jié)論： （1）在一個碼組內(nèi)檢測個e誤碼，要求最小碼距 dmin=e+1 （2）在一個碼組內(nèi)糾正個t誤碼，要求最小碼距 dmin=2t+1 （3）在一個碼組內(nèi)糾正t個誤碼，同時檢測e個(e=t)誤碼（當誤碼數(shù)大于t時就不能糾錯，只能檢測e個誤碼），要求最小碼距 dmin=t+e+12711.1.5 幾種實用的簡單檢錯碼 1、奇偶監(jiān)督碼 這是一種最簡單的檢錯碼，又稱奇偶校驗碼，在計算機數(shù)據(jù)通信中得到廣泛應用。七單位國際5層字母表、美國信息交換碼ASCII字母表中都用7比特碼組表示128種字符，如字符A的編碼為1000001。為了檢查字符傳輸過程中是否有

13、誤，常在7比特碼組后碼組后加1位作為奇偶校驗位。使得8位碼組（一個字節(jié)）中的“1”的個數(shù)為奇數(shù)或偶數(shù)，如果為奇數(shù)，稱為奇校驗碼；偶數(shù)時，稱為偶校驗碼。 編碼規(guī)則是：首先將要傳送的信息分成組，然后將各位二進制信息加監(jiān)督位用模2和。選擇正確的監(jiān)督位，使模2和為“0”（偶校驗），為“1”（奇校驗）。 28 2、水平奇偶監(jiān)督碼 將經(jīng)過奇偶監(jiān)督編碼的碼元按行排成方陣，但傳送時則按列進行的順序傳送。接收端仍將碼元排成發(fā)送時的方形陣式，然后再進行奇偶校驗。如： 發(fā)送時按順序傳送11101110011000010101。以此來抗突發(fā)性錯誤。29 3、水平垂直奇偶校驗碼 在水平奇偶監(jiān)督碼的基礎上，對方陣中的每一

14、列也進行奇偶校驗。發(fā)送時按列序順次傳送，接收端恢復成方陣后進行奇偶校驗，如： 傳送順序為111010110011100001101011，它能發(fā)現(xiàn)某一行或某一列上所有奇數(shù)個誤碼。30 4、群計數(shù)碼 監(jiān)督碼組中“1”的個數(shù)構(gòu)成所謂群計數(shù)碼。例如一個碼組的信息碼元為1010111，其中有5個“1”，用二進制表示為101，將它作為監(jiān)督碼元附加在信息碼元之后，傳輸碼組為1010111101。 為了提高檢突發(fā)錯誤的能力，也可以仿照水平奇偶方法，將信息排成方陣，按列發(fā)送。 31 5、恒比碼 在恒比碼中，每個碼組中“1”（或“0”）的個數(shù)相同，因而稱為等重碼。檢測時，只要計算每個碼組中“1”的數(shù)目是否對，就

15、能判斷有無錯誤。 我國電傳機傳輸漢字電碼的通信中，廣泛采用五單位數(shù)字保護電碼。每個碼組長度為5，共有25=32種組合，其中“1”的個數(shù)為3的編碼正好10個，分別代表阿拉伯數(shù)字（110）。1-01011；2-11001；3-10110；4-11010；5-00111；6-10101；7-11100；8-01110；9-10011；10-01101。 在國際ARQ電報通信系統(tǒng)中，它采用3個“1”、4個“0”的恒比碼，7中取3共有35個許用碼組，分別代表26個字母及其它符號。3211.2.5 漢明（Hamming)碼 漢明碼是1950年由美國貝爾實驗室漢明提出來的，是第一個設計用來糾正錯誤的線性分組

16、碼，漢明碼被廣泛用于數(shù)字通信和數(shù)據(jù)存儲系統(tǒng)中。 對于奇偶校驗的偶校驗，我們用下式作為作為021.aaaSnn 在接收端譯碼時，若S=0，就認為無錯。 若S=1，就認為有錯。 這里稱S為校正子（校驗子），又稱伴隨式。 33漢明（Hamming)碼 在上例中，由于只有一位監(jiān)督碼元，一個監(jiān)督方程，所以只能檢錯，無法糾錯。 漢明碼（n,k)是一種可用于糾單個隨機錯誤的循環(huán)編碼。一般漢明碼的參數(shù)如下： 碼長 n=2r-1 信息位 k=2r-1-r 監(jiān)督位 r=n-k，r是不小于3的任意正整數(shù)。 （因為要糾t位錯誤，dmin大于2t+1) 最小漢明距離 d=3 下表是的一般漢明碼結(jié)構(gòu)。34碼字長度n 信息

17、位k 校驗位r74315114312656357635（7，4）漢明碼舉例 對于（7，4）漢明碼，碼元為a6,a5,a4,a3,a2,a1,a0 假設有三個相應的監(jiān)督方程，在接收端根據(jù)校正子的能糾正某一位的錯誤。034631356224561aaaaSaaaaSaaaaSS1 S2 S3 錯碼位置001a0010a1100a2011a3101a4110a5111a6000無錯36（7，4）漢明碼舉例 如果傳送a6,a5,a4,a3共4位數(shù)據(jù)，要求能自動糾正單個誤碼，須增加3位監(jiān)督碼a2,a1,a0。監(jiān)督碼的計算方程見下式。346035614562aaaaaaaaaaaa 7位數(shù)據(jù)按a6,a5,

18、a1,a0的順序一起發(fā)送，在接收端按校正子（伴隨式）的組合來判斷在哪一位出現(xiàn)了錯誤，并實時糾正（將相應位取非）。37（7，4）漢明碼的編碼器和譯碼器（1）38（7，4）漢明碼的編碼器（2）+Z-1Z-1Z-1+1xx2x3s1s2（1）S1接通，S2擲向下端，輸出數(shù)據(jù)位a6,a5,a4,a3的同時，反饋移位寄存器串行接收數(shù)據(jù)，延時等待推出監(jiān)督位。（2）4位數(shù)據(jù)發(fā)完后，斷開S1，將S2擲向上端，開始送監(jiān)督位。（3）3位監(jiān)督位送完后，開關又擲回原位。（4）設監(jiān)督位為n，反饋移位寄存器由n位的本原多項式設計。39（15，11）漢明碼舉例 對于（15，11）漢明碼，碼為a14,a13,a12.,a3,

19、a2,a1,a0 假設有四個相應的監(jiān)督方程，在接收端根據(jù)校正子的能糾正某一位的錯誤0457101112144146810111314325691012131423789111213141aaaaaaaaSaaaaaaaaSaaaaaaaaSaaaaaaaaSS1 S2 S3 s4錯碼位置0001a00010a10100a21000a30011a40101a50110a61001a71010a81100a90111a101011a111101a121110a131111a140000無錯40（15，11）漢明碼舉例 同理，如果傳送a14,a13.a5,a4共11位數(shù)據(jù)，要求能自動糾正單個誤碼，須

20、增加4位監(jiān)督碼a3,a2,a1,a0。監(jiān)督碼的計算方程見下式。457101112140468101113141569101213142789111213143aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 15位數(shù)據(jù)按a14,a13,a1,a0的順序一起發(fā)送，在接收端按校正子（伴隨式）的組合來判斷在哪一位出現(xiàn)了錯誤，并實時糾正（將相應位取非）。4111.2 線性分組碼 線性分組碼定義：分組碼中和監(jiān)督碼元是用線性方程聯(lián)系起來的一種差錯控制碼。 漢明碼是線性分組碼的一種，能糾一位誤碼。 線性分組碼有三個重要的運算式：監(jiān)督矩陣、生成矩陣和校正子。 42(11.2.2) 1、 從上節(jié)

21、漢明碼的例子可以看出，線性分組碼的監(jiān)督方程可以用矩陣形式來表達（無誤碼時，下式成立）： 式中的系數(shù)矩陣稱為，用H表示。如果用虛線分為兩部分，左邊為P矩陣，是一個r*k階矩陣；右邊為Ir矩陣，是一個r*r階單位方陣。0000123456100110101010110010111aaaaaaa431、 設發(fā)送序列為A，則監(jiān)督方程也可以寫為：0000123456OaaaaaaaAOHAT其中44(11.2.3) 2、生成矩陣 已知監(jiān)督方程和信號碼元時可以按下式算出監(jiān)督碼元，式中用的是P矩陣。 或者用下式來計算，式中的矩陣是P的轉(zhuǎn)置矩陣，稱為Q矩陣。3456110110110111012aaaaaaa

22、1101010111113456012aaaaaaa452、生成矩陣 在Q的左邊加一個k*k階單位方陣，就生成一個新的矩陣G。1101000101010001100101110001G 這個新矩陣G稱為生成矩陣，因為可由它產(chǎn)生整個碼組A。GaaaaA345646(11.2.4) 校正子 設發(fā)送碼組A為一n列的行矩陣，矩陣中n個元素就是碼組中的n個碼元。發(fā)送碼組在傳輸過程中出現(xiàn)了誤碼，接收端收到了B矩陣，也是一n列的行矩陣。 設收發(fā)碼組之差E=B-A（模2），稱為。校正子S可以根據(jù)接收序列和H矩陣來計算。TTTTTEHEHOEHAHHEABHS)( 可見校正子只與錯誤圖樣有關，與發(fā)送序列無關，是

23、一個信道參數(shù)。47校正子 如果不出現(xiàn)誤碼，校正子S=0。 如果有誤碼，通過計算校正子S來指示誤碼的位置和糾正誤碼。設發(fā)送的序列A=0001011 錯誤圖樣E=0001000 接收到的序列B=0000011，校正子可以由下式計算得到：1000100011101010111111100000THBS=(0 1 1)指示a3有錯誤。 4811.3 循環(huán)碼 循環(huán)碼是線性分組碼中的一類，是以現(xiàn)代代數(shù)理論作為基礎建立起來的。 循環(huán)碼的編碼和譯碼設備相對簡單 循環(huán)碼的檢錯和糾錯能力較強。49循環(huán)碼的循環(huán)特性 循環(huán)碼與其它線性分組碼一樣，設總長度為n，前k位是信息位，后r位是監(jiān)督位。(r=n-k) 循環(huán)碼中任

24、意一許用碼組經(jīng)過循環(huán)移位后(將最右端的碼元移至左端)，所得到的碼組仍是許用碼組。如表所示。a6a5a4a3a2a1a01000000020010111301011104011100151001011610111007110010181110010碼組編號信息位監(jiān)督位50循環(huán)碼的循環(huán)特性一般來說，若（an-1,an-2,a0)是循環(huán)碼的碼組，則（an-2,an-3,a0,an-1)（an-3,an-4,an-1,an-2) （a0,an-1,a2,a1)也是該循環(huán)碼的碼組。51循環(huán)碼的循環(huán)特性 碼組（an-1,an-2,a1,a0)也可以用一個多項式來表示 A(X)=an-1xn-1+an-2x

25、n-2+a1x+a0 對于一個（7，3）循環(huán)碼，任一碼組可以表示為 A(X)=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0 式中a6,a5,a1,a0是編碼，x只是碼元位置的標記。52循環(huán)碼的循環(huán)特性 對于一個循環(huán)碼組，可以用下列碼多項式來分別表示。 A（X）=an-1xn-1+an-2xn-2+a1x+a0 A（X）=an-2xn-1+an-3xn-2+a1x2+a0 x+an-1 Ai（X）=an-i-1xn-1+an-i-2xn-2+a0 xi+an-1xi-1+an-i 我們來看下式：53循環(huán)碼的循環(huán)特性 式中采用模2加減，所以加法與減法是等效的。 若被除式是xA（X

26、）（許用碼組），除式是xn+1（已知多項式），余式是A（X）（循環(huán)移一位的許用碼組）。 若被除式是xiA（X）（許用碼組），除式是xn+1（已知多項式），余式是Ai（X）（循環(huán)移i位的許用碼組）。54循環(huán)碼的循環(huán)特性例如某循環(huán)碼1100101， 則A(X)=X6+X5+X2+1, XA(X)=X7+X6+X3+X,11113673677XXXXXXXXX余數(shù)余數(shù)構(gòu)成的碼是1001011，正好是循環(huán)一位的結(jié)果。55循環(huán)碼的循環(huán)特性例如某循環(huán)碼1100101， 則A(X)=X6+X5+X2+X1, X2A(X)=X8+X7+X4+X2,1111247247824787XXXXXXXXXXXXXXX

27、X余數(shù)構(gòu)成的碼是0010111，正好是循環(huán)兩位的結(jié)果。56由此得到一個重要結(jié)論 57首先要找到第一個許用碼組A（x） 在循環(huán)碼中，有一個許用碼組比較特殊，就是全0碼，即信息位全0時，監(jiān)督位也取全0，通過這一點可以找出另一個許用碼組。 結(jié)論： 假若第k位不為1，將造成信息位全為零，而監(jiān)督位不為0的情況， 若第n位不為1，右移一位后，將使信息位全為0，而監(jiān)督位不為0。58循環(huán)碼的生成多項式g（x） 這一個前k-1位為0，第k位和第n位為1的許用碼組可以用一個碼多項式g(x)來標識，稱為循環(huán)碼的生成多項式。 （1）g(x)是一個能除盡xn+1的n-k階多項式。 （2）要尋找生成多項式，必須對xn+1

28、進行因式分解，這需要計算機來完成。 （3）在一些參考書上有因式分解的表格可以選用。59循環(huán)碼的監(jiān)督多項式h（x） 設多項式h(x)滿足下式： h(x)g(x)=xn+1 就稱h(x)為監(jiān)督多項式。60X7+1因式分解構(gòu)成的循環(huán)碼生成多項式(n,k) dg(x)h(x)(7,6) 2x+1(x3+x+1)(x3+x2+x1)(7,4) 3x3+x2+1(x3+x+1)(x+1)(7,3) 4(x3+x+1)(x+1)x3+x2+1(7,1) 7(x3+x+1)(x3+x2+x1)x+1表中x3是x的三次方，x2是x的二次方。61由生成多項式得到生成矩陣根據(jù)生成多項式可以求出生成矩陣G（x）)()

29、(.)()()(21xgxgxxgxxgxXGkk62根據(jù)生成矩陣可以由信息碼組求出傳輸碼組)()(.)()().()(2100112211xgxgxxgxxgxxmxmxmxmxAkkkkkk63X7+1因式分解后構(gòu)成的循環(huán)碼特例 因式分解x7+1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1)。 （1）若取x+1為生成多項式，這是一種（7，6）碼，有6個信息位，1個糾錯位，這是一種偶校驗碼。 （2）若取(x3+x2+1)為生成多項式，這是由本原多項式構(gòu)成的（7，4）的漢明碼。（能糾1位錯碼）。 （3）若取(x3+x+1)(x3+x2+1)為生成多項式，只有1位信息位，構(gòu)成的是全1碼或全0碼。

30、64例題一 對于一（7，3）循環(huán)碼，其 g(x)=(x3+x2+1)(x+1)=x4+x2+x+1 生成矩陣G（X）便可寫成1000000000)()()()(2423523462xxxxxxxxxxxxgxxgxgxXG65例題一111010001110100011101G 這不是典型的生成矩陣形式，若將第一列加上第三列，則如下生成矩陣形式。111010001110101101001G66例題一假設信息碼是111，生成序列為A（X）0100111111010001110101101001111)(XA假設信息碼是110，生成序列為A（X）101001111101000111010110100

31、1011)(XA和循環(huán)的結(jié)果一致。67例題一 其它信息碼的編碼結(jié)果見下表a6a5a4a3a2a1a01000000020010111301011104011100151001011610111007110010181110010碼組編號信息位監(jiān)督位68循環(huán)碼編碼器 循環(huán)碼的編碼電路，用硬件實現(xiàn)，可以采用除法電路。 對于生成多項式為g(x)=x4+x2+x+1的編碼器，其硬件電路如圖所示：69循環(huán)碼編碼器 （1）首先將xn+1（ x7+1）多項式展開，取最高冪為xn-k（ x4）的一個組合項為g(x)。 （2）對應g(x)有4級移位寄存器D1，D2，D3，D4， g(x)多項式系數(shù)是1還是0表示該位上有無反饋線。 （3）當信息位輸入時，控制器使Q1和Q3為正，Q2為0，開通門1和門3，此時電路除輸出信息碼之外，還送到除法電路進行運算。 （4）當信息位傳完之后，控制電路將Q2為正，Q1、Q3為0，開通門2，使寄存器中的除法余項（監(jiān)督碼元）依此輸出。70反饋輸出D1D2D3D4FA000000011110111100111010101000