人教版高中數(shù)學(xué)選修1-1導(dǎo)學(xué)案第三章§3.33.3.3函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)

1、3.3.3函數(shù)的最大（小）值與導(dǎo)數(shù)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解函數(shù)最值的概念，了解其與函數(shù)極值的區(qū)別與聯(lián)系.2.會求某閉區(qū)間上函數(shù) 的最值.知識梳理梳理教材夯實區(qū)礎(chǔ)知識點一函數(shù)yu）在閉區(qū)間，切上的最值函數(shù)7U）在閉區(qū)間小句上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，則該函數(shù)在，加上一定能夠取得 最大值與最小值，函數(shù)的最值必在溫點處或極值點處取得.特別提醒：（1）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值，開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)不一定有最值.若有唯 一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值.（2）函數(shù)的最大值和最小值是一個整體性概念.（3）函數(shù)y=«r）在“，包上連續(xù)，是函數(shù)y=/U）在，切上有最大值與最小值的充分不必要條 件.知

2、識點二求函數(shù)y="）在，3上的最值的步驟1 .求函數(shù)y=./（x）在（“，）內(nèi)的極值.2 .將函數(shù)y=/U）的各極值與溫點至的函數(shù)值./（），大。）比較，其中最大的一個是最大值,最 小的一個是最小值.知識點三最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系1 .極值是對某一點附近（即局部）而言，最值是對函數(shù)的定義區(qū)間的整體而言.2 .在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大（?。┲悼赡苡卸鄠€，但最大（?。┲抵挥幸粋€（或者沒有）.3 .函數(shù)兀0的極值點為定義域中的內(nèi)點，而最值點可以是區(qū)間的端點.4 .對于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最大（?。┲当卦跇O大（小）值點或區(qū)間端點取得.如圖是y=/U）在區(qū)間小句上的函數(shù)圖象，顯然."）,

3、人不），入3為極大值，.及，.ZU”，yix6） 為極小值.最大值y=M=/（X3）= 勵）分別在x=X3及x=h處取得，最小值y=j=/g在a = 長處取得.思考辨析 判斷正誤1 .函數(shù)的最大值一定是函數(shù)的極大值.（ X ）2 .開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值.（7 ）3 .函數(shù)./U）在區(qū)間，加上的最大值和最小值一定在兩個端點處取得.（x ）4 .函數(shù)危）二:在-1,0）50,1上有最值.（X ）題型探究探究重點案養(yǎng)提升,=2 一、求函數(shù)的最值命題角度1不含參數(shù)的函數(shù)求最值 例1求下列各函數(shù)的最值.（1=4x3+3.V2 36a + 52, +°0）；（2）/U）=5+sinx,0

4、,2兀.解1（X）= 12x2 + 6a - 36 ,3令r（X）=。，得占二-2 ,也二金當(dāng)X變化時，f（X）,負(fù)工）的變化情況如下表：X-232S, Tf（X）0一0十於）57X115 一丁/由于當(dāng)X軸,f （x）0 ,所以."）在c,十8）上為增函數(shù).因此，函數(shù)反）在-2 , + 8）上只有最小值一號,無最大值（2/。）二;十 cos x ,令/（X）: 0 , 又 X £ 0,2it f 解得 x =,或 x = y. 計算得a=o,曲）=K j慮W十乎，所以當(dāng)x=0時，/）有最小值40）二0 ；當(dāng)x=2式時，./U）有最大值42兀）=7T.反思感悟求解函數(shù)在固定區(qū)

5、間上的最值，需注意以下幾點對函數(shù)進行準(zhǔn)確求導(dǎo),并檢驗r（X）二。的根是否在給定區(qū)間內(nèi).研究函數(shù)的單調(diào)性，正確確定極值和端點函數(shù)值.比較極值與端點函數(shù)值大小，確定最值.1 rr 1-跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)段）=1-+1“，求段）在5' 2上的最大值和最小值. 人L4 -解 易知兀V）的定義域為（0，+8）,1 71於)=+ lnx = - - 1 + In x ,令r（幻二0，得大二1.當(dāng)a-變化時，r &）與於）的變化情況如下表：X121(1,2)2f (x )0+fix)1 - In 2X極小值o/4+,n2.利3,21上，當(dāng)x = 1時，段）取得極小值，也是最小值，且川）=0.

6、又/（0 = 1 Tn 2 , ,A2） = -1 + In 2 ,4）二 |-21n 2二;X （3 - 41n 2）= gin后0 ,./（5）A2）,.41）利；，2上的最大值為/（；）=1 - ln2 ,最小值為?。?0.命題角度2含參數(shù)的函數(shù)求最值 例2已知函數(shù)f（x）=（xk）e.求人X）的單調(diào)區(qū)間；（2）求yu）在區(qū)間01上的最小值.解（1）由火x） = （x ）戶，得）（a） = （x - + 1 ）ex,令 f 3 = 0 ,得 x =女-1.當(dāng),V變化時，./U）與，（刈的變化情況如下表：X(-巾,A- - 11k -1伏-1 ,十8）f U)-0+-9 1/所以，/U）的

7、單調(diào)遞減區(qū)間是（-8 ,仁_ 1）；單調(diào)遞增區(qū)間是優(yōu)-1 ,十8）.當(dāng)h1WO ,即ZW1時,函數(shù)段）在0,1上單調(diào)遞增.所以./U）在區(qū)間0.1上的最小值為<0）=-k.當(dāng)04 - 1<1 ,即1<R2時，由知於）在0 , k - 1）上單調(diào)遞減，在（h1.1上單調(diào)遞增，所以./U）在區(qū)間0,1上的最小值為加1）二- di當(dāng)k - 1 21 ,即心2時，函數(shù)危）在。1上單調(diào)遞減.所以於）在區(qū)間0.1上的最小值為川）=（1 - k）e.綜上可知，當(dāng)右1時，,Ax）min:-k；當(dāng) 1d<2 時，«x）min = - e* - 1 ；當(dāng) 工22 時，./U）mi

8、n = （ 1 - k）C.反思感悟 對參數(shù)進行討論，其實質(zhì)是討論導(dǎo)函數(shù)大于0 ,等于0 ,小于0三種情況.若導(dǎo)函 數(shù)恒不等于0 ,則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，最值在端點處取得；若導(dǎo)函數(shù)可能等于0 , 則求出極值點后求極值，再與端點值匕瞰后確定最值.跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)/）=lnx+* 人當(dāng)<0時，求函數(shù)./U）的單調(diào)區(qū)間；3若函數(shù)./U）在1, e上的最小值是本求的值.解 函數(shù)兀v） = In x十二的定義域為（0，十8）,x - a（x）>0 ,故函數(shù)在其定義域（0 ,十8）上單調(diào)遞增.當(dāng)XS1 , e時,分如下情況討論：當(dāng)“<1時，/ （%）>0 ,函數(shù)4、）單調(diào)

9、遞增，其最小值為<,這與函數(shù)在1 , e上的最 小值是：相矛盾；當(dāng)“ =1時，函數(shù)./U）在|1 , e上單調(diào)遞增，其最小值為負(fù)1）=1 ,同樣與最小值是,相矛盾；當(dāng)l<<e時,函數(shù)危）在1 ,。）上有f。尺0 ,於）單調(diào)遞減，在3 , e上有/' （x）>0 ,於）單 調(diào)遞增，所以，函數(shù)."）的最小值為仙）二11】“十1 ,由In “十1二X，彳導(dǎo)”二偵.當(dāng)，/ 二 e時，函數(shù)於）在1 , e上有/'（X）W0 ,.仰）單調(diào)遞減，其最小值為a二2 ,這與最小 值是:相矛盾；當(dāng)</>e時，顯然函數(shù).”）在1 , e上單調(diào)遞減，其最小

10、值為八e）=1 +色2 ,仍與最小值是,相 矛盾.綜上所述，a的值為證.二、由函數(shù)的最值求參數(shù)例3已知函數(shù)/U）=aFGY+bQwo）,問是否存在實數(shù)，b,使兀v）在- 1,2上取得最大 值3,最小值一29?若存在，求出“，的值：若不存在，請說明理由.解 由題設(shè)知a W0 ,由於）=江-6ax2 + h ,求。導(dǎo)/' （x） = 3ax2 - i2ax= 3ax（x - 4） z令/（x）= 0,得笛二0,也二4（舍去）.當(dāng)a>0時，f （x）,於）的變化情況如下表：X-1(-1,0)()0.2)2f (A)十0yi-v)-la + b/bX-6a + b由表可知，當(dāng)x = 0時

11、，段)取得極大值，也是函數(shù)小)在-L2上的最大值一,./(0)二二3.又大-1)=-7，+ 3,y(2)= - 16« + 3</(- 1),2) = - 16“+ 3 二-29 ,解得 a = 2.當(dāng)</<0時，同理可得，當(dāng)x = 0時，危)取得極小值b ,也是函數(shù)危)在-1,2上的最小值， ：.f0)= b= - 29.又丹 1)= la - 29 "2) = - 16a - 29人-1),.J2) = - 164 - 29=3 ,解得a- -2.綜上可得，"= 2二 3 或“二-2 , b= - 29.反思感悟已知函數(shù)的最值求參數(shù)的步驟求出

12、函數(shù)在給定區(qū)間上的極值及函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值.通過上唳它們的大小，判斷出哪個是最大值，哪個是最小值.結(jié)合已知求出參數(shù)，進而使問題得以解決.跟蹤訓(xùn)練3設(shè)段L-g+1+Z”.當(dāng)Ov<2時，於)在1,4上的最小值為一號，則外)在 該區(qū)間上的最大值為.經(jīng)案此解析f (A)= - X2+X+2d ,1 -、1 + 8a 1 +1 + 8t/令f J) = 0 ,得兩根巾=2，也二2*當(dāng) a-G( - 8 , X|)U(X2 , + 8)時，f (x)<0 ,當(dāng) ,時，f (x)>0 ,所以於)在(-8 ,刖)，3 , + 8)上單調(diào)遞減，在(Xl ,也)上單調(diào)遞增.當(dāng) 0<a

13、<2 時，有 k】v1<X2<4 ,所以及)在n,4上的最大值為/2).又44）-川）二-5+ 6“<0,即負(fù)4）«1）,所以外）在1,4上的最小值為火4）二8“ -苧二-竽.故 4 二 1 ,九2 二 2 ,從而?。┰?,4上的最大值為彤）=y.三、與最值有關(guān)的恒成立問題14例4已知函數(shù)£R）itx=2處取得極小值一.（1）求兀X）的單調(diào)遞增區(qū)間：若兀）忘/+?+¥在-4,引上恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.解 （力二十"，由/ （2）=0,得“二-4；4再由2）=-灸得6 = 4.所以./U）= 53 -以十 4 J（A-）= A

14、-2- 4.令r （%）= x2 - 4>0 ,得 x>2 或 x< - 2.所以./U）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-8 , - 2） , （2 ,十8）.4284（2）因為八-4）= - 5 4 - 2）二不，/2）二-g ,貝3） = 1 f所以函數(shù)啟）在-4,3上的最大值為拳 要使府）W/十加+至在-4,3上恒成立，口干10- 28只需 /rr + zn + yy解得加22或，W - 3.所以實數(shù)m的取值范圍是（-8 ,-引U 2 ,十8）.反思感悟不等式恒成立問題常用的解題方法跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)./U）=xln x.若對所有都有."）2d一1,則實數(shù)"的取

15、值范圍為答案（一 8, 1解析 由題意，得y（x）2ax - 1在1 , + 8）上恒成立，即不等式aWInX十;在xGl ,十8）上恒成立.11 1 x - 1令g（x）=hi九十；，貝（J/ （X）=；-R二K， 人人 人人當(dāng)x>l時，屋（x）>0 ,故g（x）在（1 ,十8）上是增函數(shù),所以g（x）的最小值是g=1.因此aWg（X）min=g（l）= 1 ,故”的取值范圍為（-8,1.隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用nsasBBsnBaaaess%1.下列說法正確的是（）A.函數(shù)在其定義域內(nèi)若有最值與極值，則其極大值便是最大值，極小值便是最小值B.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值，也一定

16、有極值C.若函數(shù)在其定義域上有最值，則一定有極值；反之，若有極值，則一定有最值D.若函數(shù)在給定區(qū)間上有最值，則有且僅有一個最大值，一個最小值，但若有極值，則可 有多個極值 答案D解析由極值與最值的區(qū)別知選D.2.函數(shù)兀¥）=X在區(qū)間- 1,1上的最大值是（）A. 1+- B. 1 C. e-1 D. e+1 e答案C解析 由題意得了' （x）=e，- 1.令/ （勸=0,得x = 0.即 a)min>0.f (x)= e' - 1 ,令 r (幻=0 ,解得 x = 0 ,當(dāng)A<0時，f (x)<0 ,則.")在(-8 , O)上單調(diào)遞減;

17、當(dāng)A->0時,f (x)>0 ,則.”)在(0，+ 8)上單調(diào)遞增，當(dāng)x = 0時,.4)取得極小值即最小值，為/(0) =l+a,1 + </>0，即 > -1 ,故實數(shù)”的取值范圍是(- 1 ,十8)."課堂小結(jié)-1 .知識清單：最值的概念.利用導(dǎo)數(shù)求最值的步驟.與最值有關(guān)的恒成立問題.2 .方法歸納：數(shù)形結(jié)合、分類討論、分離參數(shù).3 .常見誤區(qū)：最值與極值的關(guān)系；有參數(shù)時不討論或討論錯誤.課時對點練注重雙基強化落實-.基礎(chǔ)鞏固1.函數(shù)兀打=(一 3a(LvI<1)()A.有最大值，但無最小值B.有最大值，也有最小值C.無最大值，但有最小值D.

18、既無最大值，也無最小值答案D解析 f (x)= 3/ - 3 = 3(x+ 1 )(x - 1),當(dāng) ( - 1.1)時,f (x)<0 ,所以")在(-1,1)上是單調(diào)遞減函數(shù)，無最大值和最小值，故選D.2.函數(shù))，=一半的最小值是() 人A. T B. -e C. 2 D.1答案A解析函數(shù)的定義域為（0 ,十8）,Inx - 1由）/ = = 0 ,彳導(dǎo) x = e ,xG（0 , e）時，yr <0 , xG（e ,十8）時，< >o.所以），:-甲在（0 , e）上單調(diào)遞減，在（e ,十8）上單調(diào)遞增，1故.Ymin =）'極小值=-3.函數(shù)y

19、=x+2cosx在0，方上取最大值時，x的值為（）A. 0 B.t C.? D.z 632答案B解析 y'= l-2sinx,令y'=0,得sinx二;，L ，6由 yf >0 得 sin x< ,；由 yf <0 得 sin，,親.原函數(shù)在o, 上單調(diào)遞增，在，如上單調(diào)遞減.由此可知，當(dāng)X二煮時，Jmax= y極大值= 機4.若函數(shù)./（入）=始一31-%+及在區(qū)間-4.4上的最大值為10,則其最小值為（）A. -10 B. -15 C. -71 D. -22答案c解析 f （x） = 3x2 - 6a - 9 = 3（x - 3）（尤 + 1）.由/

20、9; （x） = 0 得 X = 3 或-1 ,又 A - 4）二女-76 ,氏3） = k-n 小-l ） = k + 5 ,A4） = % - 20.由於）皿=k+5二10,得女=5./（X）min =攵-76= - 71.5.已知函數(shù)兀V）, g（x）均為函,句上的可導(dǎo)函數(shù),在回 句上連續(xù)且/' （x）<g'（X）,則./（X）一g(x)的最大值為()A.B. b)-g(b)C.犬")一gS)D.冊)一g(a)答案A解析 令 F(x)=.")-g(x) ,，: f (x)<g (a ),：.F' (x)=f(a)<0 ,尸(x

21、)在a，句上單調(diào)遞減,F(X)max = F3)=%)-.?(</) .6 .函數(shù)凡r)=在區(qū)間2,4上的最小值為. V答案*er - xcv 1 - x解析 f (a)= (cV)2 =r .當(dāng) x£2,4時，/ (xKO,即函數(shù)Tlx)在2.4上是減函數(shù),4故當(dāng)x=4時，函數(shù)段)有最小值肝7 .若函數(shù)兀1)=三在(一2, “)上有最小值，則。的取值范圍為. 人 I 4答案(一 1，+8)er(x + 1)解析 /(A)二,令r。)>0，解得 x> -1 ； (x + 2)-令/' (x)<0 ,解得 xv - L故心)在(-2, -1)上單調(diào)遞減，

22、在(-1,十8)上單調(diào)遞增，若心)在(-2 ,上有最小值，則> -1.8 .設(shè)函數(shù)./U)=V3x+l(x£R),若對于任意的x£(M都有成立，則實數(shù)”的取 值范圍為.答案4, +8)解析 因為x £ (0,1 ,用)20可化為ci 2 j - A ,3 i3(1 - 2r)設(shè) gG)二7-7，則 g' J)二令 g' (x)= 0 ,得 X = 2-當(dāng) 0<A加,g'(A)>0 ；當(dāng)JoWl 時，g' (x)<0.所以g(x)在(0 ,5上單調(diào)遞增，在6，1上單調(diào)遞減.所以如)在(0.1|上有極大值g七)

23、= 4 ,它也是最大值，所以 24.9 .已知函數(shù),扎¥)=/一”儲+3.工(1)若7U)在1, +8)上是增函數(shù)，求實數(shù)”的取值范圍；若x=3是/)的極值點，求.”)在1,可上的最大值和最小值. 解(1 )f'(X)= 3爐-2iix + 3 ,當(dāng) x£l, +8)時，/。)，0恒成立，.,忘芥+ ；) = 3(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號),."W3 ,即實數(shù)”的取值范圍為(-8,3.(2)由題意知/'=0 ,即27 - 6 + 3=0 ,:.a = 5 , /./(x) = x3 - Sx2 + 3x , f (x) = 3/-10a + 3.令r

24、(X)= 0 ,得 Xi = 3 , X2 二上舍去).當(dāng) l<v<3 時，f (x)<0 ,當(dāng) 3<x<5 時，f (x)>0 ,即當(dāng)x = 3時，段)取得極小值/3)=-9.又.2)=-1 ,A5)=15 ,&)在1,5上的最小值是43)=-9,最大值是負(fù)5)= 15.10 .設(shè)“x)=lnx, g(x)=fix)+f (x).(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值：(2)求實數(shù)a的取值范圍，使得g(a)-g(x)<5對任意.¥>0成立.解a)由題設(shè)知./U)的定義域為(0, + 8),f(X)二:，所以必) = lnx+人x

25、- 1 所以g'(X)二一令 g' (%) = 0 ,得 x = 1 ,當(dāng) x£(O,l)時，#' (x)<0 ,故(0.1)是g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng) x£(l ,十8)時，屋(*>0,故(1 ,+8)是心)的單調(diào)遞增區(qū)間.因此X:1是虱X)在(0 ,十8)上的唯一極值點，且為極小值點,也是最小值點，所以最小值為 以1)= 1.(2)因為g(“)- g(x)S對任意x>0成立，即In ”vg(x)對任意a>0成立.由知,g(x)的最小值為1 /所以In a< ,解得0v<e.即a的取值范圍為(0 , e).y綜

26、合運用11.若函數(shù)兀)=(一6區(qū)+3匕在(0.1)內(nèi)有最小值，則實數(shù)的取值范圍為()A. (0,1)B. (一8, 1)C. (0, +°°)D.(0,答案D 解析 由題意得函數(shù).")=/- 6/>+3的導(dǎo)函數(shù)r(X)=3/-6在(0,1)內(nèi)有零點，且 f (0)<0 tf (1)>0 ,即-6/?<0，且 3 - 6/?>0 , A0</?<1 / 故選 D.12 .函數(shù)留尸七一3%-1,若對于區(qū)間3,2上的任意xi,都有貝xi)一/(X2)IWf,則實數(shù)，的最小值是() A. 3 B. 18 C. 20 D. 0 答案

27、C解析 由 r(X)= 31 - 3 = 0 ,得 X 二 ±1 ,貝(J./U)min=_A - 3)=-19 ,)max = A- D = A2)=1 ,由題意知!”I)-加)Ue = I - 19 - II = 20 ,故 dn = 20.13 .函數(shù)兀x)=$3-F+",函數(shù)以X)=必一3，它們的定義域均為1, +°°)»并且函數(shù)/U) 的圖象始終在函數(shù)#(x)圖象的上方，那么實數(shù)”的取值范圍是()A. (0, +°°)B. (8, 0)+4-3答案A解析 設(shè)力(X)二大入)-g(x) = 1a3 -/十4 - X2+3x ,則/?' Q)二爐-4x+3 = (x-3)(x-l),所以當(dāng)x£l,3)時，可久)單調(diào)遞減；當(dāng)x£(3,十8)時"?(X)單調(diào)遞增.當(dāng)x=3時，函數(shù)力。)取得極小值也是最小值.因為./U)的圖象始終在g(x)的圖象上方，所以 /?(.v)min>0 , 即 /1(3) = a>0 ,所以4的取值范圍是(0 ,十8).14 .已知函數(shù)yu)=*+21nx,若當(dāng)">o時，/U)，2恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是人答案e, +8)a2(-a)解析 由凡¥)= T5 + 21n